轴对称图形--圆：第五讲--直线与圆位置关系（1）
教学目标：探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系．
学会透过现象看本质，理解点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的本质。选学圆与圆的位置关系。
教学重点：理解直线与圆位置关系的判断依据，并且能够偶理解点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的本质，学会利用数学思维来辩证的看待问题。
导学相关：
点和圆的位置关系分为：点在圆上，点在圆内，点在圆外．三种情况。
探究：
①请用刻度尺测量点P到点O之间的距离（d）
②分别比较点在圆中不同位置的情况下，d与半径r之间的关系
归纳总结：
如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么点在圆外?d＞r；点在圆上?d=r；点在圆内?d＜r.
文字表示
图形表示
r与d的关系
点在圆上
点在圆内
点在圆外
总结：
在平面内，点与圆有3种位置关系：
①点在圆内，②点在圆上，③点在圆外。
如果设⊙的半径为，点到圆心的距离为，那么“点P在圆内
←→;点P在圆上←→；点P在圆外←→”
直线与圆位置关系
1.直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。（）
2.直线与圆有唯一的公共点，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。（）
3.直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。（）
直线与圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来区分，它们的结果是一致的。
4.切线的性质与判定：
判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线式圆的切线。
性质：（圆的切线垂直于过切点的半径）
经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点。
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线与圆只有一个公共点；切线与圆心的距离等于半径；切线垂直于过切点的半径。
5.内心：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角平分线的交点。
这个三角形叫做圆的外切三角形
常见考点
如图，边长为的正方形池塘的周围是草地，池塘边上的四处各有一棵树，测量发现的长都是一农夫用长为的绳子将一头牛拴在其中一棵树上，为了使牛在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在哪棵树上?
小明家养着两只狗，由于某种原因，他们一家人都要出门一天，他的爸爸要小明把两只狗带到院子里，拴在木桩上，之间的距离是，拴狗的绳长都是，他的妈妈给小狗们准备好了一天的食物放在盘子里，小明应该把盘子放在什么位置，才能保证两只狗都能吃到食物?
⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是
(
)
相切
B．相交
C．相离
D．无法确定
例4.
在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是
(
)
A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直
B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点
C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点
D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径
如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－与⊙O的位置关系是
(
)
A．相离
B．相切
C．相交
D．以上三种情况都有可能
如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是
(
)
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
以等腰三角形顶角的顶点为圆心，顶角平分线的长为半径的圆，必与底边
(
)
相离
B．相交
C．相切
D．无法确定
例7.
已知圆的半径为r＝5，圆心到直线l的距离为d，当d满足_______时，直线l与圆有公共点．
举一反三
如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径
为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，开始时，PO＝6cm，如果⊙P
以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间
t（秒）满足什么条件时，⊙P与直线CD相交？
如图，⊙O的半径为5
cm，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝
6
cm．AC＝4
cm，如果以O为圆心，再作一个与AC相切的圆，那
么这个圆的半径是多少？它与AB有怎样的位置关系？为什么？
如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴交
于A、B两点，点P的坐标为（3，－1），AB＝2．
(1)求⊙P的半径；
(2)将⊙P向下平移，求⊙P与x轴相切时平移的距离．
课堂作业
1．已知⊙O的半径为6
cm．
(1)点O到直线a的距离为4
cm，则⊙O与直线a的位置关系是_______，直线a与⊙O的公共点个数是_______；
(2)点O到直线b的距离为6
cm，则⊙O与直线b的位置关系是_______．
(3)点O到直线c的距离为7
cm，则⊙O与直线c的位置关系是_______．
2．已知⊙O的半径为6，圆心O到直线a的距离为d，若直线a与⊙O没有公共点，则有
(
)
A．d<6
B．d≤6
C．d＝6
D．d>6
3．已知⊙O的圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r．如果d，r是关于一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个根，那么直线l与⊙O相切时，m的值为_______．
4．在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，3为半径的圆，一定
(
)
A．与x轴相切，与y轴相切
B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切
D．与x轴相交，与y轴相交
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4
cm，AC＝3
cm，以点C为圆心，r为半径画⊙C，⊙C与直线AB有怎样的位置关系？为什么？
r＝2
cm；
(2)r＝2.4
cm；(3)r＝3
cm.
