(共23张PPT)
函数的单调性
O
O
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
图象下降
图象上升
一般地，设函数 f(x) 的定义域为I： 如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1, x2 ,当x1< x2 时，都有f(x1)如果对于属于定义域I内区间D上的任意两个自变量的值 x1, x2 ,当x1< x2 时，都有f(x1)>f(x2 )，那么就说f(x)在区间D上是减函数.
那么就说函数 在这个区间具有单调性。
这一区间叫函数的单调区间
图像特征：
在单调区间上增函数的图像是上升的。
在单调区间上减函数的图像是下降的。
例1. 如图是定义在闭区间 上的函数 的图像，根据图像说出 的 单调区间，以及在每一单调区间上， 是 增函数还是减函数。
解：
函数 单调区间有 ， ， ， ；
其中 在区间 ， 上是减函数；
其中 在区间 ， 上是增函数。
-4
3
2
1
5
4
3
1
2
-1
-2
-1
-5
-3
-2
x
y
如图,已知函数y=g(x)的图象,根据图象(包括端点)说出函数的单调区间,以及在每一个单调区间上,函数是增函数还是减函数.
o
x
y
y=g(x)
通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.
例3.证明函数 在 上是增函数。
所以 在
上是增函数.
证明：
设x1,x2是 上的
任意两个实数,且
则
1、判断函数f(x)=1/x在(－∞，0)上是增函数还是减函数？如何证明你的结论？
3.能否说函数f(x)=1/x在(－∞，+∞)上是减函数？
不能. 因为x=0不属于f(x)=1/x的定义域.
减函数
2、判断函数f(x)=1/x在(0，+∞)上
是增函数还是减函数？如何证明你的结论？
减函数
1.证明函数 在(0,+∞)上是减函数.
证明:设任意x1,x2∈(0,+∞),且x1则f（x1）-f（x2）=
由x1,x2∈(0,+∞)得x1x2>0
又x10
∴f（x1）-f（x2）>0
即f（x1）>f（x2）
∴ 在(0,+∞)上是减函数.
2. 证明函数 在R上是 增函数 .
1.对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：
（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.
（3）由于定义都是充要性命题，因此由 是增(减)函数且 ，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。
（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质.因此，定义中的x1, x2 具有任意性，不能用特殊值代替. (共18张PPT)
函数的最大（小）值
函数的单调性
定义:一般地，设函数f(x)的定义域为I
如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值
都有
减函数
都有
增函数
这一区间叫函数的单调区间
图像特征：
在单调区间上增函数的图像是上升的。
在单调区间上减函数的图像是下降的。
观察下面这个函数
函数f (x)＝-x2 +3.
在(－∞, 0]上是增函数，
在[0, +∞)上是减函数.
当x≤0时，f (x) ≤ f (0)，
x≥0时， f (x) ≤ f (0).
从而对任意x∈R，都有f (x) ≤ f (0).
因此x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
Y
x
Y=-x2 +3
O
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I.
如果存在实数M，满足：
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I.
如果存在实数M，满足：
(1)对于任意x∈I，都有f (x) ≥M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
例1.求下列函数的最大（小）值。
答.函数的最大值为 ，没有最小值。
把函数化为 去掉绝对值符号，得分段函数 ,显然函数值 ，函
数有最小值为3，无最大值。
y=
例2. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的关系为:h(t)= 4.9t2+14.7t+18 ，那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）
O
答.烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.
。
点拨
做此类问题时，可以将实际问题转化到数学中的二次函数的最值问题来解决，注意实际问题的意义。
用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架，若矩形底部长为2x。
（1）求此框架围成的面积y与x的关系式，并求出其定义域；
（2）求当x为何值时，框架的面积最大，最大面积为多少？
2x
(1)
定义域：
用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架，若矩形底部长为2x。
（1）求此框架围成的面积y与x的关系式，并求出其定义域；
（2）求当x为何值时，框架的面积最大，最大面积为多少？
2x
(2)
例3.求函数 在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1由于20,(x1-1)(x2-1)>0,于是
所以，函数 是区间[2,6]上的减函数.
因此,函数 在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4 .
有最值吗？如果有，试求出它.
函数y＝
(x∈[2，6])，
问题一、是否每个函数都有最大值和最小值？举例说明。
问题二、如果函数y=f(x)最大值是b,最小值是a，那么函数y=f(x)的值域是 [a,b]吗？
不是
不一定
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围是( )
A、a≥3 B、a≤3
C、a≥-3 D、a≤-3
D
2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域____________.
[21,39]
的最大值是 .
3. 函数y＝
, x ∈(-1+∞)
的值域是 .
, x∈[2，4]
4. 函数f(x)＝
[
4
[0，8]
（1）函数最大值或最小值就是函数图像上的最高点或最低点的纵坐标。
（2）利用函数的单调性求函数的最大值或最小值。
