人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.6.1　双曲线的标准方程word含答案

2.6　双曲线及其方程
2.6.1　双曲线的标准方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.与椭圆x24+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)
　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.x24-y2=1 B.x23-y2=1
C.x22-y2=1 D.x2-y22=1
解析由题意得,双曲线焦点在x轴上,且c=3,设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则有a2+b2=c2=3,4a2-1b2=1,解得a2=2,b2=1,故所求双曲线的标准方程为x22-y2=1.
答案C
2.(多选)当α∈π4,3π4时,方程x2sin α+y2cos α=1表示的轨迹可以是(　　)
A.两条直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
解析当α∈π4,3π4时,sin α∈22,1,cos α∈-22,22,
可得方程x2sin α+y2cos α=1表示的曲线可以是椭圆(sin α>0,cos α>0).
也可以是双曲线(sin α>0,cos α<0),也可能是两条直线(sin α=1,cos α=0).
答案ACD
3.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且双曲线的焦距为25,则该双曲线的方程为(　　)
A.x24-y2=1 B.x23-y22=1
C.x2-y24=1 D.x22-y23=1
解析由题意得
|PF1|-|PF2|=2a=b,c2=a2+b2,2c=25,解得a2=1,b2=4,
则该双曲线的方程为x2-y24=1.
答案C
4.已知双曲线x24-y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　)
A.3或7 B.6或14
C.3 D.7
解析设右焦点为F2,连接PF2,ON(图略),ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=12|PF2|,
∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,
∴|PF2|=14或6,∴|ON|=12|PF2|=7或3.
答案A
5.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是(　　)
A.双曲线的一支 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
解析设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,
由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,
∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).
答案A
6.若双曲线x2n-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2n+2,则△PF1F2的面积为(　　)
A.1 B.12 C.2 D.4
解析设点P在双曲线的右支上,
则|PF1|-|PF2|=2n,
已知|PF1|+|PF2|=2n+2,
解得|PF1|=n+2+n,|PF2|=n+2-n,
|PF1|·|PF2|=2.
又|F1F2|=2n+1,
则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°,
∴S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=12×2=1.
答案A
7.平面上两点F1,F2满足|F1F2|=4,设d为实数,令D表示平面上满足||PF1|-|PF2||=d的所有P点组成的图形,又令C为平面上以F1为圆心、6为半径的圆.下列结论中,其中正确的有　　　　　(写出所有正确结论的编号).?
①当d=0时,D为直线;
②当d=1时,D为双曲线;
③当d=2时,D与圆C交于两点;
④当d=4时,D与圆C交于四点;
⑤当d>4时,D不存在.
解析①当d=0时,D为线段F1F2的垂直平分线,∴①正确;
②当d=1时,∵||PF1|-|PF2||=d<|F1F2|=4,由双曲线的定义知D为双曲线,∴②正确;
③当d=2时,D是双曲线,且c=2,a=1,∵C为平面上以F1为圆心、6为半径的圆,∴D与圆C有4个交点,∴③错误;
④当d=4时,D是两条射线,∴D与圆C有2个交点,∴④错误;
⑤当d>4时,由双曲线的定义知,不表示任何图形,∴D不存在,∴⑤正确.
答案①②⑤
8.焦点在x轴上的双曲线经过点P(42,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为　　　　　.?
解析设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),
则由QF1⊥QF2,得kQF1·kQF2=-1,
∴5c·5-c=-1,∴c=5.
设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),
∵双曲线过点(42,-3),∴32a2-9b2=1,
又∵c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9,
∴双曲线的标准方程为x216-y29=1.
答案x216-y29=1
9.已知与双曲线x216-y29=1共焦点的双曲线过点P-52,-6,求该双曲线的标准方程.
解已知双曲线x216-y29=1,
则c2=16+9=25,∴c=5.设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).依题意知b2=25-a2,
故所求双曲线方程可写为x2a2-y225-a2=1.
∵点P-52,-6在所求双曲线上,
∴-522a2-(-6)225-a2=1,
化简得4a4-129a2+125=0,
解得a2=1或a2=1254.
当a2=1254时,a2>c2,不合题意,舍去,
∴a2=1,b2=24,
∴所求双曲线的标准方程为x2-y224=1.
10.

