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【专题讲义】北师大版小学五年级数学下册
第七单元
用方程解决问题知识点、经典例题与单元检测精讲（解析版）
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据题意，可假设甲和乙都不停留，两者的速度差为135﹣120＝15米/分钟，那么，甲追上乙的时间为：80÷15＝
分，甲跑一条边的时间为80÷135＝
分，
＝9，即甲追上乙需要跑9条边，又每过一个顶点时要多用5秒，
×60+（9﹣1）×5＝360秒＝6分钟，9÷4＝2…1，即在B处相会．
【解答】解：80÷（135﹣120）
＝80÷15，
＝
（分钟）；
=
÷（80÷135）
＝
÷，
＝9．
×60+（9﹣1）×5＝360秒＝6分钟，
9÷4＝2…1，即在B处相会．
即甲与乙相会需要6分钟，在B处相会．
故选：B．
【点评】先假设他们休息5秒的次数一样，算出不休息的追及时间，然后求行了几条边，进一步解决问题．
2．【分析】根据题意可得等量关系式：5本练习本的总价+一支铅笔的价钱＝7.5元，设每本练习本x元，然后列方程解答即可．
【解答】解：设每本练习本x元，
5x+1.5＝7.5
故选：B．
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．
3．【分析】一个圆形纸片，对折一次后，能得到一个平角，再对折一次后，能得到一个直角；据此解答．
【解答】解：一个圆形纸片，至少对折2次后，能得到一个直角．
故选：B．
【点评】此题考查了图形的折叠，明确圆形纸片每次对折后是什么角是关键．
4．【分析】根据正方体的展开图的11种特征，图C属于正方体展开图的“222”结构，图A和图C以及图D都不属于正方体展开图的结构，都不能折成正方体，据此解答即可．
【解答】解：下列各图中，能按虚线折成一个正方体；
故选：C．
【点评】此题主要考查正方体展开图的特征，正方体的展开图有11种特征，分为四种类型，即：第一种：“1
4
1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“222”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3
3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“132”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．
5．【分析】正方形纸连续对折两次，把这张纸平均分成了4份，每份是原来的
．即面积是原来的
．
【解答】解：1÷4＝
答：得到的图形面积是原来的．
故选：A．
【点评】本题考查对分数的意义的理解及应用．
6．【分析】根据题意，如果设男生有x人，女生人数有（2x﹣5）人，根据女生人数为32人，列方程求解即可．
【解答】解：设男生有x人，
有关系式：女生人数＝男生人数×2﹣5
列方程为：
2x﹣5＝32
故选：A．
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．
7．【分析】（1）首先根据题意，设货车每小时行x千米，然后根据：客车的速度×两车相遇用的时间+货车的速度×两车相遇用的时间＝两地之间的距离，列出方程，求出货车每小时行多少千米即可．
（2）首先根据题意，设货车每小时行x千米，然后根据：货车的速度×两车相遇用的时间＝两地之间的距离﹣客车的速度×两车相遇用的时间，列出方程，求出货车每小时行多少千米即可．
（3）首先根据题意，设货车每小时行x千米，然后根据：客车的速度+货车的速度＝两地之间的距离÷两车相遇用的时间，列出方程，求出货车每小时行多少千米即可．
【解答】解：（1）设货车每小时行x千米，
则65×4+4x＝480
260+4x＝480
260+4x﹣260＝480﹣260
4x＝220
4x÷4＝220÷4
x＝55
答：货车每小时行55千米．
（2）设货车每小时行x千米，
则4x＝480﹣65×4
4x＝480﹣260
