(共24张PPT)
24.2解一元二次方程
冀教版九上
第二十四章
一元二次方程
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
第一课时
直接开平方法
配方法
03
体会转化、降次的数学思想方法.
02
会用配方法解一元二次方程.
01会用直接开平方法解一元二次方程.
学习目标
冀教版九上
旧知链接
1.一个正数4有（
）个平方根，是（
）.
0有（
）个平方根，是（
）.
负数-4（
）平方根.
2
±2
1
0
没有
是学习新知的必备条件哦
旧知链接
2.将下列各式补成完全平方式
①x2+4x+____
②x2-6x+____
③x2-10x+___
④x2+x+____
⑤x2+3x+____
⑥x2-0.5x+____
4
9
25
0.25
填空的规律是什么？
二次项系数为1时，只需把常数项填成一次项系数一半的平方.
新课引入
你会解一元二次方程？
告诉你一个小秘密，其实所有的一元二次方程你都会解.下面就让我们来见证奇迹......
新课引入
解下列方程
(1)x2=4
太简单啦
4的平方根是±2
∴x=±2
(2)(x-1)2=4
解：x-1=±2
即x-1=2
或
x-1=-
∴x=3
或
x=-1
看做整体，则(2)
转化为（1）
x-1的值互为相反数
x的值不是相反数
请用这种方法解方程(x+3)2=1
x=-2或x=-4
新课引入
(3)3(x-1)2=12
(2)(x-1)2=4
（3）可以转化为方程（2）吗？
解：方程两边同除以3得
(x-1)2=4
x-1=±2
∴x-1=2或x-1=-2
∴x=3或x=-1
(4)(x+10)2=-2
解：由于负数没有平方根
即没有任何数的平方等于-2
∴原方程无解.
这种解一元二次的方程的方法叫做直接开平方法
新课学习
一、直接开平方法
1.概念：对于等号左边是平方形式，右边是一个常数的一元二次方程，可用平方根的意义在方程两边直接开平方，求得方程的解，这种解一元方程的方法叫做直接开平方法.
新课学习
(1)x2=4
2.用直接开平方法解一元二次方程的根的情况有三种
(2)x2=0
(3)x2=-4
x=±2
x=0
无解
方程有两个不相等的根
方程有一个根
方程没有根
也叫有两个相等的根
新课学习
3.直接开平方法的一般步骤
①
②
③
将括号前的常数变为1
直接开平方
解一元一次方程，得出x
二次化为一次
降次
一定有解吗？
新课学习
二、探究用配方法解一元二次方程
解方程
(1)
x2-2x+1=4
能转化为你会做的形式吗？
原方程可化为(x-1)2=4
(x-1)2
用直接开平方法即可
解方程
(2)
x2-2x=3
分析：能转化为（1）吗？
方程两边同时加1即可
x2-2x+1=3+1
转化为(1)
x2-2x+1=4
新课学习
二、探究用配方法解一元二次方程
解方程
(3)
x2-8x-2=0
移项，得
x2-8x=2
配方，得
x2-8x+16=3+16
∴x-4=3√2或x-4=-3√2
即(x-4)2=18
开平方，得
x-4=±3√2
只有常数项在右边
同加一次项系数一半的平方
化为一次方程
解一次方程
这种解一元二次方程的方法就做配方法.
新课学习
三、配方法
1.概念：通过配方，把一元二次方程变形为一边含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意：由于配方法是通过变形，将一元二次方程最终转化为用直接开平方去解，因此用配方法解一元二次方程也会出现3种结果.即方程有两个不相等的根；或一个根；或没有根.
新课学习
2.例题.用配方法解方程
2x2+3=6x
与之前的3个方程有何不同？怎样转化为相同？
方程
(1)
x2-2x+1=4
方程
(2)
x2-2x=3
方程
(3)
x2-8x-2=0
解：将二次项的系数化为1，得
移项，得
配方，得
只需多一步，即让a=1
新课学习
3.用配方法解一元二次方程的步骤.
1.将方程的二次项系数化为1；（方程两边同除以a）
2.移项；（只有常数项在等号的右侧）
3.配方；（方程两边同加b的一半的平方）
4.化为(x-m)2=n
(m,n是常数，n≥0)的形式；
5.开平方求得方程的根.
