三
长方体和正方体
探索图形（第一课时）
教学内容：
教材第44页，探索图形
教学目标：
1.借助正方体涂色问题，通过实际操作、演示、想象等活动发现小正方体涂色情况的位置特征和规律。
2.在探索规律的过程中，经历从特殊到一般的归纳过程，获得一些研究数学问题的方法和经验。
3.在解决问题的过程中，感受数学的有趣，激发主动探索、勇于实践的精神和实事求是的科学态度。
教学重点：
学会从简单的情况找规律，解决复杂问题的化繁为简的思想方法。
教学难点：
探索规律的归纳方法。
教学准备：
小正方体学具和课件。
教学过程：
一、问题导入
1、出示小正方体，大家请看老师手里拿的是什么图形？你对正方体有哪些认识？它有什么特征？
找两位同学说一说。
2、用许多个这样的小正方体能不能拼成一个大正方体呢？课件出示：用棱长1厘米的小正方体拼成棱长为10厘米的大正方体，给它的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有几块？两面涂色的呢？
找学生读题。
问：三面涂色是什么意思？小正方体有几个面露在表面？观察大正方体，你找到这样的小正方体了吗？课件出示三面、两面涂色的小正方体。
师：你们能数出这两类小正方体到底有多少块吗？
师：这个图形太复杂了，我们很难数出。这样吧，我们先来研究简单的图形，探索图形中蕴含的规律，再利用规律去解决复杂的图形，好吗？（板书课题：探索图形（一））
二、探索新知
1、发现规律。
（1）学生俩人一组，先用棱长1cm的小正方体分别拼成棱长为2cm、3cm、4cm的大正方体后，问一共有多少块小正方体？然后讨论：如果把它的表面涂上颜色，每个小正方体会有几个面涂色？最后涂色验证。
（2）课件出示①、②、③号大正方体，把它们的表面分别涂上颜色，三面、两面、一面和没有涂色的小正方体都在什么位置？各有多少块？认真观察这两类涂色部分的位置，你能找到什么规律？
分小组讨论，想一想：每个小正方体会涂色几个面？画一画：涂上指定的颜色。露三个面的涂红色，露两个面的涂黄色。数一数：把结果填写在记录表中。看一看：每类小正方体都在什么位置。
（3）汇报交流
①、各小组汇报时，配合课件演示，集体订正。
②、结合实物演示，引导学生初步发现规律。
A、三面涂色：当学生说出有8个三面涂色的小正方体时，追问：哪8个？学生说出三面涂色的小正方体在原来大正方体8个顶点的位置。
B、两面涂色：可能有的学生是数出来的，引导孩子们观察两面涂色的小正方体的位置，从而引导学生发现两面涂色的小正方体都在原来大正方体的棱的位置，体会可以从一条棱上有2个两面涂色的，推算出12条棱上就有24个两面涂色的。
引导比较“数”和“算”哪种更简便。
C、一面涂色：当孩子们说出一面涂色个数后，让孩子们说出如何找到的，从而引导孩子们观察一面涂色的小正方体都在大正方体表面的中心处。
D、没有涂色的：用总的块数减去前面3中情况的正方体个数。利用课件展示没有涂色的怎么数更简单。
2、验证猜想。
（1）如果拼成棱长为5cm、6cm的大正方体后，你能猜想一下三面、两面、一面、没有涂色的小正方体各有多少个？
（2）课件演示，验证学生的猜想。
3、课件演示，总结规律。
三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点的位置。不论棱长是几，分割后三面涂色的小正方体的个数都是8个。
两面涂色的小正方体都在大正方体的棱的位置。只要用每条棱中间两面涂色的小正方体的个数乘12，就得出两面涂色的小正方体的总个数，即（n-2）×12。
一面涂色的小正方体都在大正方体面的中心位置。即（n-2）×(n-2)。
没有涂色的小正方体都在大正方体的中心处。即（n-2）×（n-2）×（n-2）。
三、巩固拓展
一个由边长是1cm的小正方体拼成的边长为10cm的大正方体表面涂色后，其中两面涂色的小正方体有多少个？
答：两边涂色的小正方体有（10-2）×12=96块。
（打开课本做补充）
四、课堂小结
1.提问：通过今天的学习你有什么收获？还有什么疑问？?
