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【专题讲义】北师大版小学四年级数学下册
第五单元
认识方程知识点、经典例题与单元检测精讲（学生版）
【知识点归纳总结】
1.
用字母表示数
字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．比如：t可以表示时间．
用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，更具有普遍意义．使思维过程简化，易于形成概念系统．
注意：
1．用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“?”（点）表示．
2．字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前；“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写．
3．出现除式时，用分数表示．
4．结果含加减运算的，单位前加“（ ）”．
5．系数是带分数时，带分数要化成假分数．
例如：乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c
乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）
乘法交换律：a×b=b×a．
【经典例题】
例：甲数为x，乙数是甲数的3倍多6，求乙数的算式是（ ）
A、x÷3+6???
?
B、（x+6）÷3???????C、（x-6）÷3????
D、3x+6
2.
含字母式子的求值
在数学中，我们常常用字母来表示一个数，然后通过四则运算求解出那个字母所表示的数．通常我们所谓的求解x的方程也是含字母式子的求值．如x的4倍与5的和，用式子表示是4x+5．若加个条件说和为9，即可求出x=1．
【经典例题】
例1：当a=5、b=4时，ab+3的值是（ ）
A、5+4+3=12????
????
B、54+3=57?????????
C、5×4+3=23
例2：4x+8错写成4（x+8）结果比原来（ ）
A、多4???????B、少4???????
C、多24??????
D、少6
3.
等式的意义
含有等号的式子叫做等式．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式的值不变．
等式的基本性质：
性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立．若a=b，那么a+c=b+c
性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．若a=b，那么有a?c=b?c，或a÷c=b÷c
（c≠0）
性质3：等式具有传递性．若a1=a2，a2=a3，a3=a4，…am=an，那么a1=a2=a3=a4=…=an
等式的意义：
等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质．如移项，去分母等．
运用等式的性质，涉及除法时，要注意转换后，除数不能为0，否则无意义．
【经典例题】
例1：500+△=600+□，比较△和□大小，（ ）正确．
A、△＞□
B、△=□
C、△＜□
例2：等式两边同时乘或除以一个相同的数，所得的结果仍是一个等式．
．（判断对错）??
4.方程的意义
含有未知数的等式叫方程．
方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可．
方程和算术式不同：算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数．方程是一个等式，在方程里，未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立．
方程的意义：
数学中的方程让很多问题变得简单易懂，因为对于很多数之间的关系，如果直接求需要复杂的逻辑推理关系，而用代数和方程就很容易求解，从而降低难度．
【经典例题】
例：一个数的7倍比35多14，设这个数为x，列方程是（ ）
A、7x+35=14???????????
B、7x-35=14??????????
C、35-7x=14
5.方程与等式的关系
1．方程：含有未知数的等式，即：
方程中必须含有未知；?
方程式是等式，但等式不一定是方程．
2．方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”．
3．方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数．
【经典例题】
例：方程一定是等式，但等式不一定是方程．
．（判断对错）
6.方程需要满足的条件
方程必须满足两个条件（缺一不可）：
1、含有未知数；
2、是等式．
【经典例题】
例1：下面的式子中，（ ）是方程．
A、45÷9=5?????
B、y+8??????
C、x+8＜15????