巩固练习
1.用配方法解下列一元二次方程
(写到练习本上，步骤要规范哦）
(1)5x2-7y+2=0
巩固练习
5
结果要注意什么？
两个非负数的和不能为负
考查到哪个知识点？
一个正数的两个平方根互为相反数
4
课堂小测
1．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是( )
A．x2＋4x＝5
B．2x2－4x＝5
C．x2－2x＝5
D．x2＋2x＝5
A
课堂小测
D
课堂小测
3．一元二次方程x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋b的形式，其中a，b为整数，a＋b的值为( )
A．20
B．12
C．－12
D．－20
A
4
-3
课堂小测
课堂小测
当x-5取最小值0时，代数式的值最小，为-20.
回顾小结
1.直接开平方法（不要打开括号）
2.配方法（a化1、移项、配方、开方、求解）
一.解一元二次方程的两种方法
二.解一元二次方程用到的数学思想方法
转化思想
把一元二次方程转化为一元一次方程
同学们再见(共26张PPT)
24.2解一元二次方程
冀教版九上
第二十四章
一元二次方程
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
第二课时
公式法
03
会熟练用公式法解一元二次方程.
02
理解根的判别式并会运用.
01会用配方法推导求根公式.
学习目标
冀教版九上
新课引入
（1）方程5x2-2x=0与方程x2-2x=0的解会相同吗？为什么？
（2）方程5x2-2x=0与方程5x2+6x=0的解会相同吗？为什么
(3)方程5x2-2x=0与方程5x2-2x+10=0的解会相同吗？为什么？
不相同，因为a不同.
不相同，因为b不同.
不相同，因为c不同.
新课引入
我们知道，当a、b、c确定下来时，一个一元二次方程也就确定下来了，一个确定的一元二次方程，它的根也是确定的，即a、b、c可以影响一个一元二次方程的根，那么一元二次方程的根与a、b、c之间有什么关系呢？这将是我们这节课研究的内容.
新课引入
把二次项系数化为1，得
移项，得
配方，得
整理，得
（先独立完成，再在小组内交流）
新课引入
对于
开平方时，我们知道有3种情况.
新课引入
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程没有实数根
x的值，或者说方程的结果是由a、b、c来决定，是有公式可套的.
新课学习
一、根的判别式
概念：由于可以根据
来判断一元二次方程根的情况，因此我们把
叫做一元二次方程的根的判别式.
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程没有实数根
巩固练习
C
（
）
（
）
1
新课学习
二、公式法
1.求根公式：
这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
2.公式法：
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
典例精析
例1.用公式法解下列方程：
（1）4x2-3=-x
为什么要先计算
呢？
解：原方程可化为
4x2+x-3=0
先化为一般形式，再确定a、b、c.
典例精析
例1.用公式法解下列方程：
(2)-3x2-2x+2=0
方法二：原方程可化为
3x2+2x-2=0
哪一种方法计算起来舒服？
方法二
化a为正
典例精析
例1.用公式法解下列方程：
哪一种方法计算起来舒服？
化系数为整
方法二：原方程可化为
2x2+x-3=0
方法二
总结提升
用公式法解一元二次方程时的注意事项
1.先化一般形式，再确定a、b、c的值；
2.化一般形式时，一般使系数a为正数；
3.化一般形式时，一般使各系数为整数；
4.化一般形式时，一般使系数小一些.
巩固练习
用公式法解一元二次方程（步骤要规范）
典例精析
例2.已知关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0，分别求下列问题中k的值或取值范围.
(1)方程有两个不相等的实数根
∵a=k≠0
∴k的取值范围是k>-1且k≠0.
敲黑板，记重点，隐含条件a≠0不要忘哦！
典例精析
例2.已知关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0，分别求下列问题中k的值或取值范围.
(2)方程有两个相等的实数根
∴k的值为-1.
(3)方程没有实数根
∴k的取值范围是k<-1.
课堂小测
1.一元二次方程x2＋2x＋3＝0根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
C
课堂小测
C
课堂小测
3.关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．不能确定
分析：(k＋3)2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8.
∵(k＋1)2≥0，∴(k＋1)2＋8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
A
课堂小测
注意：考查了两个知识点①根的判别式
②二次项系数a≠0.
D
课堂小测
D
课堂小测
6.用公式法解一元二次方程3x2＝4－2x.
课堂小测
D
4
-3或-5
(
)
(
)
(
)
回顾小结
一.用公式法解一元二次方程的步骤
二.求根公式
三.根的判别式
本节课的学习内容
同学们再见(共19张PPT)
24.2解一元二次方程
冀教版九上
第二十四章
一元二次方程
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
第三课时
因式分解法
03
会灵活选择合适的方法解一元二次方程.