教师小结：当我们遇到比较复杂的问题，解决起来有困难时，可以尝试先从简单的情况开始，看能否发现规律，再应用规律去解决复杂的问题，这是一种解决问题常用的思想方法。（化繁为简）
五、课后作业
完成练习册中本课时练习
板书设计：
探索图形（一）
用棱长1cm的小正方体拼成一个棱长为ncm的大正方体，给它的表面涂色，则
三面涂色的小正方体块数＝8（顶点的个数）
两面涂色的小正方体块数＝(n-2)×12
一面涂色的小正方体块数＝（n-2）×(n-2)
没有涂色的小正方体块数＝（n-2）×（n-2）×（n-2）。五年级数学下册《探索图形》教学设计
【教学内容】
教科书第44页
【教学目标】
1、加深对正方体特征的认识和理解，揭示图形之间的内在联系。
2、探究组合正方体表面涂色情况，经历从特殊到一般的归纳过程，获得一些研究数学问题的方法和经验，积累解决问题的学习经验。
【教学重点】
发现小正方体涂色和位置规律，用数学语言和模型正确地表达发现的规律。
【教学难点】
用化繁为简的思想发现图形分类计数问题中的规律，并用数学化的形式表现规律。
【教学准备】
小正方体若干、课件
【教学时间】
1课时
【课前准备活动】
孩子们，今天我们探究的小正方体，都把它们看作棱长是1cm，即体积是1
cm3的正方体。听老师说棱长的长度，请同学们以小组为单位，摆出棱长不同的正方体，看看哪个小组摆得又快又好。师：请每组摆一个棱长是2cm的正方体，你们用了几块棱长是1cm的小正方体？请每组摆一个棱长是3cm的正方体，你们用了几块棱长是1cm的小正方体？请孩子们摆一个棱长是4cm的正方体，你们用了几块棱长是1cm的小正方体？
【教学过程】
一、谈话导入
数学家陈省身说：“数学的本质在于化复杂为简单”，今天我们就用这种本质来进行“探索图形”的学习。（板书：探索图形）
二、探究规律
1、知识铺垫
师：孩子们，看着课桌上的正方体，说说他有哪些特征？
课件出示棱长是4cm的正方体：这个大正方体是由几块棱长为1cm的小正方体组成的？假如给大正方体的表面涂色，小正方体的面会有哪几种涂色情况？
师：表面涂色指的就是涂正方体的六个面。
师：小正方体的面会有哪几种涂色情况？（学生猜想、汇报）
师：是这样的（有三面涂色的、两面涂色的、一面涂色的，还有没有涂色的）贴出表格，课件演示。
2、建立涂色位置模型
师：（课件出示正方体）观察哪些小正方体属于三面涂色，观察哪些小正方体属于两面涂色，观察哪些小正方体属于一面涂色，没有涂色的会在哪里呢，为什么会出现三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体？有4面、5面、6面涂色的小正方体吗？
3、提出疑问
师：这些三面涂色、两面涂色、一面涂色、没有涂色的小正方体在大正方体中可是有规律的，咱们通过小组合作来一起动手探究吧！
4、动手操作，合作探究
（1）将棱长是3厘米的正方体拼成棱长是4厘米的大正方体，观察思考，完成合学卡。
（2）把观察结果填写在学习卡上。
①三面涂色的小正方体在大正方体的（
）个（
）上，共有（
）块。
②两面涂色的小正方体在大正方体的（
）条（
）上，每条棱上有（
）块，共有（
）块，列出算式是（
）。
③一面涂色的小正方体在大正方体的（
）个（
）上，每个面的中间有（
）块，共有（
）块，列出算式是（
）。
④没有涂色的小正方体在大正方体的（
），共有（
）块，列出算式是（
）。
⑤还发现了什么？
5、交流展示，寻找规律
（1）各小组逐一汇报探究结果。（用教具让学生指一指，说一说。教师在学生交流汇报时把表格填完整）
汇报一：三面涂色的小正方体有
8
块，得出三面涂色的小正方体在大正方体的顶点上，顶点数就是三面涂色的小正方体块数。（在顶点位置的小正方体露出三个面，三面涂色的块数与顶点数相同）
汇报二：两面涂色的小正方体有
24
块，得出两面涂色的小正方体在大正方体的棱中间，每条棱上有
“（棱长－2）块，共有（棱长－2）×12块。”（在每条棱中间位置的小正方体露出两个面，两面涂色的块数与棱有关，即（棱长－2）×12）
汇报三：一面涂色的小正方体有
24
块后，得出一面涂色的小正方体在大正方体面的中间，每个面上有“（棱长－2）×（棱长－2）”块，共有“（棱长－2）×（棱长－2）×6”块。（在每个面中间位置的小正方体露出一个面，一面涂色的块数与面有关，即（棱长－2）×（棱长－2）×6）
汇报四：没有涂色的小正方体有
8
块，得出没有涂色的小正方体在大正方体的内部，块数是：正方体的总块数－三面图色的小正方体块数－两面涂色的小正方体块数－一面涂色的小正方体块数。64－8－24－24，还可以是（棱长－2
）3
”。没有涂色的图形是棱长为（4－2
）厘米的正方体。
汇报五：你还发现了什么？（没有涂色的正方体块数=正方体的总块数－三面图色的小正方体块数－两面涂色的小正方体块数－一面涂色的小正方体块数。）（三面涂色的在大正方体的顶点上，两面涂色的正方体在大正方体的棱中间，一面涂色的在大正方体的面中间，没有涂色的正方体在大正方体的最里面）（可以用算式表示各种涂色情况）