?D、4y=2
例2：x=2是方程．
．（判断对错）
7.数与形结合的规律
在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．
【经典例题】
例：用小棒照下面的规律搭正方形，搭一个用4根，搭2个用7根…，搭10个要用31根小棒，搭n个要用
根小棒．
【同步测试】
一．选择题（共8小题）
1．下列算式中，只有（ ）是方程．
A．4a+8
B．6b﹣9＞12
C．3﹣x+5
D．a÷2＝4
2．如果a＝2a，那么a＝（ ）
A．0
B．2
C．4
3．a与b的差的10倍用式子表示是（ ）
A．10a﹣b
B．a﹣10b
C．10（a﹣b）
4．当a＝9时，a2＝（ ）
A．18
B．81
C．无法确定
5．下面哪幅图可用于表示方程和等式的关系？（ ）
A．
B．
C．
6．下面说法正确的是（ ）
A．方程5x+5＝5的解是5
B．5x+5＜5是方程
C．等式一定是方程
D．方程一定是等式
7．（ ）两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等．
A．算式
B．式子
C．等式
8．像如图这样摆下去，摆n个正方形需要（ ）根小棒．
A．4n
B．3n
C．4n﹣1
D．3n+1
二．填空题（共8小题）
9．在等式的两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式．这是
．
10．果园里有桃树A棵，梨树的棵树比桃树的5倍多16棵．果园里有梨树
棵．
11．一本故事书有a页，小欢每天看10页，看了b天，还没看的页数用式子表示为
，如果这本书有108页，小欢看了8天，还剩
页没有看．
12．当b＝9时，b2＝
，3b＝
．
13．当a＝8，b＝7，c＝10时，2ab+3c的值是
，c×a﹣4b的值是
．
14．在①x+8，②2+3＝5，③x÷6＝4，④y﹣9＞12．⑤7x+8＝50中，等式有
方程有
．（填序号）
15．请写出一个方程式
．
16．如图，用同样大小的黑色棋子按照所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第二十一个图案需要棋子
枚．
三．判断题（共5小题）
17．7a+7b＝7ab．
（判断对错）
18．当a＝32时，
的倒数是
．
（判断对错）
19．3x﹣12＝0是方程．
（判断对错）
20．等式一定是方程，方程不一定是等式．
．（判断对错）
21．如图，第五个点阵中点的个数是17个．
（判断对错）
四．计算题（共1小题）
22．求下列各式子的值．
当x＝5时．
5x+18
60﹣4x．
五．应用题（共5小题）
23．修一段公路，已经修了12天，每天修a米，还剩300米没有修．
（1）请用含有字母的式子表示这段公路的长度．
（2）如果a＝150，求这段公路长多少？
24．利民蔬菜公司用来a车蔬菜，每车装5吨，供应给菜场45吨．
（1）用含有字母的式子表示剩下的吨数．
（2）当a＝14时，求剩下多少吨蔬菜．
25．一张桌子可以坐6人，两张桌子拼起来可以坐10人，三张桌子拼起来可以坐14人．像这样共几张桌子拼起来可以坐50人．
26．甲乙两个工程队分别从两端同时开凿一条隧道．甲队每天凿a米，乙队每天凿b米，120天后凿完．
（1）这条隧道长多少米？
（2）当a＝11米，b＝9米时，这条隧道多少米？
27．小明用面积为1cm2的正方形卡纸拼摆图形．
（1）像这样拼下去，第（5）个图形要用多少张小正方形卡纸？
（2）如果要在第n个图形的外围用铁丝镶上一圈边框，至少需要多少厘米铁丝？
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【专题讲义】北师大版小学四年级数学下册
第五单元
认识方程知识点、经典例题与单元检测精讲（解析版）
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据方程的意义，含有未知数的等式叫做方程；以此解答即可．
【解答】解：A：含有未知数，不是等式，所以不是方程；
B：含有未知数，但不是等式，所以不是方程；
C：含有未知数，但不是等式，所以不是方程；
D：是含有未知数的等式，所以是方程．
所以是方程的是D．
故选：D．
【点评】此题主要考查方程的意义，具备两个条件，一含有未知数，二必须是等式；据此判断选择．
