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【专题讲义】北师大版小学五年级数学下册
第二单元
长方体（一）知识点、经典例题与单元检测精讲（解析版）
一．选择题（共8小题）
1．【分析】从上面看所得到的图形是俯视图，根据图中正方体摆放的位置判定即可．
【解答】解：从上面看下来，左面一行是2个正方体，右面一行是1个正方体．
可以看到这个立体图形的2+1＝3个面．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三种视图中的俯视图，比较简单．
2．【分析】根据梯形的特征，梯形的上、下底互相平行．A说法正确．
等腰梯形的两腰相等，一般梯形的两腰不相等．B说法错误．
根据平行四边形的特征，平行四边形再组对边平行且相等．C说法正确．
【解答】解：A、梯形的上底与下底互相平行．此种说法正确；
B、梯形的两腰相等．此种说法错误；
C、平行四边形的两组对边分别互相平行．此种说法正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查梯形、平行四边形的特征．
3．【分析】用一根72厘米长的铁丝正好可以焊成长方体，这个长方体的棱长总和就是72厘米，长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，用棱长总和除以4减去长和高，即可求出宽．据此解答．
【解答】解：72÷4﹣（8+4）
＝18﹣12
＝6（厘米）
答：宽6厘米．
故选：C．
【点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式的灵活运用．
4．【分析】把这张圆形纸片对折1次，折成的角是以这张圆形纸片的圆心为顶点，两条半径为边的平角，平角＝180°，再对折1次，就是把平角平均分成2分，每份是90°，再对折1次，就是把90°的角再平均分成2份，每份是45°．
【解答】解：360÷2÷2÷2
＝180÷2÷2
＝90÷2
＝45（度）
即：将一张圆形的纸对折，再对折，再对折，得到的角是45度．
故选：B．
【点评】本题是考查简单图形的折叠问题，每对折一次就是把这个角平均分成2份．
5．【分析】因为正方体的每个面都是正方形，根据正方形的面积公式：s＝a2可知一个正方体每个面的面积都是9cm2，它的棱长是3厘米，据此解答．
【解答】解：因为3×3＝9（平方厘米）
所以正方体的棱长是3厘米．
故选：C．
【点评】此题主要考查正方形的面积公式的灵活运用．
6．【分析】选项A选项C选项D的图形都能围成长方体，选项B的图形折叠起来后，能围成长方体的2个底面，侧面重复，因此不能围成长方体．
【解答】解：A、C、D、都能围成长方体，不符合题意；
B、图形折叠起来后，能围成长方体的2个底面，侧面重复，不能围成长方体，符合题意．
故选：B．
【点评】本题是考查长方体展开图的特征，长方体展开图的特征类似于正方体展开图的特征，不同的是正方体展开图的六个正方形完全相同，而长方体展开图对面是完全相同的长方形（有可能有两个正方形）．
7．【分析】根据题意可知，把这张长80厘米，宽10厘米的纸板对折、再对折．打开后，围成一个高10厘米的长方体纸箱的侧面，也就是这个长方体纸箱的底面边长是2厘米，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答．
【解答】解：80÷4＝20（厘米）
20×20＝400（平方厘米）
答：这个底面的面积是400平方厘米．
故选：B．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征、长方体表面积的意义，以及正方形面积公式的灵活运用．
8．【分析】根据正方体展开图的11种特征，A图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”结构、C图属于正方体展开图的“3﹣3”结构，都能折叠成正方体；B图不属于正方体展开图，不能折叠成正方体．
【解答】解：、能折叠成正方体；
不能折叠成正方体．
故选：B．
【点评】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．
二．填空题（共8小题）
9．【分析】根据正方体的特征，6个面多少正方形，6个面的面积都相等．据此解答．
【解答】解：正方体有6个面，每个面都是正方形．
故答案为：6，正方．
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征．
10．【分析】根据长方体的特征．长方体的12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，所以用棱长总和除以4即可求出长、宽、高的和．
【解答】解：48÷4＝12（厘米）
答：它的长、宽、高之和是12厘米．
故答案为：12．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征．
11．【分析】观察图形，易得这个几何体共有3层，2排；由俯视图可得第一层立方体的个数是前排有3个，后排有2个一共有5个，由主视图和左视图可得第二层立方体的个数：前排没有，后排有左边一列1个，右边一列1个，共有1+1＝2个，第三层立方体只有左边1列有1个小正方体，由此相加即可．
【解答】解：根据题干分析可得：第一层有3+2＝5（个），
第二层有2个；第三层有1个；
5+2+1＝8（个），
答：这个几何体有8个小正方体．
故答案为：8．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