（2）师精讲：教师拿着教具和学生一起寻找计算方法，课件演示没有涂色的部分，学生跟着课件，把左右两面涂色的部分拿走，得出长是4-2；把上下两层拿去，得出高是4-2；把前后两层拿去，得出宽是4-2，得到没涂色的小正方体块数就是（4－2
）3
块。（学生说了就可以了，老师不用重复）
（3）小结涂色规律。（课件演示）
（4）师：孩子们，我们刚才探究出的棱长是4厘米的大正方体表面涂色，各种不同小正方体的涂色块数的计算方法对于其他正方体是否也有用呢？我们一起来试试看。
6、验证规律，得出结论
（1）请学生说出书中的数据，按照这个规律算一算。
（2）接着用数实物的方法验证。
（3）师：用这个规律试着写出棱长是5cm、6cm的大正方体表面涂色后各种小正方体的涂色块数的算式，并将其写在学习卡上。
（4）师：请同学们任选一条棱长，快速说出大正方体表面涂色后各种小正方体的涂色块数的算式。
师：（指着板书）三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点上，有8块，棱长上有5块小正方体组成的大正方体三面涂色的有几块？6块呢？7块呢？10块呢？n块呢？（板书：顶点数）两面涂色的是：（2－2）×12、（3－2）×12、（4－2）×12，n块呢？【板书：（n－2）×12】。让学生说出：一面涂色的块数（2－2
）2×6、（3－2
）2×6、（4－2
）2×6，n块是（n－2
）2×6呢？
让学生说出：没有涂色的小正方体块数（2－2
）3
块、（3－2
）3
块、（4－2
）3
块，n块是（n－2
）3
块
三、课堂总结
数学的本质在于化复杂为简单，通过探究给：棱长是4厘米的大正方体表面涂色的特征，我们发现了棱长是2厘米、3厘米、5厘米、n厘米的大正方体表面涂色的规律与它是一样的，这是从特殊到一般、从个别到普遍的推理思想。经过全面思考得出三面涂色、两面涂色、一面涂色、没有涂色的小正方体块数的计算规律，运用了化繁为简的思想和分类计算的方法。同学们，在生活中也可以用这样的思想方法去解决复杂的问题，提高生活质量。
四、生活中的数学
课件出示生活中给大正方体的表面涂色的事例让孩子们欣赏：广告、屋内装饰等，使学生感知数学的价值，提升学生学习数学的热情。
五、板书设计：
棱长
三面涂色的块数
两面涂色的块数
一面涂色的块数
没有涂色的块数
位置
顶点上
棱上
面上
内部
2cm
8
0
0
0
3cm
8
12
6
1
4cm
8顶点数（8）
2×12=24（4－2
）×12=24
2
2×6=24（4－2
）2×6=24
23
=
8
（4－2
）3=
8
规律
顶点数（8）
（棱长－2
）×12
（棱长－2
）2×6
（棱长－2
）3
5cm
8
36
54
27
6cm
8
48
96
64
…
n
8
（n－2
）×12
（n－2
）2×6
（n－2
）3课题：探索图形
一、教学内容：
人教版五年级下册第44页。
二、教学目标：
1.加深对正方体特征的认识与理解。
2.借助正方体涂色问题，通过操作、观察、列表、计算、想象等方式探索、发现图形分类计数问题中的规律，体会化繁为简解决问题的策略，培养学生的空间想象力。
3.体会分类、数形结合、归纳、推理、模型等数学思想。
三、教学重难点：
重点目标：通过操作、观察、列表、计算、想象等方式探索、发现图形分类计数问题中的规律，以及每种涂色小正方体的位置特征。
难点目标：探索、归纳蕴含的数量上的规律。
四、教学准备：
棱长为2cm、4cm正方体模型各1个/组、三阶魔方/生、多媒体课件。
五、教学过程：
（一）游戏导入
1．三阶魔方比赛。
2．玩魔方是我校开展的一种益智游戏项目，这魔方是什么形状的？正方体有哪些特征？
3．谈话：正方体的这些特征能帮助我们继续探索图形的奥秘。板书：探索图形。
（二）探索新知。
利用三阶正方体学习，初步探索计数问题中规律
1．这正方体的三阶魔方是由多少个小正方体拼成的？你怎么知道的？
2．如果给这个正方体的表面涂上颜色，每个小正方体涂色的部分会一样多吗？如果按照涂色部分的面数多少分类，你认为可以分为哪几类？
（1）学生观察分类：三面涂色的小正方体、两面涂色的小正方体、一面涂色的小正方体、没有涂色的小正方体。
（2）反馈交流，课件演示。
3．观察、发现各种小正方体的位置特征，数、算各种小正方体的个数。（填写学习单第二行）
（1）小组合作。操作、观察、计算、填写学习单。
（2）汇报交流
结合实物演示，引导学生初步发现规律。
A．三面涂色多少个？哪8个？
B．两面涂色的呢？你是怎么得来的？它在什么位置？相机引导学生发现两面涂色的小正方体都在原来大正方体的棱的中间位置，它的个数与棱的关系。
C．一面涂色又有多少个？
D．没有涂色的有多少个？你是怎么知道的？
利用二阶、四阶正方体学习，进一步探索并归纳出计数问题中的规律。
1．所有由小正方体拼成的大正方体表面涂色后都有这几类吗？它们的数量有什么规律，我们继续探索。
2.出示二阶、四阶正方体，小组探索。
观察实物、合作探究、完成学习单1、3行。
3.汇报交流，引导归纳计数问题中的规律。
结合学生交流情况，实时课件演示四阶正方体将三面、两面、一面涂色的小正方体剥离出去后剩下的没涂色小正方体呈现的图形。
4.验证猜想。
（1）如果拼成棱长为5cm大正方体后，你能猜想一下三面、两面、一面、没有涂色的小正方体各有多少个？
