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第三章一元一次方程
3.1从算式到方程
3.1.1一元一次方程
学习目标
1
．了解方程及一元一次方程的概念．
2
．经历把实际问题抽象为数学方程的过程，认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，初步体会建立数学模型的思想．
创设情境
你会用算术方法解决这个问题吗？
问题1：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70
km/h，卡车的行驶速度是60
km/h，客车比卡车早1
h经过B地．A，B两地间的路程是多少？
对于1
km的路程，客车比卡车少用：
，
则A，B两地间的路程是：
.
合作探究
（1）此题中涉及哪些量，这些量之间有什么关系？如何表示？
（2）你认为应引进什么样的未知量？如何用方程表示这个问题中的相等关系？
（3）列方程的依据是什么？
问题1：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70
km/h，卡车的行驶速度是60
km/h，客车比卡车早1
h经过B地．A，B两地间的路程是多少？
A
B
客车
卡车
x
千米
合作探究
问题1：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70
km/h，卡车的行驶速度是60
km/h，客车比卡车早1
h经过B地．A，B两地间的路程是多少？
解：设A，B两地间的路程是
x
km，
客车从A地到B地的行驶时间可以表示为：
卡车从A地到B地的行驶时间可以表示为：
合作探究
问题1：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70
km/h，卡车的行驶速度是60
km/h，客车比卡车早1
h经过B地．A，B两地间的路程是多少？
解：
列方程的依据是什么？
因为客车比卡车早1
h经过B地，所以
比
小1，
即
．
合作探究
问题1：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70
km/h，卡车的行驶速度是60
km/h，客车比卡车早1
h经过B地．A，B两地间的路程是多少？
问题2：对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？
设客车行驶时间为x
h，
根据路程相等列方程，得：70x＝60(x＋1).
合作探究
问题1：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70
km/h，卡车的行驶速度是60
km/h，客车比卡车早1
h经过B地．A，B两地间的路程是多少？
问题3：比较算术方法和用方程解决这个问题各有什么特点？
用算术方法解题时，列出的算式只能用已知数．而列方程时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数．这就是说，在方程中未知数（字母）可以和已知数一起表示问题中的数量关系.
合作探究
问题4 你能归纳出方程的定义吗？
列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程．
你能举出方程的一个例子吗？
合作探究
例1
根据下列问题，设未知数并列出方程：
（1）用一根长24
cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为x
cm.
列方程
.
例题解析
（2）一台计算机已使用1
700
h，预计每月再使用150
h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定
的检修时间2450
h？
解：
设x月后这台计算机的使用时间达到2450
h，
那么在x月里这台计算机使用了150x
h.
列方程
.
例题解析
例1
根据下列问题，设未知数并列出方程：
（3）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？
解：设这个学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，
男生数为(1－0.52)x.
列方程
.
例题解析
例1
根据下列问题，设未知数并列出方程：
深入探究
问题5 观察上面例题列出的三个方程有什么特征？
（1）只含有一个未知数x，
（2）未知数x的指数都是1，
（3）整式方程．
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程．
；
；
．
请同学们带着下列问题阅读教科书：
（1）怎样将一个实际问题转化为方程问题？
（2）列方程的依据是什么？
实际问题
设未知数
列方程
一元一次方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.
深入探究
什么叫做方程的解？你能举例吗？
使方程中等号左右两边相等的未知数的值，就是
方程的解．
例如：x＝5叫做方程1
700＋150x＝2
450的解.
深入探究
课堂练习
1．练习：下列式子哪些是方程，哪些是一元一次方程？
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
解：（2）（3）（4）（5）是方程.
（2）（3）是一元一次方程.
2．练习：根据下列问题，设未知数，列出方程，并指出是不是一元一次方程：
（1）环形跑道一周长400
m，沿跑道跑多少周，可以跑3
000
m？
（2）甲种铅笔每支0.3
元，乙种铅笔每支0.6
元，用9
元钱买了两种铅笔共20
支，两种铅笔各买了多少支？
课堂练习
解：（1）设沿跑道跑x周，
（2）设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了(20－x)支，
是一元一次方程．
是一元一次方程．
课堂练习
2．练习：根据下列问题，设未知数，列出方程，并指出是不是一元一次方程：
（3）一个梯形的下底比上底多2
cm，高是5
cm，面积是40
cm2，求上底．
（4）用买10个大水杯的钱，可以买15个小水杯，大水杯比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？
课堂练习
解：（3）设上底为x
cm，
.