12．【分析】通过观察图形可知，把三个小正方体拼成一个长方体，表面积比原来减少了16平方厘米，表面积减少是小正方体4个面的面积，由此可以求出小正方体一个的面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答．
【解答】解：16÷4＝4（平方厘米）
4×6＝24（平方厘米）
答：原来1个小正方体的表面积是24平方厘米．
故答案为：24．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体表面积的意义，以及正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
13．【分析】此图为正方体展开图的“1﹣4﹣1”结构，折成正方体后，“4”中的4个正方形围成侧面，2与7重合；两个“1”面相对，7与5重合，因此，与2重合的点是5、7．
【解答】解：如图
当折叠正方体时，与数字2重合的数字为5和7．
故答案为：5和7．
【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住，能快速解答此类题．
14．【分析】根据梯形的分类可知：两腰相等的梯形是等腰梯形；
根据直角梯形的定义可知，有一个角是直角的梯形，叫做直角梯形；由此解答即可．
【解答】解：两腰相等的梯形是
等腰梯形，直角梯形中有
2个直角．
故答案为：等腰图形，2．
【点评】根据直角梯形和等腰梯形的意义进行解答即可．
15．【分析】根据直角三角形的性质可求∠3，再根据折叠的性质和平角的定义即可求解．
【解答】解：因为∠1＝62°，
所以∠3＝90°﹣62°＝28°，
所以∠3＝28°，
所以∠2＝180°﹣28°×2＝124°．
故答案为：124．
【点评】本题考查了利用平角的定义解决问题，关键是理解折叠的意义，明确图中∠3和∠4是相等的关系．
16．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“A”与面“F”相对，面“B”与面“D”相对，“C”与面“E”相对，再根据AF折的方向判断E或C哪个面在上面．
【解答】解：由图可知，“C”与面“E”相对．则
（1）因为面“A”与面“F”相对，
所以A面是长方体的底部时，F面在上面；
（2）由图可知，如果F面在前面，B面在左面，那么“C”面在下面，
因为面“E”与面“C”相对，当AF向上折，E会在上面，当AF向下折，C面会在上面；
故答案为：F，E或C．
【点评】注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
三．判断题（共5小题）
17．【分析】根据正方体展开图的11种特征，图1和图3都属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，图2不属于正方体展开图．
【解答】解：如图，
根据正方体展开图的特征，图1和图3都属于正方体展开图，图2不属于正方体展开图．
故答案为：×．
【点评】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．
18．【分析】过梯形的上底的一个顶点，向一条腰作平行线，这条平行线把梯形分成一个平行四边形和一个三角形；过梯形上底一点，作一条腰的平行线，可以把这个梯形分成一个平行四边形和一个梯形，据此即可画图解答．
【解答】解：根据题干分析可得：
所以，在梯形纸上剪一刀，使剪下的两个图形有一个是平行四边形，那么另一个图形可能是三角形，也可能是
梯形，所以不能确定，所以本题说法错误；
故答案为：×．
【点评】解答此题的关键是掌握梯形、平行四边形的特征，即可进行合理画图．
19．【分析】正方体表面积：六个正方形面积之和．依此即可求解．
【解答】解：正方体的表面积是正方体六个面的面积之和的说法是正确的．
故答案为：√．
【点评】考查了正方体的表面积，关键是熟悉正方体表面积：六个正方形面积之和的知识点．
20．【分析】根据正方体的特征，正方体的12条棱的长度都相等，6个面是完全相同的正方形，正方体是长、宽、高都相等的特殊的长方体．据此判断即可．
【解答】解：如果一个长方体的相邻的两个面都是正方形，那么这个长方体的长、宽、高一定相等，所以这个长方体一定是正方体．
故答案为：√．
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，明确：正方体是长、宽、高都相等的特殊的长方体．
21．【分析】这是长方体展开图的“1﹣4﹣1”结构，折成长方体时，①面和④面相对，③面和⑥面相对，②面和⑤面相对；据此解答．
【解答】解：如图是长方体的表面展开图，与⑥相对的面是③．
原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】长方体展开图与正方体展开图类似，不同的是正方体展开图是由六个相同的正方形组成，而长方体展开图是六个长方形（有可能相对的两个面是正方形），只有相对面是全等的长方形．
四．计算题（共1小题）
22．【分析】长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2；正方体的表面积＝棱长×棱长×6；据此代入数据即可解答．
【解答】解：长方体的表面积是：
（5×4+5×10+4×10）×2
＝（20+50+40）×2
＝110×2
＝220（平方厘米）
正方体的表面积是：6×6×6＝216（平方厘米）
答：长方体的表面积是220平方厘米；正方体的表面积是216平方厘米．
【点评】此题主要考查正方体与长方体的表面积公式的计算应用．
五．应用题（共6小题）