如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;
圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.
设动圆M的半径为R,
则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,
∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=32,c=5,于是b2=c2-a2=914.∴动圆圆心M的轨迹方程为x294-y2914=1x≤-32.
能力提升练
1.(多选)AB是某平面上一定线段,点P是该平面内的一动点,满足|PA|-|PB|=2,|PA-PB|=25,则点P的轨迹不可能是(　　)
A.圆 B.双曲线的一支
C.椭圆的一部分 D.抛物线
解析∵|PA|-|PB|=2,∴|PA|-|PB|=2.
∵|PA-PB|=25且PA-PB=BA,
∴|AB|=25.
∴|PA|-|PB|=2<|AB|=25,即动点P到两定点A,B的距离之差小于两定点间的距离且|PA|>|PB|,∴根据双曲线的定义可得点P的轨迹是双曲线的一支(靠近点B的一支).
答案ACD
2.若双曲线上存在点P,使得P到两个焦点的距离之比为2∶1,则称此双曲线存在“L点”,下列双曲线中存在“L点”的是(　　)
A.x2-y24=1 B.x2-y29=1
C.x2-y215=1 D.x2-y224=1
解析若双曲线的方程为x2-y24=1,
则a=1,c=5,不妨设|PF1|=2|PF2|,则由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,即(x-5)2+y2=4,与双曲线方程4x2-y2=4联立可得5x2-25x-3=0,其判别式Δ=20+60=80>0,故存在“L点”.
答案A
3.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,F1关于N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆

解析连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,∴|MF2|=2.
∵F1关于N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,
由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,
∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|.由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.
答案B
4.已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为　　　　　.?
解析因为F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,
所以F(2,0).
因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,yP).
因为P是C上一点,所以4-yP23=1,解得yP=±3,
所以P(2,±3),|PF|=3.
又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,
所以S△APF=12×|PF|×1=12×3×1=32.
答案32
5.数学家华罗庚曾说过,“数缺形时少直观,形少数时难入微”,事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:与(x-a)2+(y-b)2相关的代数问题可以考虑转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程|x2+8x+20-x2-8x+20|=4的解为　　　　　.?
解析|x2+8x+20-x2-8x+20|=4,
即|(x+4)2+22-(x-4)2+22|=4.
其几何意义是动点(x,2)到定点(-4,0)和(4,0)的距离之差的绝对值为4,
∴该曲线为双曲线,
∴2a=4,a=2,c=4,b2=12,
∴双曲线的标准方程为x24-y212=1.
∵点(x,2)在该双曲线上,∴x24-412=1,
解得x=±433.
答案±433
6.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=34,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程.
解因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN=34,
所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.
由3k+4k+5k=48,得k=4.
所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.

以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.
设所求双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).
由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.
由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,
所以b2=c2-a2=100-4=96,
故所求方程为x24-y296=1.
7.已知双曲线x216-y24=1的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点M在双曲线上,且MF1·MF2=0,求M点到x轴的距离;
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(32,2),求双曲线C的方程.

解(1)如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,MF1·MF2=0,
则MF1⊥MF2,
设|MF1|=m,|MF2|=n,
由双曲线定义,知m-n=2a=8,①
又m2+n2=(2c)2=80,②
由①②得m·n=8,
∴12mn=4=12|F1F2|·h,
∴h=255.
(2)设所求双曲线C的方程为x216-λ-y24+λ=1(-4<λ<16),
由于双曲线C过点(32,2),
∴1816-λ-44+λ=1,
解得λ=4或λ=-14(舍去),
∴所求双曲线C的方程为x212-y28=1.
素养培优练
1.设F1,F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且PF1·PF2=0,则|PF1+PF2|=(　　)
A.25 B.5 C.210 D.10
解析由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-10,0),F2(10,0).
设点P(x,y),
则PF1=(-10-x,-y),PF2=(10-x,-y).
∵PF1·PF2=0,
∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10.
∴|PF1+PF2|
=|PF1|2+|PF2|2+2PF1·PF2
=2(x2+y2)+20=210.
答案C
2.设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示.已知△OFQ的面积为26,且OF·FQ=m,其中O为坐标原点.

(1)设6 (2)设|OF|=c,m=64-1c2,当|OQ|取得最小值时,求此双曲线的标准方程.
解(1)因为12|OF|·|FQ|sin(π-θ)=26,|OF|·|FQ|cosθ=m,
所以tan θ=46m.
又6 所以1 即tan θ的取值范围为(1,4).
(2)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),Q(x1,y1),则FQ=(x1-c,y1),
所以S△OFQ=12|OF|·|y1|=26,则y1=±46c.
又OF·FQ=m,即(c,0)·(x1-c,y1)=64-1c2,解得x1=64c,
所以|OQ|=x12+y12=38c2+96c2≥12=23,
当且仅当c=4时,取等号,|OQ|最小.
这时Q的坐标为(6,6)或(6,-6).
因为6a2-6b2=1,a2+b2=16,所以a2=4,b2=12,
于是所求双曲线的标准方程为x24-y212=1.