人教版八年级数学第13章第3节
等腰三角形双基培优
培优练习
一、选择题(123=36分)
1.
如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于(
D
)
A．30°
B．40°
C．45°
D．36°
2.
下列能判定△ABC为等腰三角形的是(
B
)
A．∠A=30°，∠B=60°
B．∠A=50°，∠B=80°
C．∠A=2∠B=80°
D．AB=3，BC=6，周长为13
3.
等腰三角形的周长为13
cm，其中一边长为3
cm，则该等腰三角形的底边为(
B
)
A．7
cm
B．3
cm
C．7
cm或3
cm
D．8
cm
4.
如图所示，在锐角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE，那么下列结论错误的是(
D
)
A．∠1=∠2
B．∠1=∠3
C．∠B=∠C
D．∠3=∠B
5.
一个三角形具备下列条件仍不是等边三角形的是(
A
)
A．一个角的平分线是对边的中线或高线
B．两边相等，有一个内角是60°
C．两角相等，且两角的和是第三个角的2倍
D．三个内角都相等
6.
如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，
则∠AEB=(
B
)．
A．60°
B．75°
C．85°
D．15°
7.
如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为（
D
）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
8.
已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，则P1、O、P2三点构成的三角形是（
D
）
A.
直角三角形
B.
等角三角形
C.
等腰直角三角形
D.
等边三角形
9.
下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（
A
）
A.
①②③④
B.
①②④
C.
①③
D.
①②③
10.
如图，E是等边△ABC中AC边上点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是(
B)
A.
等腰三角形
B.
等边三角形
C.
不等边三角形
D.
不能确定形状
11.
若等腰三角形的顶角为，则它一腰上的高与底边的夹角等于(
A
)
A.
B.
C.
D.
12.
如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是(
D
)
A．PD=DQ
B．DE=AC
C．AE=CQ
D．PQ⊥AB
解：如图，过P作PF∥CQ交AC于F，
∴∠FPD=∠Q，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AFP=60°，
∴AP=PF，
∵PA=CQ，∴PF=CQ，
在△PFD与△DCQ中，
，
∴△PFD≌△QCD，
∴PD=DQ，DF=CD，
∴A选项正确．∵AE=EF，∴DE=AC，
∴B选项正确．∵PE⊥AC，∠A=60°，
∴AE=AP=CQ，∴C选项正确，故选D．
二、填空题(53=15分)
13.
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，点E、F分别是AD的三等分点，若△ABC的面积为28
m2，则图中阴影部分面积为___14____cm2．
．
14.
如图：△ABC周长为35cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=5cm，则△ABD的周长为
25cm
．
15.
如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B的度数是
20°
．
16.
等腰三角形有一个角为50°，则此等腰三角形底角为
50°或65°．
17.
如图，在△ABC中，∠ACB=3∠B，AB=10，AC=4，AD平分∠BAC，交BC于点D，CE⊥AD于E，则CE=_____3_____．
三、解答题(8+9+10+10+10+10+12)
18.
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长．（用含a，b的代数式表示）
解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB==72°，
∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，
∴∠B=∠CDB，∴CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形．
（2）∵AD=CD=CB=b，△BCD的周长是a，
∴AB=a-b，
∵AB=AC，∴AC=a-b，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=a-b+b+b=a+b．
19.
如图1，△ABC为等边三角形，D为BC上任一点，∠ADE=60°，边DE与∠ACB外角的平分线相交于点E．
（1）求证：AD=DE．
（2）若点D在CB的延长线上，如图2，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
解：（1）如图1，在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，BA=BC．
∴△BMD是等边三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．
∵CE是外角∠ACF的平分线，
∴∠ECF=60°，∠DCE=120°．
∴∠AMD=∠DCE．
∵∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠CDE+∠ADE=∠MAD+∠B，
∴∠CDE=∠MAD．
又∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD．
在△AMD和△DCE中，，
∴△AMD≌△DCE，
∴AD=DE．
（2）正确．
证明：如图2，延长CA到M，使AM=BD，
与（1）相同，可证△CDM是等边三角形，
∴∠CDM=∠M=60°，CD=DM，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADM=∠EDC，
在△AMD和△DCE中，，
∴△AMD≌△ECD，
∴AD=DE．
20.
已知：如图，点B，C，D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H，
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：CF＝CH；
（3）判断△CFH的形状并说明理由．
解：①证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD．
又BC=AC、CE=CD，
∴△BCE≌△ACD．
②∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=60°．
∴∠BCF=∠ACH．
又BC=AC，
∴△BCF≌△ACH．
∴CF=CH．
③∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形．
21.