（4）设小水杯的单价是x
元，大水杯的单价是(x+5)
元，
是一元一次方程．
是一元一次方程．
课堂练习
课堂小结
1．列算式和列方程解决问题的特点：
用算术方法解题时，列出的算式只能用已知数．而列方程时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数．这就是说，在方程中未知数（字母）可以和已知数一起表示问题中的数量关系．
2．方程的定义：
列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程．
课堂小结
3．一元一次方程的定义：
只含一个未知数（元），未知数的指数都是1（次），等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程.
4．
列方程解决问题的一般步骤：
（1）弄清题意，设未知数，一般用x表示；
（2）找出题中数量间的相等关系，列出包含x的方程．
再见第三章一元一次方程
3.1从算式到方程
3.1.1一元一次方程
一、教学目标
1.了解方程及一元一次方程的概念．
2.使学生经历把实际问题抽象为数学方程的过程，认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，初步体会建立数学模型的思想．
二、教学重点及难点
重点：方程及一元一次方程的概念，方程思想．
难点：从列算式到列方程的思维习惯的转变．
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、相关资源
视频《一元一次方程定义的应用》，与课本内容要保持一致
.
五、教学过程
（一）创设情境
一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70
km/h，卡车的行驶速度是60
km/h，客车比卡车早1
h经过B地．A，B两地间的路程是多少？
1．你会用算术方法解决这个问题吗？
师生活动：学生审题之后教师展示问题，学生分组讨论解决问题的方法，学生代表展示结果，教师及时给予肯定或帮助，并说明算术解法不便捷．教师提出进一步学习新解法的必要性．
小结：对于1
km的路程，客车比卡车少用，则A，B两地间的路程是：
．
2．在学生尝试算术方法解决问题之后，教师提问：
（1）此题中涉及哪些量，这些量之间有什么关系？如何表示？
（2）你认为应引进什么样的未知量？如何用方程表示这个问题中的相等关系？
（3）列方程的依据是什么？
师生活动：教师与学生一起进行分析，引导学生找出相等关系列出方程．
小结：（1）本题中涉及一个相等关系，是从时间上考虑，两车的行使时间之差为1
h．
（2）如果设A，B两地相距x
km，则A，B两地间的路程是：．
（3）列方程的依据是根据问题中的相等关系列出等式．
设计意图：让学生感受用算术解法不容易，使学生认识到进一步学习新解法的必要性．
（二）合作探究
1．对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？
师生活动：教师提出问题，学生思考回答．
小结：设客车行驶时间为x
h，根据路程相等列方程，得：70x＝60（x＋1）．
设计意图：这是一个行程问题，用未知量表示路程、时间、速度，让学生体会到用字母也可以表示数量，找出相等关系是列方程的关键所在，通过对问题的思考有助于分析问题．体会一个问题中的相等关系往往不止一个，所以列出方程的角度不是唯一的．
2．比较列算式和列方程解决这个问题各有什么特点？
师生活动：小组交流、讨论，教师组间巡查，关注学生是否认真讨论．
小结：用算术方法解题时，列出的算式只能用已知数．而列方程时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数．
这就是说，在方程中未知数（字母）可以和已知数一起表示问题中的数量关系．
设计意图：让学生知道用算术方法解题时，列出的算式只能用已知数，而用方程解决问题时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，也就是说，在方程中未知数（字母）可以和已知数一起表示问题中的数量关系．
3．你能归纳出方程的定义吗？
师生活动：教师引导学生结合上面等式的特征，给出方程的定义．学生归纳出定义之后，教师提问：你能列举方程的一个例子吗？
归纳：列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程．
设计意图：这是首次正式给出方程的定义，学生在小学已经学过简易方程，通过举例可让学生回顾已经学过的知识．
（三）例题分析
例1 根据下列问题，设未知数并列出方程：
（1）用一根长24
cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
（2）一台计算机已经使用1
700
h，预计每月再使用150
h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2
450
h？
（3）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？
师生活动：教师出示问题，学生独立完成，学生代表分析并展示结果．
解：（1）设正方形的边长为x
cm，列方程得：4x＝24．
（2）设经过x月，这台计算机的使用时间达到2
450
h，那么在x月里这台计算机使用了150x
h．列方程得：150x＋1
700＝2
450．
（3）设这个学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为（1－0.52）x．列方程得：
0.52x－（1－52%）x＝80．
设计意图：通过例题的学习，让学生再次熟悉列方程时的设未知数、寻找相等关系、列出方程的过程，为一元一次方程的定义奠定基础．
例2
《一元一次方程定义的应用》，学习一元一次方程定义的实际应用．与课本内容要保持一致
.内容如下：
已知式关于x的一元一次方程，求的值.
