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25.3 用频率估计概率
第二十五章 概率初步
知识点1 频率与概率的关系
1.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是( )
A.频率等于概率
B.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近
C.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近
D.试验得到的频率与概率不可能相等
B
2.用频率估计概率,可以发现,某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9,下列说法正确的是( )
A.种植10棵幼树,结果一定是“有9棵幼树成活”
B.种植100棵幼树,结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”
C.种植10n棵幼树,恰好有“n棵幼树不成活”
D.种植n棵幼树,当n越来越大时,种植幼树成活的频率会越来越稳定于0.9
D
知识点2 用频率估计概率
3.一个盒子中装有20颗蓝色幸运星、若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星,小明通过多次摸取幸运星试验后发现,摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右.若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星,则摸到黄色幸运星的可能性约为( )
C
4.一个不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出来的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入8个黑球(只有颜色不同),摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中摇匀,不断重复,共摸球400次,其中80次摸到黑球,估计盒中有白球__________个.?
【变式拓展】一个不透明的口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个,小红通过多次摸球试验,发现摸到红球的频率为30%,摸到蓝球的频率为20%,估计这个口袋中有_______个红球,_______个黄球,_______个蓝球.?
32
60
100
40
5.【教材母题变式】某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率,对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计图,根据统计图提供的信息解决下列问题:
(1)这种树苗成活的频率稳定在__________,成活的概率估计值为__________.?
(2)已知该地区已经移植这种树苗5万棵.
①估计这种树苗成活__________万棵.?
②如果该地区计划成活18万棵这种树苗,那么还需移植这种树苗约多少万棵?
0.9
0.9
4.5
解:18÷0.9-5=15.
答:还需移植这种树苗约15万棵.
6.一个盒子里装有若干个红球和白球,每个球除颜色以外都相同.5位同学进行摸球游戏,每位同学摸10次(摸出1球后放回,摇匀后再继续摸),其中摸到红球数依次为8,5,9,7,6,则估计盒中红球和白球的个数是( )
A.红球比白球多
B.白球比红球多
C.红球,白球一样多
D.无法估计
A
7.下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果:
下面有三个推断:
①当n为400时,发芽的大豆粒数为382,发芽的频率为0.955,所以大豆发芽的概率是0.955;
②随着试验时大豆的粒数的增加,大豆发芽的频率总在0.95附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计大豆发芽的概率是0.95;
③若大豆粒数n为4000,则估计大豆发芽的粒数为3800.
其中推断合理的是( )
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
D
8.一个布袋里装有10个只有颜色不同的球,这10个球中有m个红球,从布袋中摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀;再摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀……,通过大量重复试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.2左右,则m的值为__________.?
2
9.(改编)如图,为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积,画一个边长为4
m的正方形,使不规则区域落在正方形内.现向正方形内随机投掷小球(假设小球落在正方形内每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现小球落在不规则区域的频率稳定在常数0.65附近.则不规则区域的面积大约是__________m2.?
10.4
10.如图是一幅长为90
cm、宽为60
cm的有关北京冬奥会的长方形宣传画.
(1)为测量宣传画上吉祥物冰墩墩的面积,现将宣传画平铺在地上,向长方形宣传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现骰子落在吉祥物冰墩墩中的频率稳定在常数0.4附近,由此可估计宣传画上吉祥物冰墩墩的面积约为__________cm2.?
(2)现要为此宣传画配一个镜框制成一幅矩形挂画,要求镜框的四条边宽度相等.如果要使整个挂画的面积为7000
cm2,那么镜框边的宽度应是多少?
2160
解:(2)设镜框边的宽度为x
cm.
根据题意,得(60+2x)(90+2x)=7000,解得x=-80(舍)或x=5.
答:镜框边的宽度应是5
cm.
11.如图,两个转盘A,B都被分成了3个全等的扇形,在每一个扇形内均标有不同的自然数,固定指针,同时转动转盘A,B,两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字(若指针停在扇形的边线上,当作指向上边的扇形).