23．【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，已知正方体的棱长总和是18厘米，由此可以求出正方体的棱长，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式求出两个正方体的表面积和，拼成的长方体的表面积比两个正方体的表面积和减少了正方体的两个面的面积，据此解答即可．
【解答】解：18÷12＝1.5（厘米）
1.5×1.5×6×2﹣1.5×1.5×2
＝2.25×6×2﹣2.25×2
＝13.5×2﹣4.5
＝27﹣4.5
＝22.5（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是22.5平方厘米．
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
24．【分析】根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，把数据代入公式求出长方体的棱长总和，即可解答．
【解答】解：（9+4+3）×4
＝16×4
＝64（厘米）
答：这根铁丝长64厘米．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及棱长总和公式．
25．【分析】根据题干分析，沿水平方向把木块锯成4块后，表面积是增加了6个15×10的面的面积，由此即可解答．
【解答】解：（20×15+20×10+15×10）×2+15×10×6
＝（300+200+150）×2+900
＝650×2+900
＝1300+900
＝2200（平方厘米）
答：这4块小长方体的表面积之和是2200平方厘米．
【点评】抓住长方体的切割特点，得出表面积增加了6个以长和宽为边长的面的面积是解题的关键．
26．【分析】根据长方体的表面积的计算方法，首先分清求的是哪5个面的总面积，即上面、前后面、左右面；求出5个面的面积，减去门窗面积后再乘以0.5，由此列式解答．
【解答】解：20×15+20×8×2+15×8×2﹣120
＝300+320+240﹣120
＝860﹣120
＝740（平方米）
0.5×740＝370（千克）
答：一共需涂料370千克．
【点评】此题主要考查长方体的表面积的计算方法，特别是利用长方体的表面积计算方法解决实际问题时，首先分清求的是哪些面的总面积．
27．【分析】根据题意可知，已知正方体的棱长，要求无盖正方体的表面积，用棱长×棱长×5＝无盖正方体的表面积，据此列式解答；然后用每平方分米玻璃的单价×玻璃的面积＝一共需要的钱数，据此列式解答．
【解答】解：6×6×5
＝36×5
＝180（平方分米）
180×0.8＝144（元）
答：至少需要180平方分米的玻璃，一共需要144元．
【点评】此题主要考查正方体表面积的计算方法的灵活应用．
28．【分析】根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，6个面的面积都相等，把一根长60厘米的铁丝围成一个正方体框架，也就是正方体的棱长总和是60厘米，首先求出它的棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2解答．
【解答】解：60÷12＝5（厘米）
5×5×6＝150（平方厘米）
答：至少要准备150平方厘米的彩纸．
【点评】此题属于正方体的棱长总和与表面积的实际应用，首先根据棱长总和的计算方法求出棱长，再根据正方体的表面积公式解决问题．
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【专题讲义】北师大版小学五年级数学下册
第二单元
长方体（一）知识点、经典例题与单元检测精讲（学生版）
【知识点归纳总结】
1.
梯形的特征及分类
1．概念：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形．
2．分类：
（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形
（3）一般梯形．
【经典例题】
例1：只有一组对边平行的四边形是（ ）
A、三角形????????
B、长方形???????
?
C、平行四边形???
?????D、梯形
例2：两个完全一样的直角梯形，一定不能拼成（ ）
A、平行四边形??????????
B、长方形??????????
C、三角形
2.
长方体的特征
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
【经典例题】
例1：我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（ ）
A、只有三个面??????????B、只能看到三个面?????????
C、最多只能看到三个面
例2：用一根52cm长的铁丝，正好可以焊成一个长为6cm，宽为4cm，高为（ ）cm的长方体框架．
A、2???????????
B、3??????
?????
C、4????????
???
D、5
3.
正方体的特征
①8个顶点．
②12条棱，每条棱长度相等．
③相邻的两条棱互相垂直．
【经典例题】
例1：一个棱长是4分米的正方体，棱长总和是（ ）分米．
A、16?????
????
B、24??????????
C、32??????????
D、48
例2：至少（ ）个完全一样的小正方体可以拼成一个稍大的正方体．
A、4???????????
B、8????????????
C、9
4.
长方体的展开图
长方体展开图形如下情况：
【经典例题】
例1：把下面这个展开图折成一个长方体．
①如果A面在底部，那么
面在上面．
②如果F面在前面，从左面看是B面，
面在上面．
③测量有关数据（取整厘米数），算出它的表面积和体积．
5.