2．【分析】根据0的特性，可知如果a＝2a，那么a一定等于0；也可以把每一个选项中的数值代入a＝2a，等式如果成立，那么此数就是a的数值，等式如果不成立，那么此数就不是a的数值，然后再选择．
【解答】解：A、当a＝0时，a＝2a＝0；
B、当a＝2时，2×2＝4，2≠4；
C、当a＝4时，2×4＝8，2≠8；
故选：A．
【点评】此题考查含字母的式子求值，解决关键是掌握0在乘法中的特性：0和任何数相乘都得0．
3．【分析】先求出a与b的差再乘10即可．
【解答】解：（a﹣b）×10＝10（a﹣b）
所以，与b的差的10倍用式子表示是10（a﹣b）．
故选：C．
【点评】此题先求a与b的差的10倍，表示a与b的倍的差，注意一定要理解题意．
4．【分析】根据乘方的意义，a2＝a×a，把a用9代替，计算即可，再根据计算结果进行选择．
【解答】解：把a＝9代入a2
a2
＝a×a
＝9×9
＝81
故选：B．
【点评】解答此题的关键是乘方的意义．
5．【分析】等式是指用“＝”号连接的式子；而方程是指含有未知数的等式．所以等式的范围大，而方程的范围小，它们之间是包含关系．
【解答】解：等式是指用“＝”号连接的式子；而方程是指含有未知数的等式．
方程和等式的关系可以用下图来表示：
．
故选：B．
【点评】此题考查方程与等式的关系：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程．
6．【分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行判断．
【解答】解：A、方程5x+5＝5的解是x＝0，原题说法错误．
B、5x+5＜5虽然含有未知数，但它是不等式，也不是方程，说法错误．
C、等式一定是方程，说法错误．
D、方程一定是等式，说法正确．
故选：D．
【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程．
7．【分析】等式的性质：在等式的两边都加上（或减去）一个相同的数，等式依然成立；据此进行判断．
【解答】解：在等式的两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等．
故选：C．
【点评】此题考查等式的性质：在等式的两边同时都加上（或减去）一个相同的数；两边同时都乘上（或除以）一个相同的数（0除外），等式依然成立．要注意：必须是同一个数才行．
8．【分析】根据图示可知：摆1个正方形需要小棒：4根；摆2个正方形需要小棒：4+3＝7（根）；摆3个正方形需要小棒：4+3+3＝10（根）；……摆n个正方形需要小棒：4+3（n﹣1）＝（3n+1）根．据此解答．
【解答】解：摆1个正方形需要小棒：4根
摆2个正方形需要小棒：4+3＝7（根）
摆3个正方形需要小棒：4+3+3＝10（根）
……
摆n个正方形需要小棒：4+3（n﹣1）＝（3n+1）根
答：摆n个正方形需要（3n+1）根小棒．
故选：D．
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图形发现规律，并运用规律做题．
二．填空题（共8小题）
9．【分析】等式的性质是指在等式的两边同时加、减同一个数，或同时乘、除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式．
【解答】解：在等式的两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式，这是等式的基本性质．
故答案为：等式的基本性质．
【点评】此题考查学生对等式的基本性质的理解，要注意：同时乘或除以同一个数时，必须是0除外．
10．【分析】用A表示桃树的棵数，先根据求一个数的几倍，用乘法求出桃树的5倍的棵数A×4，进而用桃树的棵数5倍加上16棵，就是梨树的棵数，即可得解．
【解答】解：A×5+16＝5A+16（棵）
答：梨树有（5A+16）棵．
故答案为：（5A+16）．
【点评】解答此题的关键：根据求一个数的几倍，用乘法；求比一个数多用加法．
11．【分析】（1）根据乘法的意义用每天看的页数乘看的天数计算出已经看的页数，用这本书的总页数减去已经看的页数即可计算出还没有看的页数；
（2）将a＝108和b＝8的数值代入（1）算式解答．
【解答】解：（1）没有看的页数：a﹣10×b＝a﹣10b（页）
答：还有（a﹣10b）页没看．
（2）将a＝108和b＝8的数值代入代入（a﹣10b），
108﹣10×8