6．如图，∠AOB＝30°，点M在OA上，且OM＝6
cm，以M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画⊙M和射线OB的公共点个数之间的对应关系．
7．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是
(
)
A．相切
B．相离
C．相离或相切
D．相切或相交
8．如图，已知O为原点，点A的坐标为(4，3)，⊙A的半径为2，过点A作直线l平行于x轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动．
(1)当点P在⊙A上时，请直接写出它的坐标；
(2)设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，请说明理由．
9．如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是_______．
思考过程：
10．如图，⊙O的直径AB＝8，弦CD＝4，且CD∥AB，判断以CD为直径的圆与直线AB有怎样的位置关系，为什么？
参考答案
1．(1)相交
2
(2)相切
(3)相离
2．D
3．1
4．C
5．
①若⊙M和射线OB没有公共点，则r<3
cm；
②若⊙M和射线OB有1个公共点，则r＝3
cm或r>6
cm；
③若⊙M和射线OB有2个公共点，则3
cmcm．
7．D
8．
(1)(2，3)或(6，3)
9．－≤x≤
10．相交轴对称图形--圆：第五讲--直线与圆位置关系（1）
1．已知⊙O的半径为R，直线l和O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是( )
A．d＞R
B．d＜R
C．d≥R
D．d≤R
2．已知⊙O的直径为12cm，圆心O到直线l的距离为7cm，则直线l与O的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
3．已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与O的位置关系为( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．相交、相切、相离都有可能
4．在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，3为半径的圆，一定
(
)
A．与x轴相切，与y轴相切
B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切
D．与x轴相交，与y轴相交
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4
cm，AC＝3
cm，以点C为圆心，r为半径画⊙C，⊙C与直线AB有怎样的位置关系？为什么？
r＝2
cm；
(2)r＝2.4
cm；(3)r＝3
cm.
6．如图，∠AOB＝30°，点M在OA上，且OM＝6
cm，以M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画⊙M和射线OB的公共点个数之间的对应关系．
7．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是
(
)
A．相切
B．相离
C．相离或相切
D．相切或相交
8．如图，已知O为原点，点A的坐标为(4，3)，⊙A的半径为2，过点A作直线l平行于x轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动．
(1)当点P在⊙A上时，请直接写出它的坐标；
(2)设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，请说明理由．
9．圆心O到直线l的距离为d，⊙O半径为R．若d、R是方程
x2－9x＋20＝0的两根，则直线和圆的位置关系是相交，则d、R值
为_______；若d、R是方程x2－4x＋m＝0的两个根，且直线l与
⊙O相切，则m的值是_______．
10．如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数y＝(x>0)的图线上运动，当点P的坐标为_______时，⊙P与x轴相切．
11．如图，等边△ABC边长为6cm，AD是高，若以点D为圆心，
r为半径作圆，试分别确定⊙D与AB有怎样的位置关系？为什么？
(1)r＝3
cm；(2)r＝4.5
cm；
(3)r＝6
cm.