4x＝220
4x÷4＝220÷4
x＝55
答：货车每小时行55千米．
（3）设货车每小时行x千米，
则65+x＝480÷4
65+x＝120
65+x﹣65＝120﹣65
x＝55
答：货车每小时行55千米．
不正确的方程是：65+4x＝480．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
8．【分析】把全程看作是单位“1”，求出m千米对应的分率，要用60%+80%﹣1＝
，所以全程为m
；根据甲车行了全程的60%，乙车行了全程的80%可以求出两车的速度比为60%：80%＝3：4，根据全程为
，相遇时间为6小时，可以求出两车的速度和，结合按比例分配问题可以求出甲车的速度，再利用时间＝路程除以速度可求出甲车行驶全程需要的时间．
【解答】解：60%+80%﹣1＝
，
m
＝
（千米），
甲乙两车的速度比为60%：80%＝3：4，
甲乙两车的速度和：÷6＝
（千米/小时），
甲车的速度：
（千米/小时），
甲车的时间：
（小时）
故选：D．
【点评】本题考查行程问题，需要熟练掌握速度、路程和时间三者之间的关系．
二．填空题（共6小题）
9．【分析】如图，把这张纸展开后，以∠1、∠2的顶点为顶点的角是90°，由于∠1盖住了一个和它相等的角，展开后就是∠2+2∠1＝90°，又知∠1＝32°，据此可求出∠1的度数．
【解答】解：90°﹣32°×2
＝90°﹣64°
＝26°．
答：∠2是26度．
【点评】本题是考查简单图形的折叠问题及角度的计算．关键是∠1盖住了一个和它相等的角．
10．【分析】已知相遇时间是5小时，两地相距360千米，甲车每小时行x千米，乙车每小时行40千米，根据：速度和×相遇时间＝总路程；由此解答即可．
【解答】解：甲、乙两车同时从两地相对开出，5小时相遇，两地相距360千米，甲车每小时行x千米，乙车每小时行40千米．等量关系：速度和×相遇时间＝总路程，方程：（40+x）×5＝360．
故答案为：速度和×相遇时间＝总路程，（40+x）×5＝360．
【点评】此题主要考查相遇问题中的基本数量关系：速度和×相遇时间＝总路程或客车所行的路程+货车所行的路程＝甲、乙两站之间的距离，再由关系式列方程解决问题．
11．【分析】根据题意可知，二人相遇时淘淘离中点还有300米，笑笑已过中点300米，利用追及问题公式：追及时间＝路程差÷速度差，先求二人所行时间：300×2÷（125﹣100）＝24（分钟），然后利用相遇问题公式：路程和＝速度和×时间，求二人所行路程和：（125+100）×24＝5400（米）．
【解答】解：300×2÷（125﹣100）×（125+100）
＝600÷25×225
＝24×225
＝5400（米）
答：甲乙两地相距
5400米．
故答案为：5400．
【点评】本题主要考查行程问题，关键利用路程、速度和时间之间的关系做题．
12．【分析】根据图意可得等量关系式：单价×数量＝总价；据此解答即可．
【解答】解：3x＝48
故答案为：3x＝48．
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．
13．【分析】乙行完全程正好用了：8：30﹣8：12＝18（分钟）；乙到达C点，甲也到达C点，乙到C点所用时间为：18÷3×2＝12（分钟），此时甲行了：12+12＝24（分钟），所以甲行完全程所用时间为：24×3＝72（分钟）．甲丙相遇时甲行了全程的：从甲乙相遇到甲丙相遇，甲丙共行总路程的
，所用时间为：8：30﹣8：24＝6（分钟），所以，甲丙行完全程需要：6×3＝18（分钟），所以，丙行完全程所需时间为：1÷（
）＝24（分钟），所以丙出发的时间为：8：24﹣24÷3＝8：16．
【解答】解：8：30﹣8：12＝18（分钟）
18÷3×2＝12（分钟）
12+12＝24（分钟）
24×3＝72（分钟）
8：30﹣8：24＝6（分钟）
6×3＝18（分钟）
1÷（
）
＝1÷
＝24（分钟）
丙出发的时间为：8：24﹣24÷3＝8：16
答：丙出发时是8点
16分．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查相遇问题，关键根据路程和、速度和和相遇时间的关系做题．