分析：因为该方程式一元一次方程，所以二次项应为0，即其系数=0，而一次项的系数0，可求得的值。
（四）深入探究
1．观察上面的例题，列出的三个方程有什么特征？
师生活动：教师引导学生对列出的方程进行特征分析．教师可以提示：方程的特征可以从未知数的个数和次数等来观察．
归纳：只含一个未知数（元），未知数的指数都是1（次），等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程．
设计意图：运用三个问题巩固列方程的一般步骤，强调列方程是依据了相等关系，进一步让学生体会相等关系是列方程的关键．在归纳方程特征的过程中，培养学生观察、分析、归纳的能力．
2．怎样从实际问题中列出方程？列方程的依据是什么？
师生活动：学生针对上面的问题做进一步的思考、归纳，教师帮助学生规范语言，并展示结论．
小结：实际问题——设未知数——列方程——一元一次方程．
列方程的依据是：根据实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程．
设计意图：归纳得出分析实际问题中的数量关系并利用其中的相等关系列出方程的方法．
3．什么叫做方程的解？你能举例吗？
师生活动：学生回答问题，教师关注学生举例是否正确．
小结：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，就是方程的解．
例如：x＝5叫做方程1
700＋150x＝2
450的解．
设计意图：通过问题提出，使学生得出方程的解的概念，理解其内涵．
（五）练习巩固
1．下列式子哪些是方程，哪些是一元一次方程？
（1）2x＋1；（2）2m＋15＝3；（3）3x－5＝5x＋4；（4）x2＋2x－6＝0；（5）－3x＋1.8＝3y；（6）3a＋9＞15．
解：方程是：（2）（3）（4）（5）；一元一次方程是（2）（3）．
设计意图：让学生巩固对方程与一元一次方程的概念的认识．
2．根据下列问题，设未知数，列出方程，并指出是不是一元一次方程：
（1）环形跑道一周长400
m，沿跑道跑多少周，可以跑3
000
m？
（2）甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？
（3）一个梯形的下底长比上底长多2
cm，高是5
cm，面积是40
，求上底长；
（4）用10个大水杯的钱，可以买15个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？
解：（1）设跑3
000
m需跑x周，依题意，得：400x＝3
000．
（2）设买甲种铅笔x支，乙种铅笔（20－x）支，依题意，得：0.3x＋0.6（20－x）＝9．
（3）设上底长x
cm，依题意，得：．
（4）设大水杯的单价为x元，小水杯的单价为（x－5）元，依题意，得：10x＝15（x－5）．
设计意图：让学生巩固列方程的基本步骤，在教给学生数学知识的同时，渗透建立数学模型的思想方法．
六、课堂小结
1．列算式和列方程解决问题的特点：
用算术方法解题时，列出的算式只能用已知数．而列方程时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数．
这就是说，在方程中未知数（字母）可以和已知数一起表示问题中的数量关系．
2．方程的定义：
列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程．
3．
一元一次方程的定义：
只含一个未知数（元），未知数的指数都是1（次），等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程．
4．
列方程解决问题的一般步骤：
（1）弄清题意，找出题中数量间的相等关系；
（2）依据等量关系设未知数，一般用x表示；列出包含x的方程．
设计意图：通过归纳，加深学生对所学内容的理解，培养学生独立分析、归纳概括的能力，充分发挥学生的主体作用．
七、板书设计
3.1.1一元一次方程
1.一元一次方程的定义：
只含一个未知数（元），未知数的指数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程．
2．列方程解决问题的一般步骤：
（1）弄清题意，找出题中数量间的相等关系；
（2）依据等量关系设未知数，一般用x表示；列出包含x的方程
8