答案
1．D 2．C
3．D
4．C
5．
①若⊙M和射线OB没有公共点，则r<3
cm；
②若⊙M和射线OB有1个公共点，则r＝3
cm或r>6
cm；
③若⊙M和射线OB有2个公共点，则3
cmcm．
7．D
8．
(1)(2，3)或(6，3)
9．d＝4，R＝5
4
10．(3，2)
11.(1)当r＝3
cm时，⊙D与AB相离；
(2)当r＝4.5
cm时，⊙D与AB相切；
(3)当r＝6
cm时，⊙D与AB相交；轴对称图形--圆：第六讲--直线与圆位置关系（2）
教学目标：了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线.掌握切线的判定定理和应用
教学重点：直线与圆位置关系的判定是中考考查的热点，通常出现在选择题中．中考考查的重点是切线的性质和判定，题型多样，常与三角形、四边形、相似、函数等知识结合在一起综合考查．圆与圆位置关系的判定一般借助两圆公共点的个数或利用两圆半径与圆心距的关系来判定，通常出现在选择题、填空题
导学相关：
切线的判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）
说明：应用判定定理，需同时满足以下两个条件：
（1）过半径外端，（2）与这条半径垂直
证明切线的方法：
（1）如果已知直线过圆上某一点，则可作出这一点的半径证明直线垂直于该半径。即为“连半径证垂直得切线”。
（2）若已知条件中未明确给出直线和圆有公共点时，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即为：“作垂直证半径得切线”。
切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
常见考点
如图，已知上三点半径，切线交延长线于点，则的长为（ ）
A．2
B．
C．
D．
如图，为的直径，为⊙上一点，为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．
（1）求证：∠A＝∠DOB；
（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
如图，在矩形中，以边为直径作半圆，对角线与半圆的另一个交点为，连接．
（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，求AE的长．
如图，的内切，
则
A.70°
B.
110°
C.120°
D.130°
举一反三
如图，△中，内切圆和边分别相切于点，若∠°，
则∠的度数为
．
2．如图，在直角，坐标系中的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则内心的坐标是
．
3.如图，在中与的三边分相切于点若的半径，则的面积为
．
课堂作业
若的周长为，面积为，则的内切圆的半径为
．
在中，∠°，与的三边分相切于点若则的面积为
．
如图，正方形的边长为，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，再过点作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点．求：的面积．轴对称图形--圆：第六讲--直线与圆位置关系（2）
1．下列说法中正确的是( )
A．内心一定在三角形内部，外心一定在三角形外部
B．任何三角形只有一个内切圆，任何圆只有一个外切三角形
C．到三角形三边所在的直线距离相等的点只有一个
D．PA，PB分别切⊙O于A，B两点，则PA＝PB
2．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A＝25°，则∠D＝( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
3．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠P＝60°，那么∠AOB＝( )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
4．如图，AD，DC，BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC的度数为( )
A．100°
B．90°
C．60°
D．45°
5．如图，如果一正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为( )
A．2
B．3
C．
D．
6．如图①，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，C是OB延长线上任意一点；过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交DC于点E．
(1)求证：CD＝CE；
(2)若将图①中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于点F，交⊙O于点B'，其他条件不变（如图②），那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？
(3)若将图①中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变（如图③），那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？
7．如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，E是的中点，连接AE、OD，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P．
(1)求∠AOD的度数；
(2)求证：PD是半圆O的切线．
8．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
(2)若PC＝2，求⊙O的半径和线段PB的长；
(3)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
9．如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD＝BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，G为DF的中点，连接CG、OF、FB．
(1)求证：CG是⊙O的切线；
(2)若△ABF的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．
答案
1．D
2．A 连接OC，则∠DCO＝90°，∠DOC＝50°.故∠D＝40°.
3．C ∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.∴∠AOB＝360°－∠P－∠PAO－∠PBO＝120°.
4．B 根据切线长定理，得∠ADO＝∠CDO，∠DCO＝∠BCO.
∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°.
∴∠ODC＋∠OCD＝90°.
∴∠DOC＝90°.
5．D
6．(1)略
(2)成立
(3)成立
7．(1)60°
(2)略
8．(1)AB＝AC
(2)
(3)≤r<5
9．略轴对称图形--圆：第七讲--直线与圆位置关系（3）
教学目标：掌握切线长定理，能够运用切线长定理解决实际问题。了解并掌握三角形的内切圆和三角形的内心的定义，会作出三角形的内切圆
教学重点：理解切线长定理，并且能够熟练运用。辨析三角形内心、三角形外心的定义，熟练掌握三角形内心和外心的性质。
导学相关：
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴
平分
圆与三角形的关系
三角形的外接圆
（1）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等．
（2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径(为斜边长)．
三角形的内切圆
（1）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．
（2）若三角形的面积为，周长为a+b+c,则内切圆半径为:，当为直角三角形的直角边，为斜边时，内切圆半径或.