(1)用列表法(或画树状图法)表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果;
(2)小明每转动一次就记录数据,并算出两数之和,其中“和为7”的频数及频率如下表:
如果试验继续进行下去,根据上表数据,出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近,试估计出现“和为7”的概率;
(3)根据(2),若0解:(1)列表:
(2)由于出现“和为7”的频率稳定在0.33附近,估计出现“和为7”的概率为0.33.
(3)“和为7”的概率为0.33,表中共9种情况,和为7的情况有9×0.33≈3种,由于2+5=3+4=7,所以x+5,x+4,x+y,2+y,3+y中有一组和为7即可.
又因为0所以①x+5=7,x=2;②x+4=7,x=3;③x+y=7,x=1,y=6;
④2+y=7,y=5;⑤3+y=7,y=4.
因为在每一个扇形内均标有不同的自然数,所以只有③成立.所以x=1,y=6.25.3 用频率估计概率
1.在不透明的袋子里装有颜色不同的16个红球和若干个白球,每次从袋子里摸出来一个球记录下颜色后再放回,经过多次重复试验,发现摸到白球的频率稳定在0.6附近,估计袋中白球有
(D)
A.40个
B.38个
C.26个
D.24个
2.通过大量重复抛掷两枚均匀硬币的试验,出现两个反面的成功率大约稳定在
(A)
A.25%
B.50%
C.75%
D.100%
3.要考察某运动员罚篮命中率,下表是在多次测试中的统计数据:
罚进个数
80
140
293
523
613
823
罚球总数
110
182
396
701
820
1098
估计该运动员罚篮命中的概率是 0.75 .(结果精确到0.01)?
4.在进行某批乒乓球的质量检验时,抽取了2000个乒乓球,发现优等品有1866个,则这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是 0.93 .(精确到0.01)?
5.在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只,这些球除颜色外其余完全相同.摇匀后,小明做摸球试验,他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后,再把球放回盒子中,不断重复上述过程,下表是试验中的一组统计数据.
摸球的次数
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数
52
138
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.52
0.69
0.593
0.604
0.60
0.599
0.601
(1)若从盒子里随机摸出一只球,则摸到白球的概率的估计值为 0.6 ;(精确到0.1)?
(2)盒子里白色的球有 12 只;?
(3)若将m只完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀,随机摸出1只球是白球的概率为0.8,求m的值.
解:(3)根据题意,得=0.8,解得m=20.25.3 用频率估计概率
知识要点基础练
知识点1 频率与概率的关系
1.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是( )
A.频率等于概率
B.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近
C.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近
D.试验得到的频率与概率不可能相等
2.用频率估计概率,可以发现,某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9,下列说法正确的是( )
A.种植10棵幼树,结果一定是“有9棵幼树成活”
B.种植100棵幼树,结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”
C.种植10n棵幼树,恰好有“n棵幼树不成活”
D.种植n棵幼树,当n越来越大时,种植幼树成活的频率会越来越稳定于0.9
知识点2 用频率估计概率
3.一个盒子中装有20颗蓝色幸运星、若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星,小明通过多次摸取幸运星试验后发现,摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右.若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星,则摸到黄色幸运星的可能性约为( )
A.
B.
C.
D.
4.一个不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出来的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入8个黑球(只有颜色不同),摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中摇匀,不断重复,共摸球400次,其中80次摸到黑球,估计盒中有白球 个.?
【变式拓展】一个不透明的口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个,小红通过多次摸球试验,发现摸到红球的频率为30%,摸到蓝球的频率为20%,估计这个口袋中有 个红球, 个黄球, 个蓝球.?
5.【教材母题变式】某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率,对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计图,根据统计图提供的信息解决下列问题:
(1)这种树苗成活的频率稳定在 ,成活的概率估计值为 .?
(2)已知该地区已经移植这种树苗5万棵.
①估计这种树苗成活 万棵.?
②如果该地区计划成活18万棵这种树苗,那么还需移植这种树苗约多少万棵?