正方体的展开图
正方体展开图形如下情况：
【经典例题】
例1：将如图折成一个正方体后，“2”这个面与（ ）相对．
A、4
B、5
C、6
D、3
例2：下列图形都是由相同的小正方形组成，哪一个图形不能折成正方体？（ ）
6.
简单图形的折叠问题
1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；?
2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；
3．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；?
4．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一．
【经典例题】
例1：把一根绳子对折三次，这时每段绳子是全长的（ ）
A、??
B、?????
???
C、
例2：把一张长方形纸折成如图时，其中∠1和∠2相等，那么∠1=（ ）
A、90°????????????
B、45°????????????
C、60°
7.长方体和正方体的表面积
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S=6a2．（a表示棱长）
【经典例题】
例1：如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积就扩大到原来的（ ）倍．
A、2??????????
B、4??????????
C、6???????????
D、8
例2：两个表面积都是24平方厘米的正方体，拼成一个长方体．这个长方体的表面积是（ ）平方厘米．
A、48????????
?
B、44??????
???
C、40???????????
D、16
8.
三视图与展开图
三视图怎么看：
1．从正面看，为主视图
2．从侧面看，为左视图
3．从上面看，为俯视图
展开图为空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形．
【同步测试】
一．选择题（共8小题）
1．如图是由4个完全相同的小正方体堆成的一个立体图形，从上面看这个图形，可以看到这个立体图形的（ ）个面．
A．2
B．3
C．4
D．以上答案都不正确
2．下面三句话中，说法错误的是（ ）
A．梯形的上底与下底互相平行
B．梯形的两腰相等
C．平行四边形的两组对边分别互相平行
3．用一根72厘米的铁丝正好可以焊成一个长8厘米、宽（ ）厘米、高4厘米的长方体框架．
A．4
B．5
C．6
4．把一张圆形的纸对折，再对折，再对折，所形成的角是（ ）度．
A．30
B．45
C．90
5．一个正方体每个面的面积都是9cm2，它的棱长是（ ）cm．
A．9
B．54
C．3
6．下面的图形经过折叠不能围成一个长方体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．一张长方形纸板长80厘米，宽10厘米，把它对折、再对折．打开后，围成一个高10厘米的长方体纸箱的侧面．如果要为这个长方体纸箱配一个底面，这个底面的面积是（ ）
A．200平方厘米
B．400平方厘米
C．800平方厘米
8．下面（ ）图形沿虚线折叠后不能围成正方体．
A．
B．
C．
二．填空题（共8小题）
9．正方体有
个面，每个面积都是
形．
10．一个长方体的所有棱长总和是48cm，那么它的长、宽、高之和是
cm．
11．用一些小立方体拼成一个几何体，它的三视图如图所示．则这个几何体有
个小立方体．
12．手工课上，小辉把三块小正方体方木粘在一起，如图：表面积比原来减少16平方厘米，原来1个小正方体的表面积是
平方厘米．
13．如图是正方体的展开图，在顶点处标有1～12个自然数．当折叠正方体时，与数字2重合的数字为
．
14．两腰相等的梯形是
，直角梯形中有
个直角．
15．如图所示，将一张长方形纸折一折，∠1＝62°，∠2＝
°．
16．如图，把这个展开图折成一个长方体，
（1）如果A面在底部，那么
面在上面．
（2）如果F面在前面，从左面看是B面，那么
面在上面．
三．判断题（共5小题）
17．如图图形都是正方体的表面展开图．
（判断对错）
18．在梯形纸上一刀剪下一个平行四边形，剩下的纸是三角形．
（判断对错）
19．正方体的表面积是正方体六个面的面积之和．
（判断对错）
20．一个长方体相邻的两个面如果都是正方形，那么这个长方体一定是正方体．
（判断对错）
21．如图是长方体的表面展开图，与⑥相对的面是③．
（判断对错）
四．计算题（共1小题）
22．计算下面图形的表面积．
五．应用题（共6小题）
23．两个棱长和均为18厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
24．一根铁丝正好可以围成一个长9cm、宽4cm、高3cm的长方体框架，这根铁丝有多长？
25．一个长方体木块，长20厘米，宽15厘米，高10厘米．现在把木块锯成4块．这4块小长方体的表面积之和是多少平方厘米？
26．一个礼堂长20米，宽15米，高8米，要粉刷礼堂的顶棚和四周墙壁，除去门窗面积120平方米，平均每平方米用涂料0.5千克，一共需涂料多少千克？
27．做一个棱长是6dm的正方体玻璃鱼缸（无盖），至少需要多大面积的玻璃？每平方分米的玻璃需要0.8元，一共需要多少钱？
28．用一根60厘米的铁丝围成一个正方体框架，再把各个面贴上彩纸，做成一个盒子，至少要准备多大面积的彩纸？
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