轴对称图形--圆：第十讲--圆与正多边形
教学目标：1.理解正多边形与圆的关系；2.正多边形的外接圆的性质；3.理解正多边形的性质；4.会用尺规作图作出正多边形
教学重点：1.理解正多边形的性质以及割圆术；2.正多边形的面积计算公式；3.正多边形的周长计算公式；4.等分圆。
导学相关：
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。“圆，一中同长也”。意思是说：圆只有一个中心，圆周上每一点到中心的距离相等。早在我国先秦时期，《墨经》上就已经给出了圆的这个定义，而公元前11世纪，我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系。认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积。我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们现在（2019年）所熟悉的公式。
总结归纳：
1.正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
2.性质：正多边形都是对称图形，一个正边形共有条对称轴，没条对称轴都通过正n边形的中心。一个正多边形如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。
3.边数相同的正多边形相似。
4.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
友情提醒：（1）边数相同的正多边形相似，这是解与正多边形有关问题常用到的知识。
（2）任何三角形都有外接圆和内切圆，但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆。过正5.多边形任意三个顶点的圆就是这个正多边形的外接圆。
6.作正多边形：作半径为R的正n边形的关键是n等分圆。这就要学习两种方法：
用量角器等分圆，可以作任意正多边形，这是近似作法。具体地说先计算出顶点在圆心的角的度数，即正边形的圆心角为，然后依次用量角器将圆等分，顺次连接各分点，就作出正n边形。用尺规等分圆，作正方形和正六边形。具体地说：先作出两条互相垂直的直径，将圆四等分，顺次连接各分点，就做出正方形；用圆规从圆上一点顺次截取等与半径的弦，将圆六等分，顺次连接各等分点，就作出正六边形。
常见考点
如图，正六边形内接于⊙，连接．则∠的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
在半径为的圆上依次截取等于的弦，顺次连接各分点得到的多边形是（ ）
A．正三角形
B．正四边形
C．正五边形
D．正六边形
如图，若，分别是⊙的内接正五边形的边，上的点，，则∠
A．75°
B．54°
C．72°
D．60°
4.
如图，是⊙的内接正六边形的一边，点在上，且是⊙的内接正十边形的一边，若是⊙的内接正边形的一边，则＝
．
举一反三
如图，⊙的半径为2，正八边形内接于⊙，对角线、相交于点，则△的面积是
．
如图正方形内接于⊙，为任意一点，连接、．
（1）求∠的度数．
（2）如图2，过点作∥交⊙于点，连接，求的长度．
如图，圆心角120°的扇形，绕着正六边形的中心旋转，交于，交于
（1）证明：△
≌△；
（2）若，求正六边形与扇形重叠部分的面积．
课堂作业
1．正八边形的每个内角为_______．
2．半径为4的圆的内接正四边形的面积为_______．
3．已知正六边形的六个顶点确定的圆是正六边形的外接圆，与正六边形各边都相切的圆是正六边形的内切圆，若正六边形的边长为2，则此正六边形的外接圆半径为_______，内切圆半径为_______．
4．比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点．例如，它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形，请你再写出它们的两个相同点和不同点．
相同点：(1)____________________________；(2)____________________________．
不同点：(1)____________________________；(2)____________________________．
5．(1)用量角器画一个正九边形（写出作法）；
(2)你能不能不借助圆画出一个正九边形？如果能，请画出一个边长为2
cm的正九边形；如果不能请说明理由．
6．如图所示是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图①）和梅花图案（图②）（图中的折扇无重叠）．请根据图形信息，求梅花图案中的五角星的五个锐角的度数．
答案
1．135°
2．32
3．2
4．（答案不唯一）相同点：(1)每个内角都相等（或每个外角都相等或对角线都相等）；(2)都是轴对称图形（或都有外接圆）；不同点：(1)正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°；(2)正五边形的对称轴是5条，正六边形的对称轴是6条．
5．(1)画图略，作法如下：先画一个圆，然后借助量角器将这个圆九等分（即每份所对圆心角为40°），依次连接各等分点所得的多边形就是正九边形．
(2)不借助圆能画出正九边形．
6．48°轴对称图形--圆：第十讲--圆与正多边形
1．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是( )
A．2
B．
C．1
D．
2．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为( )
A．1∶∶
B．∶∶1
C．3∶2∶1
D．1∶2∶3
3．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是( )
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．
D．∠BAC＝30°
4．如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形外轮廓线的周长是( )
A．7
B．8
C．9
D．10
一个中心角等于24°的正多边形的边数为__________；一个外角等于24°的正多边形的边数为__________．
6．等边三角形的边长为a
cm，则它的高为_______cm，面积为_______cm2，它的外接圆的半径为_______cm，面积为_______cm2，它的内切圆半径为_______cm，面积为_______．
7．半径为2
cm的圆内接正方形的对角线长为_______cm，面积为_______cm2．
8．在线段、正三角形、正方形、正五边形、正六边形这些图形中，
既是轴对称图形又是中心对称图形的有_______．
9．如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG
的面积为20
cm2，则正八边形的面积为_______cm2．
10．小亮从A点出发前进10
m，向右转15°，再前进10
m，又向右转
15°……这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了_______m．
11．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
CD＝5cm，求⊙O的半径R．
12．如图⊙O中，直径AB、CD互相垂直，试画出⊙O的一个内
接正方形和外切正方形，并求出这两个正方形的面积比．
..
答案
1．A
2．B
3．D
4．B 由正六边形轴对称的性质可知重叠部分上面的两条线段的长恰为一条边长，故所求外轮廓线的周长是8.
5．15 15
6．
7.4
8
8．线段、正方形、正六边形
9.40
10.240
11.5
cm
12．1：2