综合能力提升练
6.一个盒子里装有若干个红球和白球,每个球除颜色以外都相同.5位同学进行摸球游戏,每位同学摸10次(摸出1球后放回,摇匀后再继续摸),其中摸到红球数依次为8,5,9,7,6,则估计盒中红球和白球的个数是( )
A.红球比白球多
B.白球比红球多
C.红球,白球一样多
D.无法估计
7.下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果:
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1904
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.952
0.950
下面有三个推断:
①当n为400时,发芽的大豆粒数为382,发芽的频率为0.955,所以大豆发芽的概率是0.955;
②随着试验时大豆的粒数的增加,大豆发芽的频率总在0.95附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计大豆发芽的概率是0.95;
③若大豆粒数n为4000,则估计大豆发芽的粒数为3800.
其中推断合理的是( )
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
8.一个布袋里装有10个只有颜色不同的球,这10个球中有m个红球,从布袋中摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀;再摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀……,通过大量重复试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.2左右,则m的值为 .?
9.(改编)如图,为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积,画一个边长为4
m的正方形,使不规则区域落在正方形内.现向正方形内随机投掷小球(假设小球落在正方形内每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现小球落在不规则区域的频率稳定在常数0.65附近.则不规则区域的面积大约是
m2.?
10.如图是一幅长为90
cm、宽为60
cm的有关北京冬奥会的长方形宣传画.
(1)为测量宣传画上吉祥物冰墩墩的面积,现将宣传画平铺在地上,向长方形宣传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现骰子落在吉祥物冰墩墩中的频率稳定在常数0.4附近,由此可估计宣传画上吉祥物冰墩墩的面积约为
cm2.?
(2)现要为此宣传画配一个镜框制成一幅矩形挂画,要求镜框的四条边宽度相等.如果要使整个挂画的面积为7000
cm2,那么镜框边的宽度应是多少?
拓展探究突破练
11.如图,两个转盘A,B都被分成了3个全等的扇形,在每一个扇形内均标有不同的自然数,固定指针,同时转动转盘A,B,两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字(若指针停在扇形的边线上,当作指向上边的扇形).
(1)用列表法(或画树状图法)表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果;
(2)小明每转动一次就记录数据,并算出两数之和,其中“和为7”的频数及频率如下表:
转动
总次数
10
20
30
50
100
150
180
240
330
450
“和为7”出
现的频数
2
7
10
16
30
46
59
81
110
150
“和为7”出
现的频率
0.20
0.35
0.33
0.32
0.30
0.31
0.33
0.34
0.33
0.33
如果试验继续进行下去,根据上表数据,出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近,试估计出现“和为7”的概率;
(3)根据(2),若0知识要点基础练
知识点1 频率与概率的关系
1.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是( B )
A.频率等于概率
B.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近
C.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近
D.试验得到的频率与概率不可能相等
2.用频率估计概率,可以发现,某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9,下列说法正确的是( D )
A.种植10棵幼树,结果一定是“有9棵幼树成活”
B.种植100棵幼树,结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”
C.种植10n棵幼树,恰好有“n棵幼树不成活”
D.种植n棵幼树,当n越来越大时,种植幼树成活的频率会越来越稳定于0.9
知识点2 用频率估计概率
3.一个盒子中装有20颗蓝色幸运星、若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星,小明通过多次摸取幸运星试验后发现,摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右.若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星,则摸到黄色幸运星的可能性约为( C )
A.
B.
C.
D.
4.一个不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出来的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入8个黑球(只有颜色不同),摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中摇匀,不断重复,共摸球400次,其中80次摸到黑球,估计盒中有白球 32 个.?
【变式拓展】一个不透明的口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个,小红通过多次摸球试验,发现摸到红球的频率为30%,摸到蓝球的频率为20%,估计这个口袋中有 60 个红球, 100 个黄球, 40 个蓝球.?
5.【教材母题变式】某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率,对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计图,根据统计图提供的信息解决下列问题:
(1)这种树苗成活的频率稳定在 0.9 ,成活的概率估计值为 0.9 .?