14．【分析】根据题意，设经过x小时相遇，找出数量关系式：速度和×相遇时间＝路程，由此代入数据列方程，解答即可．
【解答】解：设经过x小时相遇
（162+108）×x＝972
270x＝972
270x÷270＝972÷270
x＝3.6
答：两车经过3.6小时相遇．
故答案为：（162+108）×x＝972；3.6．
【点评】此题解答的关键在于设出未知数，根据关系式：速度和×相遇时间＝路程，列出方程，解决问题．
三．判断题（共4小题）
15．【分析】把一张圆形的纸对折，得到的角是以圆心为顶点，两半径为边的一个平角（180°），再对折，能得到一个以圆心为顶点，两半径为边的一个直角（90°）．
【解答】解：拿一张圆形的纸，把它对折再对折，得到的角是直角．
故答案为：√．
【点评】本题是考查简单图形的折叠问题、角的意义及分类．根据图形对折的特征及直角的特征即可判断．
16．【分析】列方程解应用题的关键就是理解题意，找出题中的等量关系，据此判断即可．
【解答】解：列方程解应用题的关键就是理解题意，找出题中的等量关系，列出方程所以本题说法正确，
故答案为：√．
【点评】本题考查了列方程解应用题，关键是明确列方程解应用题的关键就是理解题意，找出题中的等量关系．
17．【分析】如图，把这张纸展开后，以∠1、∠2的顶点为顶点的角是90°，由于∠1盖住了一个和它相等的角，展开后就是∠2+2∠1＝90°，又知∠1＝32°，据此可求出∠1的度数．
【解答】解：90°﹣32°×2
＝90°﹣64°
＝26°．
答：∠2是26度，故原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题是考查简单图形的折叠问题及角度的计算．关键是∠1盖住了一个和它相等的角．
18．【分析】设宽为x厘米，根据等量关系式：宽×4倍+2厘米＝长，列方程判断即可．
【解答】解：设宽为x厘米，
4x+2＝14
4x＝12
x＝3
答：宽为3厘米．
故答案为：√．
【点评】列方程解应用题，关键是列出已知条件和未知条件之间的等量关系式．
四．计算题（共2小题）
19．【分析】根据题意，有关系式：花的钱数＝付的钱数+应再付的钱数．设买了x千克，列方程为：6.8x＝50+7.8，解得：x＝8.5．
【解答】解：设买了x千克，
6.8x＝50+7.8
6.8x＝57.8
x＝8.5
答：一共买了8.5千克．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
20．【分析】（1）根据题意，设正方形的边长为x米，利用正方形周长公式：正方形的周长＝边长×4，列方程求解即可．
（2）设三角形的高为x米，利用三角形面积公式：三角形的面积＝底×高÷2，列方程求解即可．
【解答】解：（1）设正方形边长为x米
4x＝10
x＝10÷4
x＝2.5
答：正方形边长为2.5米．
（2）设三角形的高为x米，
1.3x÷2＝0.39
1.3x＝0.78
x＝0.6
答：三角形的高为0.6米．
【点评】本题主要根据图示设未知数，利用正方形周长、三角形面积等公式列方程求解．
五．应用题（共5小题）
21．【分析】根据题意可得等量关系式：每盒的数量×盒数+剩下的个数＝770个，设装满了x盒，然后列方程解答即可．
【解答】解：设装满了x盒，
6x+2＝770
6x＝768
x＝128
答：装满了128盒．
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．
22．【分析】根据题意可得等量关系式：小鸡的数量+大鸡的数量＝1200只，设大鸡有x只，那么小鸡有3x只，然后列方程解答即可．
【解答】解：设大鸡有x只，那么小鸡有3x只，
3x+x＝1200
4x＝1200
x＝300
300×3＝900（只）
答：大鸡有300只；小鸡有900只．
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．
23．【分析】根据题干，可知等量关系：男生人数×2+32＝女生人数，其中女生人数已知，设男生人数是x人，则根据等量关系列出方程并解答可求出男生人数，男女人数相加即可求出全校人数，据此解答即可．