（2）请借助学习单后的图形观察、验证猜想。
5.总结规律。
拼成棱长为ncm的大正方形，各有多少？
三面涂色的小正方体：8个；
两面涂色的小正方体（n-2）x12；
一面涂色的小正方体（n-2）x（n-2）x6；
没有涂色的小正方体（n-2）x（n-2）x（n-2）。
（三）课堂小结
（四）拓展应用
1.正方体是特殊的长方体，正方体的这些规律，在长方体的计数问题里我们可以灵活的应用，因为它们所处的位置都是一样的。（课件演示）
2.出示课后探究题。
板书设计：
探索图形
顶点
三面涂色
8
棱
两面涂色
（n-2）x12；
面
一面涂色
（n-2）x（n-2）x6；
没有涂色
（n-2）x（n-2）x（n-2）。课题
探索图形
教学时数
1课时
授课时间
教学目标
进一步认识和理解正方体的特征，借助正方体涂色问题，通过实际操作、演示、想象、联想等形式发现小正方体涂色和位置的规律。通过观察、列表、想象等活动经历找规律的过程，获得化繁为简的解决问题的经验，培养空间想象能力，体会分类、数形结合、归纳、推理、模型等数学思想。积累数学思维的活动经验、在相互交流中，感受数学的有趣，激发主动探索、勇于实践的精神，学会倾听他人意见，及时自我修正、自我反思，增强学好数学的信心。
重点
学会解决问题中化繁为简的思想方法。
难点
探索规律的归纳方法。
教材分析
在认识长方体和正方体后，教材安排了“探索图形”的综合与实践活动。目的是让学生运用所学过的正方体的特征等知识，探索由小正方体拼成的大正方体中各种涂色小正方体的数量，发现其中蕴含的数量上的规律，以及每种涂色小正方体的位置特征，培养学生的空间想象力和推理能力，体会分类计数的思想。
学情分析
学生在以前的学习中，有接触过解决问题的策略研究，对于找规律以及解决复杂问题到化繁为简的思想有所渗透，学生已经具有一定的逻辑思维能力和综合运用所学知识解决问题的能力。本节课重在探索而不是规律的应用，通过探索图形涂色规律的活动，可深化对正方体特征的认识。
教学策略
创设情境，指导操作，归纳概括
教学资源
2阶正方体、3阶正方体、4阶正方体
教学媒体
课件、投影仪
教学过程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
一、化繁为简复习正方体的特征。出示1个棱长是1cm的小正方体，我想拼出一个大一点的正方体（课件出示棱长为9cm的大正方体），需要几个这样的小正方体？
为什么？如果把这个大正方体的表面涂上红色，需要涂几个面？（课件演示涂色）4.想象一下，这些小正方体会有几个面被涂上颜色？根据涂色的情况给这些小正方体分类，你想怎样分？5.每一类小正方体分别有多少个呢？数得清楚吗？有什么感觉？6.这个图形比较复杂，我们数起来不方便，怎样才能解决这个问题呢？探索规律你认为什么样的图形比较容易找到答案？2.我想用棱长1cm的小正方体，拼成一个大一点的正方体，至少需要几个这样的小正方体？
它的棱长是多少cm？3.如果要拼在更大一点的正方体？需要几个小正方体？它们的棱长分别是多少cm？4.再往下摆呢？5.认真阅读合作要求，你读懂了什么？合作要求：①观察每类小正方体都在什么位置。②把结果填写在记录表中。③观察表中记录的数据，能否找到规律？6.四人小组，合作探究。7.交流汇报。8.总结归纳。9.现在能解决我们开始遇到的问题了吗？（n=9）三、巩固练习课本P44（2）如果摆成下面的几何体，你会数吗？课堂总结。今天你有什么收获？
（9×9×9）÷（1×1×1）=729（个）大正方体的体积÷小正方体的体积6个。四类：三面涂色的、两面涂色的、一面涂色的、没有涂色的。化繁为简，先研究简单的图形，发现规律，再运用规律。8个。2cm27个、64个、125个……3cm、4cm、5cm……学生分享观察到的各类小正方体的结果，分享交流各自的方法。从表面的数到会算，根据位置来算。汇报数据。棱长为3cm的小正方体学生可能有用数的，到4cm的时候预设会有学生出现计算的方法。①三面涂色：生：8个。师：为什么棱长2cm、3cm、4cm的正方体，三面涂色的都是8个？哪8个？（在什么位置？）生：三面涂色的都在正方体的顶点位置，因为正方体有8个顶点，所以不管正方体的棱长是多少，它们三面涂色的都是8个。（课件演示）②二面涂色：生1：棱长是3cm的正方体，两面涂色的数出来是12个。棱长是4cm的正方体，两面涂色的数出来是24个。师：数是一个办法，有没有同学用计算的方法算出来的？生2：棱长是3cm的正方体，两面涂色的是12×（3-2）=12.师：为什么？两面涂色的小正方体在大正方体的什么位置？生2：因为两面涂色的小正方体也是在大正方体的棱上，正方体有12条棱，只要算出一条棱上有几个两面涂色的，再乘12，就能得出结果。师：怎样算出一条棱上的小正方体个数？生2：每条棱上的小正方体个数减去两个顶点上的两个小正方体，就是3-2。师：谁能完整说说怎样用计算的方法算出两面涂色的小正方体数量的？（课件演示棱长是3cm的两面涂色。）师：那棱长为4cm的正方体，两面涂色的这24个，又是怎么求的？生：每条棱上有2个，12条棱就是12×2=24个。师：2怎么来的？生：4-2，用一条棱长的4个减去顶点的2个。（课件演示棱长是4cm的两面涂色。）师：你们发现了两面涂色的小正方体个数和什么有关了吗？怎么求？生：二面涂色的在正方体棱上除去两端的位置，因为正方体有12条棱，所以有12（n-2）个。师：你们认为，用数的方法好还是用算的方法好呢？③一面涂色：生：有6个。一个面上有1个，6个面就是6×1=6个。师：每个面上的这1个在什么位置？生：每个面的中间。师：那棱长为4cm的正方体，一面涂色的这24个，又是怎么求的？生：一面有4个，一共有6个面，是4×6=24个。师：4怎么来的？生：数的。师：能有计算的方法吗？生1：
