青岛版数学九年级上册课件2.1锐角三角比课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
2.1锐角三角比
1.认识锐角的正弦、余弦、正切.
2.理解直角三角形的边角关系.
3.学会运用直角三角形中两边之比求sin
A,cos
A,tan
A
的值,并用锐角三角比进行相关计算.
学习目标
生活中的梯子
梯子是我们日常生活中常见的物体.
情境导入
你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
如图,我们知道：当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.此时,其他边之间的比值也确定吗?
结论:
在Rt△ABC中,如果锐角A确定时,那么∠A的对边与斜边的比,邻边与斜边的比也随之确定.
想一想
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
在Rt△ABC中,锐角A对边与斜边的比叫作∠A的正弦,记作sin
A,即
.
在Rt△ABC中,锐角A邻边与斜边的比叫作∠A的余弦,记作cos
A,即
.
感悟新知
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
cos
A=
∠A的邻边
斜边
sin
A=
∠A的对边
斜边
正弦、余弦的定义
结论:梯子的倾斜程度与sin
A和cos
A有关:
sin
A越大,梯子越陡;cos
A越小,梯子越陡.
如图,梯子的倾斜程度与sin
A和cos
A有关吗?
探究
A
C2
C1
B2
B1
例
如图，在Rt△ABC，∠B=90°，AC=200，sin
A=0.6.
求BC的长.
老师期望:
请你求出cos
A,
tan
A,
sin
C,
cos
C和tan
C的值.你敢应战吗?
200
A
C
B
┌
?
怎样解答
解:在Rt△ABC中,
∵sin
A＝
，即=
0.6，
∴BC＝AC×0.6＝200×0.6=120.
例题探究
┐
A
B
C
例2
如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,
AC=10,
求AB,
sin
B.
老师期望:
注意到这里cos
A=sin
B,其中有没有什么内在的关系?
∵
如图，小明想通过测量AC1及B1C1，算出他们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量AC2及B2C2，算出他们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？
A
C2
C1
B2
B1
正切
C2
(1)直角三角形A
B1C1和直角三角形A
B2C2有什么关系?
(2)
和
有什么关系?
(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?
由感性到理性
C2
C1
A
B2
B1
(1)Rt△
A
B1C1和Rt△
A
B2C2有什么关系?
相似
(2)
A
C2
C1
B2
B1
∵∠A=∠A
，∠AC1B1=∠AC2B2，
∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2.
A
C2
C1
B2
B1
在直角三角形中，若一个锐角确定,那么这个角对边与邻边的比值也是确定的.
归
纳
1.sin
A,
cos
A,
tan
A是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sin
A,
cos
A,
tan
A是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；
3.sin
A,
cos
A,
tan
A是一个比值.
注意比的顺序,
且sin
A,
cos
A,
tan
A均﹥0,无单位.
4.sin
A,
cos
A,
tan
A的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角比相等；两锐角的三角比相等,则这两个锐角相等.
知识梳理
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
∠A的对边
∠A的邻边
tan
A
∠A的正切
在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比随之确定,这个比叫作
∠A的正切.
记作:tan
A.
读？
思考
梯子的倾斜程度与tan
A有关系吗？
（1）tan
A是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角（注意构造直角三角形）.
（2）tan
A是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.
注意：
（3）tan
A是一个比值（直角边之比，注意比的顺序）；且tan
A
﹥0，无单位.
（4）tan
A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的大小无关.
议一议：
梯子的倾斜程度与tan
B有什么关系？
tan
B的值越大，梯子越陡，∠B越大.
?
怎样解答
A
B
C
归
纳
(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾
斜角较大的物体，就说它放得更“陡”．
(2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程
度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放
置得越“陡”．
例１
如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
乙
甲
13
m
5
m
6
m
8
m
解：甲梯中，
tan
α=
.
乙梯中，
tan
β＝
.
因为tan
β＞tan
α，所以乙梯更陡.
例2
在△ABC中，∠C=90°，BC=12
cm，AB=20
cm，求tan
A和tan
B的值.
20
12
?
怎样解答
A
B
C
tan
A=
tan
B=
.
解：在△ABC中，∠C＝90°，所以AC=
=16(cm),
解题小结
直角三角形中求锐角正切值的方法：
(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；
(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利
用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义
求解．
例（桂林中考）如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝________．
根据题意得∠BCD＝∠CAB，
所以tan
∠BCD＝tan
∠CAB＝
解析：
答案：
解题小结
直接求某个锐角的正切值有困难时，可以考虑利
用中间量进行转化，可以是相等的角作为中间量，还
可以利用相似，得到相等的比作为中间量．
1.判断对错:
(1)如图1，
tan
A=
　.　（
　
）
(2)如图1，
tan
B
=
.　（　
）
图1
错
错
?
怎样解答
A
B
C
随堂练习
(４)如图2，tan
B=　.　　　
（
）　　　　　　
图2
(３)如图2，tan
A=0.7
m.　　（
　）
错
对
?
怎样解答
A
B
C
10
m
7
m
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tan
A的值（
）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
C
3.如图，△ABC是等腰三角形，AB=BC,你能根据图中所给数据求出tan
C吗？
tan
C=
B
A
C
D
4
1.5
4.
在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求tan
B.
tan
B=12/5
13
13
10
D
5
12
B
A
C
D
5.如图，∠C=90°，CD⊥AB，则
tan
B=
.
CD
BD
AC
BC
AD
CD
A
B
C
D
6.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
求:
sin
B,cos
B,tan
B.
本题没有直角三角形，你怎么办？
老师提示:过点A作AD⊥BC于D.
5
5
6
A
B
C
┌
D
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,
BC=20,
求:△ABC的周长.
┐
A
B
C
提示:分别求出AB,AC.
8.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sin
A的值（
）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
9.已知∠A,∠B为锐角
(1)若∠A=∠B,则sin
A
sin
B;
(2)若sin
A=sin
B,则∠A
∠B.
A
B
C
┌
C
=
=
10.如图,
∠C=90°，CD⊥AB.
sin
B=
——
=
——
=
——
.
11.在上图中,若BD=6,CD=12.求cos
A的值.
老师提示:
模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得？
┍
┌
A
C
B
D
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
CDBC
ACAB
ADAC
12.如图,根据图示数据求∠A的三角比.
老师提示:
求锐角三角比时,勾股定理的运用是很重要的.
┌
A
C
B
3
4
∵在Rt△ABC中，∵AC=4，BC=3，