【解答】解：设男生人数是x人，根据题意可得方程：
2x+32＝320
2x＝288
x＝144
144+320＝464（人）
答：男生有48人，全校有464人．
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．
24．【分析】设妈妈的工资为x元，则爸爸的工资为1.5x元，根据等量关系“爸爸的工资+妈妈的工资＝9000元”列方程解答即可得出妈妈的工资，再求爸爸的工资即可．
【解答】解：设妈妈的工资为x元，
1.5x+x＝9000
2.5x＝9000
x＝3600
3600×1.5＝5400（元）
答：爸爸的工资为5400元，妈妈的工资为3600元．
【点评】本题考查了列方程解应用题，关键是根据等量关系“爸爸的工资+妈妈的工资＝9000元”列方程．
25．【分析】设乙车每小时行x千米，又甲车每小时行88千米，则两车每小时共行（88+x）千米，两地的路程是540千米，3小时相遇，根据乘法的意义，可得方程：（88+x）×3＝540，解答即可．
【解答】解：设乙车每小时行x千米，可得方程：
（88+x）×3＝540
264+3x＝540
3x＝276
x＝92
答：乙车每小时行92千米．
【点评】通过设未知数，根据速度和×相遇时间＝路程列出方程是完成本题的关键．
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【专题讲义】北师大版小学五年级数学下册
第七单元
用方程解决问题知识点、经典例题与单元检测精讲（学生版）
【知识点归纳总结】
1.
列方程解应用题（两步需要逆思考）
列方程解应用题的步骤：
①弄清题意，确定未知数，并用x表示．
②找出题中数量之间的相等关系．
③列方程，解方程．
④检查或验算，写出答案．
列方程解应用题的方法：
①综合法：先把应用题中已知的数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，并找出它们之间的等量关系，列出方程．这是从部分到整体的一种思维过程，其思考的方向是从已知到未知．
②分析法：先找出等量关系，再根据建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，列出方程．这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知．
【经典例题】
例1：元旦期间，合益商场搞优惠活动，买一箱牛奶送一盒，五（1）班一共52人，如果买4箱，正好每人一盒，每箱牛奶有
盒．
例2：同学们植树，一班比二班多植63棵，一班42人，平均每人植8棵，二班39人，平均每人植多少棵？（用方程解答）
2.
列方程解三步应用题(相遇问题)
甲速×相遇时间+乙速×相遇时间=路程
（甲速+乙速）×相遇时间=路程
甲走的路程+乙走的路程=总路程
【经典例题】
例1：甲乙两列火车分别从相距600千米的两地同时相向而行，2.5小时后两车还相距220千米．已知甲车每小时行80千米，乙车每小时行多少千米？
例2：甲乙两城相距460千米，货车以每小时60千米的速度从甲城开往乙城，2小时后，客车才从乙城开往甲城，又经过3.4小时两车相遇，客车每小时行多少千米？
3.
简单图形的折叠问题
1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；?
2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；
3．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；?
4．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一．
【经典例题】
例1：把一根绳子对折三次，这时每段绳子是全长的（ ）
A、??????
B、????????
C、
例2：把一张长方形纸折成如图时，其中∠1和∠2相等，那么∠1=（ ）
A、90°????????????
B、45°????????????
C、60°
4.