用一面的个数-外面一圈的个数，外面一圈是4×3。生2：中间的是2行2列的，（4-2）×（4-2）=4。（课件演示）师：所一面涂色的，与正方体的面有关系，谁能完整说说怎样用计算的方法算出一面涂色的小正方体数量的？④没有涂色：师：没有涂色的小正方体，我们看得到吗？那我们怎么知道没有涂色的小正方体的块数呢？生1：用总的小正方体个数-三面涂色的-两面涂色的-一面涂色的。生2：没有涂色的小正方体在中间，相当于每行每列每层比最外面的少2个。棱长为4cm的正方体，没有涂色的就是（4-2）×（4-2）×（4-2）=8个。归纳：①三面涂色的在正方体的顶点位置，因为正方体有8个定点，所以有8个；②二面涂色的在正方体棱上除去两端的位置，因为正方体有12条棱，所以有12（n-2）个③一面涂色的在正方体棱上除去周边一圈的位置，因为正方体有6个面，所以有6(n-2)2个；④没有涂色的在正方体里面除去表面一层的位置，所以有（n-2）3个。或者，用总块数-三面涂色的块数-二面涂色的块数-一面涂色的块数。
产生认知冲突，体会化繁为简和找规律的实效性。复习正方体旧知，为后续问题做铺垫。让学生经历发现规律、总结规律、应用规律的过程。
板书设计：
探索图形棱长（cm）小正方体总个数三面涂色的块数两面涂色的块数一面涂色的块数没有涂色的块数288000327812×(3-2)=126×(3-2)2=6(3-2)3=14
64812×（4-2)=246×(4-2)2=24(4-2)3=8……9729812×(9-2)=846×(9-2)2=294(9-2)3=343nn3812(n-2)6(n-2)2(n-2)3
教学反思：
《探索图形》学习单
棱长（cm）
小正方体总个数
三面涂色的块数
两面涂色的块数
一面涂色的块数
没有涂色的块数
PAGE
6课题
探索图形
教学内容：教科书44页内容
教学目标：
1、进一步认识和理解正方体的特征。
2、通过观察、列表、想象等活动经历“找规律”的全过程，获得“化繁为简”的解决问题的经验，培养学生的空间想象力，让学生体会分类、数形结合、归纳推理、模型等数学思想。积累数学思维的活动经验。
3、在相互交流中，学会倾听他人意见，及时自我修正，增强学好数学的信心。
教学重点：学会从简单的情况找规律，解决复杂问题的化繁为简的思想方法。
教学难点：探索规律的归纳方法。
教学准备：小正方体学具和课件
教学过程：
创设情境
在大千的世界，茫茫的宇宙中，蕴藏着无穷无尽的奥秘。自从远古时期有了人类，人类就踏上了漫漫的探索之路。在探索中
燧人氏开始了人工取火，在探索中，莱特兄弟把第一架飞机送上了天空，自此，人类翻开了探索世界的新篇章。如今人类已经乘坐宇宙飞船登上了月球，现在火星
探测器正在代替人类对火星进行探索。听了老师的介绍，你们想不想去探索呀？
那好，今天老师就带你们一起进入数学王国探索，我们---一起来（生齐读）探索图形（板书课题）。
1、（出示正方体）这是什么图形？它
有什么特征？
2、引出问题
：出示大正方体
师：用这样的小正方体（指小正方体）拼成一个大正方体（指大正方体）它要用多少个呢？说说你的想法。
如果把这个大正方体的表面涂上颜色，需要涂几个面？
师:同学们想象一下这些小正方体会有几个面涂上颜色？那你能根据涂色情况把这些小正方体进行分类吗？你想怎样分呢？（三面涂色、两面涂色、一面涂色和没涂色的）
每一类小正方体分别有多少个呢？如果老师让你来数一数，你会有什么感觉？
对，这个图形太复杂了，数起来太麻烦了。那我们怎样解决这个问题呢？有什么好办法吗？
二、探索规律
发现规律
师：你认为什么样的图形比较简单，我们容易找到答案？
下面我们先来研究这三个图形，看看有什么发现?
(
①
②
③
)
(3)四人一组，大家一起来研究一下三个图形每个图形里小正方体涂色的情况。
活动建议：A
用小正方体学具摆出相应的正方体。并根据需要涂上颜色。
B
观察每一类小正方体都摆在什么位置。
C
把结果填在表格里。
D
观察表格中记录的数据，看看有什么规律？
?
三面涂色的块数
两面涂色的块数
一面涂色的块数
没有涂色的块数
1
2
3
?
?
（4）汇报交流
A
学生讨论时
，找4个学生填表竖着填表格
，便于引导学生发现规律。
B
汇报时指名刚才填表的同学说说自己的想法，配合课件演示
验证答案。
C
没有涂色的有多少块？你是怎样找出来的呢？
在正方体的里边除去表层的位置。配合课件演示
验证答案。
还有其他方法吗？
总块数
-
三面涂色的块数
-
两面涂色的块数
-
一面涂色的块数
还有其他方法吗？
学生讨论
：引导学生初步发现规律
?