＝108﹣80
＝28（页）
答：还剩有28页没看．
故答案为：（a﹣10b），28．
【点评】解题关键是找出数量关系，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．
12．【分析】根据乘法的意义，b2＝b×b，把数代入计算即可；把b＝9代入：3b＝3×9＝27．
【解答】解：9×9＝81
3×9＝27
答：当b＝9时，b2＝81，3b＝27．
故答案为：81；27．
【点评】本题主要考查含有字母的式子求解，关键把字母代表的数字代入计算．
13．【分析】把a、b、c的值代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：当a＝8，b＝7，c＝10时
2ab+3c＝2×8×7+3×10
＝112+30
＝142
当a＝8，b＝7，c＝10时
c×a﹣4b＝10×8﹣4×7
＝80﹣28
＝52
答：2ab+3c的值是
142，c×a﹣4b的值是
52．
故答案为：142，52．
【点评】本题考查了代数式求值，比较简单，熟练掌握有理数的加减运算时解题的关键．
14．【分析】等式是指用“＝”连接的式子，方程是指含有未知数的等式；据此进行分类．
【解答】解：等式有：②2+3＝5，③x÷6＝4，⑤7x+8＝50；
方程有：③x÷6＝4，⑤7x+8＝50；
故答案为：②③⑤；③⑤．
【点评】此题考查等式和方程的辨识，熟记定义，才能快速辨识．
15．【分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行解答．
【解答】解：方程是指含有未知数的等式，如5x﹣27＝72．
故答案为：5x﹣27＝72．
【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程．
16．【分析】根据图示，发现这组图形的规律：图案1黑色棋子的枚数：5枚；图案2黑色棋子枚数：5+3＝8（枚）；图案3黑色棋子枚数：5+3+3＝11（枚）；……图案n黑色棋子的枚数：5+3（n﹣1）＝（3n+2）枚．据此解题．
【解答】解：图案1黑色棋子的枚数：5枚
图案2黑色棋子枚数：5+3＝8（枚）
图案3黑色棋子枚数：5+3+3＝11（枚）
……
图案n黑色棋子的枚数：5+3（n﹣1）＝（3n+2）枚
……
第21个图形的黑色棋子的枚数：
3×21+2
＝63+2
＝65（枚）
答：第二十一个图案需要棋子
65枚．
故答案为：65．
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图示发现这组图形的规律，并运用规律做题．
三．判断题（共5小题）
17．【分析】根据乘法分配律即可求解．
【解答】解：7a+7b＝7（a+b）
故题干的计算错误．
故答案为：×．
【点评】考查了用字母表示数，关键是熟练掌握乘法分配律．
18．【分析】根据倒数的意义，a＝32时，
＝4，4的倒数是
．据此判断．
【解答】解：
＝4
1÷4＝
答：当a＝32时，
的倒数是
．原说法正确．
故答案为：√．
【点评】本题主要考查含有字母的式子求值，关键利用倒数的意义做题．
19．【分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行判断．
【解答】解：3x﹣12＝0，既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程；
原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程．
20．【分析】方程是指含有未知数的等式．所以等式包含方程，方程只是等式的一部分，据此解答即可．
【解答】解：方程一定是等式，等式不一定是方程，
而本题说等式一定是方程，方程不一定是等式，是错误的，
故答案为：×．
【点评】此题考查方程与等式的关系：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程．
21．【分析】根据图示，发现这组图形的规律：第一个点阵中点的个数：1个；第二个点阵中点的个数：1+4＝5（个）；第三个点阵中点的个数：1+4+4＝9（个）；……第n个点阵中点的个数：1+4（n﹣1）＝（4n+3）（个）．据此判断即可．
【解答】解：第一个点阵中点的个数：1个
第二个点阵中点的个数：1+4＝5（个）
第三个点阵中点的个数：1+4+4＝9（个）