相遇问题
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程． 小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题．
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度．
它们的基本关系式如下：
总路程=（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度．
【经典例题】
例1：根据算式选择问题．甲、乙两人同时从两地相向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行6千米，经过4小时两人相遇．
（1）甲、乙两人每小时共行多少千米？
（2）两地之间的路程是多少千米？
（3）相遇时，甲行了多少千米？
【同步测试】
一．选择题（共8小题）
1．正方形ABCD（如图），边长80米，甲从A点，乙从B点，同时沿同方向运动，每分钟的速度甲为135米，乙为120米，每过一个顶点时要多用5秒，出发后，甲与乙在何处相会（ ）
A．A
B．B
C．C
D．D
2．根据如图数量关系列出的方程是（ ）
A．x+1.5＝7.5
B．5x+1.5＝7.5
C．7.5﹣x＝1.5
3．一个圆形纸片，至少对折（ ）次后，能得到一个直角．
A．1
B．2
C．3
4．下列各图中，（ ）能按虚线折成一个正方体．
A．
B．
C．
5．一张正方形纸连续对折两次后，得到的图形面积是原来的（ ）
A．
B．
C．
6．学校体操队有女生32人，女生人数比男生的2倍少5人．男生有多少人？如果设男生有x人，可列方程为
（ ）
A．2x﹣5＝32
B．2（x﹣5）＝32
C．2x+5＝32
7．甲乙两地间的铁路长480千米，客车和货车同时从两地相对开出，经过4小时相遇．已知客车每小时行65千米，货车每小时行x千米．不正确的方程是（ ）
A．65×4+4x＝480
B．4x＝480﹣65×4
C．65+x＝480÷4
D．65+4
x＝480
8．甲车和乙车分别从A、B两站同时相向开出，6小时后相遇．相遇后，两车仍按原速度前进，当它们相距m千米时，甲车行了全程的60%，乙车行了全程的80%．则甲车行完全程需要（ ）小时．
A．10.5
B．
C．
m
D．14
二．填空题（共6小题）
9．如图是一张长方形纸折起来以后形成的图形，已知：∠1＝32°，∠2＝
．
10．甲、乙两车同时从两地相对开出，5小时相遇，两地相距360千米，甲车每小时行x千米，乙车每小时行40千米．等量关系：
，方程：
．
11．淘气和笑笑同时从甲乙两地相向而行，两人相遇时距离两地中点300米，已知淘气每分钟行100米，笑笑每分钟行125米，那么甲乙两地相距
米．
12．看图列方程，不用计算，不用写答数．
13．如图，C、D为AB的三等分点，8点整时甲从A出发匀速向B行走，8点12分乙从B出发匀速向A行走，在经过几分钟后丙也从B出发匀速向A行走，甲、乙在C相遇时丙恰好走到D点，甲、丙8：30相遇时乙恰好到A．那么丙出发时是8点
分
14．甲乙两地相距972km，一列火车从甲地开出，每小时行驶162km，另一列从乙地开出，每小时行驶108km．这两列火车同时开出，经过几小时相遇？可设经过x小时相遇，列方程是
，求得x的值是
．
三．判断题（共4小题）
15．拿一张圆形的纸，把它对折再对折，得到的角是直角．
．（判断对错）
16．列方程解应用题的关键就是理解题意，找出题中的等量关系，列出方程．
（判断对错）
17．如图是一张长方形纸折起来以后形成的图形，已知：∠1＝32°，则∠2＝36°．
（判断对错）
18．一长方形的长比宽的4倍多2厘米，长是14厘米，若设宽为x厘米，则列方程为4x+2＝14．
．（判断对错）
四．计算题（共2小题）
19．看图列式计算．
20．看图列方程并解答．
五．应用题（共5小题）
21．有770个乒乓球，每6个装一盒，装满若干盒后剩下2个．装满了多少盒？（列方程解）
22．杨阿姨一共养鸡1200只，其中小鸡的数量是大鸡的3倍．大鸡和小鸡各有多少只？（列方程解）
23．光明小学有女生320人，比男生的2倍多32人，该校男生有多少人？（列方程解答．）全校有多少人？
24．上个月张明的爸爸妈妈的工资收入一共是9000元，爸爸的工资正好是妈妈的1.5倍，爸爸妈妈的工资各是多少？（用方程解答）
25．两地间的距离是540千米．甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过3小时相遇．甲车每小时行88千米，乙车每小时行多少千米？（用方程解）
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