三面涂色的块数
两面涂色的块数
一面涂色的块数
没有涂色的块数
1
都是8个
0
0
0
2
1×12=12
1×1×6=12
1×1×1
3
2×12=24
2×2×6=24
2×2×2
2、验证猜想。
（1）师：
按照这样的规律摆下去，你能猜想一下第4个、第5个大正方体的结果吗？
学生猜想。
第4个大正方体：三面涂色的块数
8
两面涂色的块数
3×12=36
一面涂色的块数
3×3×6=54
没有涂色的块数
3×3×3
=
27
第5个大正方体：
三面涂色的块数
8
两面涂色的块数
4×12=48
一面涂色的块数
4×4×6=96
没有涂色的块数
4×4×4
=
64
课件演示，验证学生的猜想。
总结归纳。
师：请同学们想一想这些正方体中，每一类小正方体的块数为什么会有这样的规律呢？
师生共同归纳：
三面涂色的正方体在什么位置？（顶点）因为有8个顶点，所以都有8个。
师板书：8个
两面涂色的正方体在什么位置？（棱上除去两个顶点的位置），因为有12条棱，所以有：师板书：（每条棱上上小正方体的总块数-2）×12个
用字母表示：（n-2）×12个
（3）一面涂色的正方体在什么位置？（在正方体每个面除去周边一圈的位置）因为正方体有6个面，所以有：师板书：（每条棱上上小正方体的总块数-2）2×6个
用字母表示：（n-2）2×6个
没有涂色正方体在什么位置？(在正方体的里边除去表层的位置，所以有：
师板书：（每条棱上上小正方体的总块数-2）3×12个。
用字母表示：（n-2）3
或者用
总块数
-
三面涂色的块数
-
两面涂色的块数
-
一面涂色的块数
按照这样的规律摆下去，你能猜想一下第6个、第10个大正方体的结果吗
4、应用规律
师：现在我们再来看看之前遇到的问题，看看自己能否解决。
出示前面的大正方体
三面涂色的块数
8
两面涂色的块数
（10-2）×12=96
一面涂色的块数
(10-2)2×6=384
没有涂色的块数
(10-2)
3=512
5、棱上有n个小正方体，它包含的小正方体的涂色情况是怎样呢？
三面涂色的块数
8
两面涂色的块数
（n
-
2）×12
一面涂色的块数
（n-
2）2×6
没有涂色的块数
（n-2）3
如图这个长方体中小正方体表面的涂色情况。
三面涂色的块数
8
两面涂色的块数
6×4+4×4+2×4=48
（6+4+2）×4=48
一面涂色的块数
(6×4+6×2+4×2)×2=88
没有涂色的块数
6×4×2
=48
三、巩固迁移
1、师：如果摆成这样的几何体，你会数吗？
图1
第一层
1个
第二层
（1+2）
个
总数
1
+（1+2）=4个
图2
第一层
1个
第二层
（1+2）
个
第三层
（1+2+3）个
总数
1
+（1+2）+
（1+2+3）=10个
图3
第一层
1个
第二层
（
1+2
）个
第三层
（
1+2+3+4）个
总数
1
+（1+2）+
（1+2+3）+（1+2+3+4）=20个
四、小结
：这节课同学们都表现很好，希望你们以后继续发扬大胆尝试，勇于探索的精神，说不定你们就是未来登上火星的第一人。
板书设计
?
三面涂色的块数
两面涂色的块数
一面涂色的块数
没有涂色的块数
1
都是8个
0
0
0
2
1×12=12
1×1×6=12
1×1×1
3
2×12=24
?
2
×2×6=24
?
2×2×2《
探
索
图
形
》教学设计
一、教学内容
表面涂色的正方体(教材第44页探索图形)
二、教学目标
1.通过探索图形的活动，进一步认识和理解正方体的特征。
2.通过观察、列表、想象等活动，经历“找规律”的全过程，获得“化繁为简”的解决问题的经验，培养学生物空间想象力，让学生体会分类、归纳、推理、模型等数学思想，积累数学思维的活动经验。
3.在相互交流中，学会倾听他人意见，及时自我修正、自我反思，增强学好数学的信心。
三、教学重点
学会从简单的情况找规律，解决复杂问题的化繁为简的思想方法。
四、教学难点
探索规律的归纳方法。
五、教学过程
（一）引发问题
1.复习正方体的特征？(这是什么图形？它有哪些特征？)
2.引出问题。
课件出示：
（1）这是一个1×1×1的小正方体，如果用这样的小正方体拼成这样一个9×9×9的大正方体，需要多少个小正方体？说说你的想法。
（2）如果把这个大正方体上的每一个小正方形涂上红色，需要涂几个面？
（3）请同学们想象一下，小正方体可能会有几个面被涂上红色？
如果根据涂色的情况给这些小正方体分类，你想怎样分类？
（4）每一类小正方体分别有多少个，如果请你来数一数，你有什么感觉？（这个图形太复杂了，我们数起来不方便。）
（5）怎样才能解决这个问题？你们有什么好办法吗？
3.小结：先研究简单图形，发现规律之后，再利用规律去解决复杂的图形。
（二）探索规律
1.发现规律。
（1）你认为什么样的图比较简单，我们容易找到规律？
（2）下面，我们就先来研究这三个图形，看看有什么发现？（课件）
（3）四人小组合作研究。研究活动建议：a.用小正方体学具摆出图形；b.观察每类小正方体都在什么位置；c.把结果填写在P44记录表中；d.观察表中记录的数据，能否找到规律？
（4）汇报交流
a.各小组汇报时，配合课件演示，验证答案。
b.提问：你们组是怎样算出没有涂色的块数的？
c.学生初步发现规律。
2.验证猜想。
（1）按这样的规律摆下去，你能猜想一下第④.⑤个大正方体的结果吗？
（2）学生猜想
（3）课件演示，验证学生猜想。
3.总结归纳
想一想，这些正方体中，每一类小正方体的块数为什么会有这样的规律呢？
师生共同归纳：
（1）三面涂色：
（2）二面涂色：
（3）一面涂色：
（4）没有涂色：
（三）巩固迁移、应用规律。
现在能解决我们开始遇到的问题了吗？
（1）三面涂色：
（2）二面涂色：