02
会熟练运用因式分解法解一元二次方程.
01理解用因式分解法解一元二次方程的合理性.
学习目标
冀教版九上
新课引入
小红，你暑假读了几本课外书？
嗯，那我来考考你，我读的书的本数的平方和我读的书的本数的7倍相等，你知道我读了几本书吗？
让我算一算，是7本吗？
小红
小明
小明算的对吗？
新课引入
设小红读的课外书的本数是x,
可列方程
x2=7x
请你解出这个方程，然后与同伴交流，大家的解法都一样吗？如果不一样，谁的解法更快捷呢？
新课引入
公式法
配方法
新课引入
方法三：将方程x2=7x
移项得，x2-7x=0
方程左边分解因式，得x(x-7)=0
两因式相乘得0，则每一项都有可能为0
∴x=0,或x-7=0
解得x=0或x=7
哪种解方程的方法做起来最快捷？你喜欢哪一种解法？为什么？
方法三
因为计算量最小
这种方法是今天我们要学习的因式分解法
新课学习
一、因式分解法
概念：把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
解析：方程的右边为0，即所有项要移到方程的左边，在方程的左边分解因式.
旧知链接
把下列各式分解因式：（独立完成，再与同伴交流）
(2x+11)(2x-7)
(y-3)(1+2x)
3(3x+7)(x-1)
(x-4)(x+1)
｛
｛
提公因式
平方差公式
要有整体意识，培养数感
4进括号变为2
典例精析
例1.用因式分解法解下列方程：
（1）3（x-1）2=2（x-1）
解：原方程可化为
3（x-1）2-2（x-1）=0
（x-1)[3(x-1)-2]=0
即（x-1)(3x-5)=0
∴x-1=0,或3x-5=0
①利用移项，将方程右边化为0
②在方程的左边分解因式
③化简分解后的因式
④转化为两个一次方程
⑤得出方程的解
（先独立完成，再与43页例题比照）
典例精析
（1）3（x-1）2=2（x-1）
小华的解法：
方程两边同时除以(x-1),得
3（x-1）=2
小华
为什么我只求出了一个x的值呢？
我们在利用等式的基本性质时，在等式两边同除以一个不为0的数或式子，等式不变;我们不能确定x-1≠0,因此不能在方程两边同时除以(x-1).
新课学习
(2)4(x-2)2=(x-1)2
解：原方程可化为
4(x-2)2-(x-1)2=0
即(2x-4)2-(x-1)2=0
∴(2x-4+x-1)(2x-4-x+1)=0
(3x-5)(x-3)=0
∴3x-5=0,或x-3=0
4进到括号里，可使计算方便
分解后，化简因式，可使计算方便
你还会用其他方法做吗？
典例精析
(2)4(x-2)2=(x-1)2
解：直接开平方，得
2(x-2)=±(x-1)
∴2(x-2)=x-1,或2(x-2)=-(x-1)
等号的两边均为平方形式时，直接开平方法也是一种很好的方法.
总结提升
因式分解法，只适合一些特殊的一元二次方程.即当把方程的所有项移到等号左边的时候，方程的左边可以分解因式.并不是所有的一元二次方程都能用因式分解法去解.
思考：任何方程都可以用因式分解法解吗？
巩固练习
先选择合适的解法，再解方程.
①
x2+2x=3
②
x2-3x=5(x-3)
③
3x2-2x-2=0
④(3x+2)2=25
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
思考：解一元二次方程如何选择适当的解法？与你的同伴交流一下吧.
总结提升
选择适当的解法解一元二次方程
因式分解法
把等号的右边化为0后，左边可以分解因式.如：方程
x2-3x=5(x-3)
直接开平方法
等号左边为平方形式，右边为一个非负数.如：方程(3x+2)2=25
配方法
二次项系数为1，一次项系数为偶数.如：方程x2+2x=3
公式法
不能用其他方法时，化为一般形式用.如：方程3x2-2x-2=0
适合特定方程
适合所有方程
课堂小测
1.用适当的方法解下列方程：
（1）(x+1)2=9
（2）x2-4x=6
(3)2x2-3x-1=0
(4)(x-1)2=(2x+1)2
直接开平方或因式分解
配方法
公式法
直接开平方或因式分解
课堂小测
2.已知3是关于想的方程x2-（m+1)x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的长，则△ABC的周长为（
）
10或11
回顾小结
一.通法：
公式法
配方法
二.特定方法：
直接开平方法
因式分解法
解一元二次方程的方法
同学们再见