(2)已知该地区已经移植这种树苗5万棵.
①估计这种树苗成活 4.5 万棵.?
②如果该地区计划成活18万棵这种树苗,那么还需移植这种树苗约多少万棵?
解:(2)②18÷0.9-5=15.
答:还需移植这种树苗约15万棵.
综合能力提升练
6.一个盒子里装有若干个红球和白球,每个球除颜色以外都相同.5位同学进行摸球游戏,每位同学摸10次(摸出1球后放回,摇匀后再继续摸),其中摸到红球数依次为8,5,9,7,6,则估计盒中红球和白球的个数是( A )
A.红球比白球多
B.白球比红球多
C.红球,白球一样多
D.无法估计
7.下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果:
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1904
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.952
0.950
下面有三个推断:
①当n为400时,发芽的大豆粒数为382,发芽的频率为0.955,所以大豆发芽的概率是0.955;
②随着试验时大豆的粒数的增加,大豆发芽的频率总在0.95附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计大豆发芽的概率是0.95;
③若大豆粒数n为4000,则估计大豆发芽的粒数为3800.
其中推断合理的是( D )
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
8.一个布袋里装有10个只有颜色不同的球,这10个球中有m个红球,从布袋中摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀;再摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀……,通过大量重复试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.2左右,则m的值为 2 .?
9.(改编)如图,为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积,画一个边长为4
m的正方形,使不规则区域落在正方形内.现向正方形内随机投掷小球(假设小球落在正方形内每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现小球落在不规则区域的频率稳定在常数0.65附近.则不规则区域的面积大约是 10.4 m2.?
10.如图是一幅长为90
cm、宽为60
cm的有关北京冬奥会的长方形宣传画.
(1)为测量宣传画上吉祥物冰墩墩的面积,现将宣传画平铺在地上,向长方形宣传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现骰子落在吉祥物冰墩墩中的频率稳定在常数0.4附近,由此可估计宣传画上吉祥物冰墩墩的面积约为 2160 cm2.?
(2)现要为此宣传画配一个镜框制成一幅矩形挂画,要求镜框的四条边宽度相等.如果要使整个挂画的面积为7000
cm2,那么镜框边的宽度应是多少?
解:(2)设镜框边的宽度为x
cm.
根据题意,得(60+2x)(90+2x)=7000,解得x=-80(舍)或x=5.
答:镜框边的宽度应是5
cm.
拓展探究突破练
11.如图,两个转盘A,B都被分成了3个全等的扇形,在每一个扇形内均标有不同的自然数,固定指针,同时转动转盘A,B,两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字(若指针停在扇形的边线上,当作指向上边的扇形).
(1)用列表法(或画树状图法)表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果;
(2)小明每转动一次就记录数据,并算出两数之和,其中“和为7”的频数及频率如下表:
转动
总次数
10
20
30
50
100
150
180
240
330
450
“和为7”出
现的频数
2
7
10
16
30
46
59
81
110
150
“和为7”出
现的频率
0.20
0.35
0.33
0.32
0.30
0.31
0.33
0.34
0.33
0.33
如果试验继续进行下去,根据上表数据,出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近,试估计出现“和为7”的概率;
(3)根据(2),若0解:(1)列表:
BA
x
2
3
y
(x,y)
(2,y)
(3,y)
4
(x,4)
(2,4)
(3,4)
5
(x,5)
(2,5)
(3,5)
(2)由于出现“和为7”的频率稳定在0.33附近,估计出现“和为7”的概率为0.33.
(3)“和为7”的概率为0.33,表中共9种情况,和为7的情况有9×0.33≈3种,由于2+5=3+4=7,所以x+5,x+4,x+y,2+y,3+y中有一组和为7即可.
又因为0①x+5=7,x=2;②x+4=7,x=3;③x+y=7,x=1,y=6;④2+y=7,y=5;⑤3+y=7,y=4.
因为在每一个扇形内均标有不同的自然数,所以只有③成立.所以x=1,y=6.