（3）一面涂色：
（4）没有涂色：
（四）全课总结
1.通过今天的学习你有什么收获？
2.还有什么疑问？
3.小结说明“分类计数探究规律”的数学思想和方法在生活中有着广泛的应用，让学生体会数学的应用价值。
六、板书设计
探索图形
（1）三面涂色：在顶点上有8个
（2）二面涂色：在棱上有（n-2）×12个
（3）一面涂色：在面上有（n-2）2
×6个
（4）没有涂色：在中心位置有（n-2）3个《探索图形》教学案例
课题
探索图形
教学时间
一课时
教学目标
1.借助正方体涂色问题，通过实际操作、演示、想象、联想等形式发现小正方体涂色和位置的规律。2.在探索规律的过程中，经历从特殊到一般的归纳过程，获得一些研究数学问题的方法和经验。3.在解决问题的过程中，感受数学的有趣，激发主动探索、勇于实践的精神，和实事求是的科学态度。
教学重难点
重点：找出小正方体涂色以及它所在的位置的规律。难点：找出小正方体涂色以及它所在的位置的规律。
课前准备
玩具魔方
教法学法
实践法、讨论法
教学环节
动态修改
激趣导入
正方体的面、棱、顶点各有什么特征？拿出准备好的魔方，指导学生观察魔方，思考：魔方中三面涂色的有几块？两面涂色的有几块？一面涂色的有几块？它们分别在魔方的什么地方？正方体的表面积和体积都需要许多计算才能得到，但是今天我们不去探讨这个，我们今天来进行一个不需要怎么计算，但是需要发挥你们想象力的小探究，好不好？
教学新知探索规律
1.用棱长1cm的小正方体拼成棱长为2cm的大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色，需要多少个小正方体？你觉得这些小正方体有什么特点？2.看来同学们都比较聪明，这个问题难不住大家，那么如果将这个大正方体拼得再大一点呢？课件演示：用棱长1cm的小正方体拼成棱长为3cm的的大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。?（1）需要多少个小正方体？（课件演示需要9个小正方体）?（2）这个时候这些小正方体，都有什么特点呢？（3）提出问题：其中三面、两面、一面涂色的小正方体各有多少个？小组讨论交流。教师板书。3.如果拼成棱长为4cm、5cm、6cm的的大正方体后，需要多少个小正方体？其中三面、两面、一面涂色的小正方体各有多少个？（1）学生借助直观图独立思考，解决问题。（2）分类汇报交流。①三面涂色：当学生说出有8个三面涂色的小正方体时，追问：哪8个？学生说出三面涂色的小正方体在原来大正方体的8个顶点的位置。②两面涂色：可能有的学生是数出来的，也可能有的学生是用2×12算出来的。先让用计算方法的学生说一说“为什么用2×12”，从而引导学生发现两面涂色的小正方体都在原来大正方体的棱的位置，体会可以从一条棱上有2个两面涂色的，推算出12条棱上就有24个两面涂色的。引导比较“数”和“算”哪种更简便。③一面涂色：着重交流明确可以由一面有4个一面涂色的小正方体，推算出6个面一共有4×6=24（个）一面涂色的小正方体。?
还要追问4从哪来的——棱长4，减去两个2个，得到一个边长是2的正方形。（3）学生独立解决棱长平均分成5份的问题。?
4.发现并总结规律。?（1）三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点的位置。因为正方体有8个顶点，所以都有8个。（2）二面涂色的在正方体棱上除去两端的位置，因为正方体有12条棱，所以有（每条棱上小正方体块数-2）×12个。（3）一面涂色的在正方体的每个面除去一周边一圈的位置，因为正方体有6个面，所以有（每条棱上小正方体块数-2）的平方×6个。（4）没有涂色的在正方体里面除去表面一层的位置，所以有（每条棱上小正方体块数-2）的立方个，或用总块数-三面涂色的块数-二面涂色的块数-一面涂色的块数。
反馈练习
应用规律。学生数或计算，教师个别指导，完成课堂练习卡。
课堂总结
同学们，今天我们探索了图形的的规律，找到了探索图形的方法，在今后的学习中，希望你们能仔细观察，发现规律，获取更多的数学知识。五年级数学下册《探索图形》教学设计
【教学内容】
教科书第44页
【教学目标】
1、加深对正方体特征的认识和理解，揭示图形之间的内在联系。
2、探究组合正方体表面涂色情况，经历从特殊到一般的归纳过程，获得一些研究数学问题的方法和经验，积累解决问题的学习经验。
【教学重点】
发现小正方体涂色和位置规律，用数学语言和模型正确地表达发现的规律。
【教学难点】
用化繁为简的思想发现图形分类计数问题中的规律，并用数学化的形式表现规律。
【教学准备】
小正方体若干、课件
【教学时间】
1课时
【课前准备活动】
孩子们，今天我们探究的小正方体，都把它们看作棱长是1cm，即体积是1
cm3的正方体。听老师说棱长的长度，请同学们以小组为单位，摆出棱长不同的正方体，看看哪个小组摆得又快又好。师：请每组摆一个棱长是2cm的正方体，你们用了几块棱长是1cm的小正方体？请每组摆一个棱长是3cm的正方体，你们用了几块棱长是1cm的小正方体？请孩子们摆一个棱长是4cm的正方体，你们用了几块棱长是1cm的小正方体？
【教学过程】
一、谈话导入
数学家陈省身说：“数学的本质在于化复杂为简单”，今天我们就用这种本质来进行“探索图形”的学习。（板书：探索图形）
二、探究规律
1、知识铺垫
师：孩子们，看着课桌上的正方体，说说他有哪些特征？
课件出示棱长是4cm的正方体：这个大正方体是由几块棱长为1cm的小正方体组成的？假如给大正方体的表面涂色，小正方体的面会有哪几种涂色情况？
师：表面涂色指的就是涂正方体的六个面。
师：小正方体的面会有哪几种涂色情况？（学生猜想、汇报）