如图，点是等边内一点，，．将△BOC绕点逆时针旋转得，连接．求证：是等边三角形；
当，，时，求的长；
探究：当为多少度时，是等腰三角形．
解：∵将绕点按顺时针方向旋转得，
∴，，
∴．
∴是等边三角形；
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，又，
∴，
∴为直角三角形．
又，，∴，
∴；
若是等腰三角形，
所以分三种情况：①②③，
∵，，
∴，
而，
由①可得，
求得；
由②可得
求得；
由③可得，
求得；
综上可知、或．
22.
如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有多少个？并说明理由.
解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
，
∴△PEM≌△PON．
∴PM=PN，∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
23.
在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD，CD，其中CD交直线AP与点E．
（1）如图1，若∠PAB＝30°，则∠ACE＝ 30° ；
（2）如图2，若60°＜∠PAB＜120°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．
解：（1）连接AD，如图1．
∵点D与点B关于直线AP对称，
∴AD＝AB，∠DAP＝∠BAP＝30°，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴AD＝AC，∠DAC＝120°，
∴2∠ACE+60°+60°＝180°，
∴∠ACE＝30°，
故答案为：30°；
（2）线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．
证明：连接AD，EB，如图2．
∵点D与点B关于直线AP对称，
∴AD＝AB，DE＝BE，
∴∠EDA＝∠EBA，
∵AB＝AC，AB＝AD，
∴AD＝AC，
∴∠ADE＝∠ACE，
∴∠ABE＝∠ACE．
设AC，BE交于点F，
又∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠BAC＝∠BEC＝60°，
∴线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．
24.
如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10＝2x，
解得：x＝10；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝10﹣2t，
解得，
∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，
y﹣10＝30﹣2y，
解得：．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒人教版八年级数学第13章第3节
等腰三角形双基培优
培优练习
一、选择题(123=36分)
1.
如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于(
)
A．30°
B．40°
C．45°
D．36°
2.
下列能判定△ABC为等腰三角形的是(
)
A．∠A=30°，∠B=60°
B．∠A=50°，∠B=80°
C．∠A=2∠B=80°
D．AB=3，BC=6，周长为13
3.
等腰三角形的周长为13
cm，其中一边长为3
cm，则该等腰三角形的底边为(
)
A．7
cm
B．3
cm
C．7
cm或3
cm
D．8
cm
4.
如图所示，在锐角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE，那么下列结论错误的是(
)
A．∠1=∠2
B．∠1=∠3
C．∠B=∠C
D．∠3=∠B
5.
一个三角形具备下列条件仍不是等边三角形的是(
)
A．一个角的平分线是对边的中线或高线
B．两边相等，有一个内角是60°
C．两角相等，且两角的和是第三个角的2倍
D．三个内角都相等
6.
如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，
则∠AEB=(
)．
A．60°
B．75°
C．85°
D．15°
7.
如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为（
）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
8.
已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，则P1、O、P2三点构成的三角形是（
）
A.
直角三角形
B.
等角三角形
C.
等腰直角三角形
D.
等边三角形
9.
下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（
）
A.
①②③④
B.
①②④
C.
①③
D.
①②③
10.
如图，E是等边△ABC中AC边上点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是(
)
A.
等腰三角形
B.
等边三角形
C.
不等边三角形
D.
不能确定形状
11.
若等腰三角形的顶角为，则它一腰上的高与底边的夹角等于(
)
A.
B.
C.
D.
12.
如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是(
)
A．PD=DQ
B．DE=AC
C．AE=CQ
D．PQ⊥AB
二、填空题(53=15分)
13.
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，点E、F分别是AD的三等分点，若△ABC的面积为28
m2，则图中阴影部分面积为___
___cm2．
．
14.
如图：△ABC周长为35cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=5cm，则△ABD的周长为
．
15.
如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B的度数是
．
16.
等腰三角形有一个角为50°，则此等腰三角形底角为
．
17.
如图，在△ABC中，∠ACB=3∠B，AB=10，AC=4，AD平分∠BAC，交BC于点D，CE⊥AD于E，则CE=_______．
三、解答题(8+9+10+10+10+10+12)
18.
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长．（用含a，b的代数式表示）
19.
如图1，△ABC为等边三角形，D为BC上任一点，∠ADE=60°，边DE与∠ACB外角的平分线相交于点E．
（1）求证：AD=DE．
（2）若点D在CB的延长线上，如图2，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
20.
已知：如图，点B，C，D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H，
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：CF＝CH；
（3）判断△CFH的形状并说明理由．
21.
如图，点是等边内一点，，．将△BOC绕点逆时针旋转得，连接．求证：是等边三角形；
当，，时，求的长；
探究：当为多少度时，是等腰三角形．
22.
如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有多少个？并说明理由.
23.
在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD，CD，其中CD交直线AP与点E．
（1）如图1，若∠PAB＝30°，求∠ACE的度数；
（2）如图2，若60°＜∠PAB＜120°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．
24.
如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