……
第n个点阵中点的个数：1+4（n﹣1）＝（4n+3）（个）
……
第五个点阵中点的个数：
4×5+3
＝20+3
＝23（个）
答：第五个点阵中点的个数是23个．所以原说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题．
四．计算题（共1小题）
22．【分析】把x＝5代入要求的式子计算即可．
【解答】解：当x＝5时，
5x+18
＝5×5+18
＝25+18
＝43；
60﹣4x
＝60﹣4×5
＝60﹣20
＝40．
【点评】本题考查了含字母式子求值，关键是把字母的值代入计算．
五．应用题（共5小题）
23．【分析】首先用每天修的米数乘以修的天数，求出已经修了多少页；然后加上还剩下的300米，就是这段公路的长度；然后再把a＝150代入含有字母的式子求出结果即可．
【解答】解：（1）a×12+300＝12a+300（米）
答：示这段公路长（12a+300）米．
（2）当a＝150时；
12a+300
＝12×150+300
＝1800+300
＝2100（米）
答：如果a＝150，这段公路长2100米．
【点评】此题主要考查了用字母表示数的方法，以及代入法求含有字母的式子的值的应用．
24．【分析】（1）用每车的质量乘辆数求出求出总吨数，再减去45吨就是剩下的吨数．
（2）当a＝14时，把它代入问题（1）的式子求出求剩下多少吨蔬菜即可．
【解答】解：（1）用含有字母的式子表示剩下的吨数是：（5a﹣45）吨．
（2）当a＝14时，
5a﹣45
＝5×14﹣45
＝25（吨）
答：剩下25吨蔬菜．
【点评】在数学中，我们常常用字母来表示一个数，然后通过四则运算求解出那个字母所表示的数．含字母的式子求值的方法：把字母表示的数值代入式子，进而求出式子的数值．
25．【分析】由一张桌子坐6人，两张桌子坐10人，三张桌子坐14人，可以发现每多一张桌子多4个人，由此用字母表示这一规律，然后代值计算．
【解答】解：1张桌子可坐2×1+4＝6人，
2张桌子拼在一起可坐2×4+2＝10人，
3张桌子拼在一起可坐4×3+2＝14人，
…
所以五张桌子坐4×5+2＝22人，
…
那么n张桌子坐（4n+2）人．
当共有50人时，
4n+2＝50
4n＝48
n＝12
答：这样共12张桌子拼起来可以坐50人．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出规律，利用规律解决问题．
26．【分析】（1）根据“工作量＝工作效率×工作时间”，分别求出甲、乙的工作量，把二者相加即可，或用甲、乙的工作效率之和乘工作时间．
（2）把a＝11米，b＝9米时代入上面求出的含有字母a、b的表示这条隧道长度的式子计算即可．
【解答】解：（1）a×120+b×120＝120（a+b）（米）
答：这条隧道长120（a+b）米．
（2）当a＝11米，b＝9米时
120（a+b）
＝120×（11+9）
＝120×20
＝2400（米）
答：这条隧道2400米．
【点评】此题是使学生在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；会用含有字母的式子表示数量；使学生在理解含有字母式子的具体意义的基础上，会根据字母的取值，求含有字母式子的值．
27．【分析】（1）像这样拼下去，所用小正方形卡纸的张数是8、10、12……8＝6+2×1、10＝6+2×2、12＝6+2×3……第5个图用的张数是6+2×5，第n个用的张数是6+2n．
（2）面积为1cm2的正方形边长为1cm．在第n个图形的外围用铁丝镶上一圈边框，也就求第n个图形的周长．像这样拼下去，各图形的周长分别是12、14、18……12＝10+2×1、14＝10+2×2、16＝10+2×3……第n个图形的周长是10+2n．
【解答】解：（1）由分析可知，第（5）个图形要用多少张小正方形卡纸是：
6+2×5
＝6+10
＝16（张）
答：第（5）个图形要用16张小正方形卡纸．
（2）由分析可知，第n个图形的周长是10+2n
因此，如果要在第n个图形的外围用铁丝镶上一圈边框，至少需要（10+2n）厘米铁丝
答：至少需要（10+2n）厘米铁丝．
【点评】解答此题的关键是根据这些图形找出图形的序数与所用小正方形卡纸的张数、拼成图形的周长之间的关系，这也是本题的难点．
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