师：是这样的（有三面涂色的、两面涂色的、一面涂色的，还有没有涂色的）贴出表格，课件演示。
2、建立涂色位置模型
师：（课件出示正方体）观察哪些小正方体属于三面涂色，观察哪些小正方体属于两面涂色，观察哪些小正方体属于一面涂色，没有涂色的会在哪里呢，为什么会出现三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体？有4面、5面、6面涂色的小正方体吗？
3、提出疑问
师：这些三面涂色、两面涂色、一面涂色、没有涂色的小正方体在大正方体中可是有规律的，咱们通过小组合作来一起动手探究吧！
4、动手操作，合作探究
（1）将棱长是3厘米的正方体拼成棱长是4厘米的大正方体，观察思考，完成合学卡。
（2）把观察结果填写在学习卡上。
①三面涂色的小正方体在大正方体的（
）个（
）上，共有（
）块。
②两面涂色的小正方体在大正方体的（
）条（
）上，每条棱上有（
）块，共有（
）块，列出算式是（
）。
③一面涂色的小正方体在大正方体的（
）个（
）上，每个面的中间有（
）块，共有（
）块，列出算式是（
）。
④没有涂色的小正方体在大正方体的（
），共有（
）块，列出算式是（
）。
⑤还发现了什么？
5、交流展示，寻找规律
（1）各小组逐一汇报探究结果。（用教具让学生指一指，说一说。教师在学生交流汇报时把表格填完整）
汇报一：三面涂色的小正方体有
8
块，得出三面涂色的小正方体在大正方体的顶点上，顶点数就是三面涂色的小正方体块数。（在顶点位置的小正方体露出三个面，三面涂色的块数与顶点数相同）
汇报二：两面涂色的小正方体有
24
块，得出两面涂色的小正方体在大正方体的棱中间，每条棱上有
“（棱长－2）块，共有（棱长－2）×12块。”（在每条棱中间位置的小正方体露出两个面，两面涂色的块数与棱有关，即（棱长－2）×12）
汇报三：一面涂色的小正方体有
24
块后，得出一面涂色的小正方体在大正方体面的中间，每个面上有“（棱长－2）×（棱长－2）”块，共有“（棱长－2）×（棱长－2）×6”块。（在每个面中间位置的小正方体露出一个面，一面涂色的块数与面有关，即（棱长－2）×（棱长－2）×6）
汇报四：没有涂色的小正方体有
8
块，得出没有涂色的小正方体在大正方体的内部，块数是：正方体的总块数－三面图色的小正方体块数－两面涂色的小正方体块数－一面涂色的小正方体块数。64－8－24－24，还可以是（棱长－2
）3
”。没有涂色的图形是棱长为（4－2
）厘米的正方体。
汇报五：你还发现了什么？（没有涂色的正方体块数=正方体的总块数－三面图色的小正方体块数－两面涂色的小正方体块数－一面涂色的小正方体块数。）（三面涂色的在大正方体的顶点上，两面涂色的正方体在大正方体的棱中间，一面涂色的在大正方体的面中间，没有涂色的正方体在大正方体的最里面）（可以用算式表示各种涂色情况）
（2）师精讲：教师拿着教具和学生一起寻找计算方法，课件演示没有涂色的部分，学生跟着课件，把左右两面涂色的部分拿走，得出长是4-2；把上下两层拿去，得出高是4-2；把前后两层拿去，得出宽是4-2，得到没涂色的小正方体块数就是（4－2
）3
块。（学生说了就可以了，老师不用重复）
（3）小结涂色规律。（课件演示）
（4）师：孩子们，我们刚才探究出的棱长是4厘米的大正方体表面涂色，各种不同小正方体的涂色块数的计算方法对于其他正方体是否也有用呢？我们一起来试试看。
6、验证规律，得出结论
（1）请学生说出书中的数据，按照这个规律算一算。
（2）接着用数实物的方法验证。
（3）师：用这个规律试着写出棱长是5cm、6cm的大正方体表面涂色后各种小正方体的涂色块数的算式，并将其写在学习卡上。
（4）师：请同学们任选一条棱长，快速说出大正方体表面涂色后各种小正方体的涂色块数的算式。
师：（指着板书）三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点上，有8块，棱长上有5块小正方体组成的大正方体三面涂色的有几块？6块呢？7块呢？10块呢？n块呢？（板书：顶点数）两面涂色的是：（2－2）×12、（3－2）×12、（4－2）×12，n块呢？【板书：（n－2）×12】。让学生说出：一面涂色的块数（2－2
）2×6、（3－2
）2×6、（4－2
）2×6，n块是（n－2
）2×6呢？
让学生说出：没有涂色的小正方体块数（2－2
）3
块、（3－2
）3
块、（4－2
）3
块，n块是（n－2
）3
块
三、课堂总结
数学的本质在于化复杂为简单，通过探究给：棱长是4厘米的大正方体表面涂色的特征，我们发现了棱长是2厘米、3厘米、5厘米、n厘米的大正方体表面涂色的规律与它是一样的，这是从特殊到一般、从个别到普遍的推理思想。经过全面思考得出三面涂色、两面涂色、一面涂色、没有涂色的小正方体块数的计算规律，运用了化繁为简的思想和分类计算的方法。同学们，在生活中也可以用这样的思想方法去解决复杂的问题，提高生活质量。
四、生活中的数学
课件出示生活中给大正方体的表面涂色的事例让孩子们欣赏：广告、屋内装饰等，使学生感知数学的价值，提升学生学习数学的热情。
五、板书设计：
棱长
三面涂色的块数
两面涂色的块数
一面涂色的块数
没有涂色的块数
位置
顶点上
棱上
面上
内部
2cm
8
0
0
0
3cm
8
12
6
1
4cm
8顶点数（8）
2×12=24（4－2
）×12=24
2
2×6=24（4－2
）2×6=24
23
=
8
（4－2
）3=
8
规律
顶点数（8）
（棱长－2
）×12
（棱长－2
）2×6
（棱长－2
）3
5cm
8
36
54
27
6cm
8
48
96
64
…
n
8
（n－2
）×12
（n－2
）2×6
（n－2
）3