常见考点
1．如图，PA、PB是⊙O是切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝25°，则∠P＝°_______．
2．如图，若AB、AC分别切⊙O于点B、C，延长OB到点D使BD＝OB，连接AD，∠DAC＝72°，则∠ADO等于
(
)
A．48°
B．36°
C．66°
D．72°
3．如图，AB、AC切⊙O于点B、C，AO交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线分别交AB、AC于点E、F，若OB＝6，AO＝10，则△AEF的周长是
(
)
A．10
B．12
C．14
D．16
4．如图，PA、PB分别切⊙O于点A和B，C为弧AB上一点，过C与⊙O相切的直线分别交PA、PB于点D和E，若∠APB＝60°，则∠DOE＝_______°．
5．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB．
(1)试说明：PB是⊙O的切线；
(2)已知PA＝，BC＝1，求⊙O的半径．
举一反三
1．如图，⊙O内切于Rt△ABC，∠BOC＝105°，∠ACB＝90°，AB＝20
cm．求BC、AC的长．
2．如图，PB、PA分别切⊙O于点B、A，直线PO交⊙O于点E、F，连接AB交直线PO于点D．试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系．
课堂作业
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．则△ABC的内切圆半径r＝_______．
2．若△ABC内切圆的切点将该圆圆周分为7：8：9三条弧，则△ABC的最小内角为_______．
3．下列命题正确的是
(
)
A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B．三角形的内心不一定在三角形的内部
C．等边三角形的内心、外心重合
D．一个圆一定有唯一一个外切三角形
4．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，则⊙O的半径等于_______．
5．如图，三条笔直的公路相交于A、B、C三点，现要在A、B、C三点组成的三角形区域内建一个物流园区，使建成后的物流园区到三条公路的距离相等且最近，请在图中作出物流园区的位置P．
6．如图，⊙I切△ABC的各边分别为点D、E、F，∠A＝n°，
M是上的动点（与点D、F不重合），
试探究∠DMF的大小是否为定值，并说明理由．
答案
1．2
2．45°
3．C
4．
5．
6．是定值轴对称图形--圆：第七讲--直线与圆位置关系（3）
1．下列说法：①垂直于切线的直线必过圆心；②过圆心且垂直于切线的直线必过切点；③经过直径两个端点的切线互相平行；④如果圆的两条切线互相平行，那么经过两个切点的直线必过圆心，其中正确的个数是
(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为
(
)
A．40°
B．50°
C．65°
D．75°
3．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是
(
)
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
4．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为
(
)
A．2，22.5°
B．3，30°
C．3，22.5°
D．2，30°
5．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是
(
)
A．DE＝DO
B．AB＝AC
C．CD＝DB
D．AC//OD
6．我们学习了三种判定切线的方法，它们是：(1)和圆_______公共点的直线是圆的切线；(2)圆心到它的距离_______的直线是圆的切线；(3)过半径外端点且_______的直线是圆的切线．
7．在△ABO中，OA＝OB＝2
cm，⊙O半径为1
cm．当∠ABO＝_______时，直线AB与⊙O相切；当_______时，直线AB与⊙O相交；当_______时，直线AB与⊙O相离．
8．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P＝70°，则∠C的大小为_______．
9．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD//AB，若⊙O的半径为，CD＝4，则弦AC的长为_______．
10．如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°．点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是_______．
11．如图，O为∠BAC的平分线上的一点，OD⊥AB，D为垂足，以O为圆心，OD为半径作⊙O求证：⊙O与AC相切．
12．如图，在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(－3，1)，C(－3，1)，D(－2，2)，E(0，－3).
(1)画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；
(2)若直线l经过点D（－2，－2），E(0，－3)，判断直线l与
⊙P的位置关系．
参考答案
1—5
CCDAA
6．只有一个
等于半径 垂直于半径
7.30° ∠AB0<30° 30°<∠AB0<90°
8.55°
9.2
10.－≤x≤
11．略
12.(1)如答图所示：△ABC外接圆的圆心为P(－1，0)，点D在⊙P上；(2)相切．
