(共20张PPT)
第三章
一元一次方程
3.4实际问题与一元一次方程
第4课时
学习目标
1．通过解决电话计费问题，体验建立方程模型解决问题的一般过程．
2．体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力．
预备知识
本图片资源介绍一元一次方程的应用题型-方案选择问题，适用于实际问题与一元一次方程的教学.若需使用，请插入【知识点解析】方案选择问题.
初步探究
问题1 下表给出的是两种移动电话的计费方式：
免费
0.19
350
88
方式二
免费
0.25
150
58
方式一
被叫
主叫超时费(元/分)
主叫限定时间(分)
月使用
费(元)
你了解表格中这些数字的含义吗？
问题2 你认为选择哪种计费方式更省钱呢？
“与主叫时间相关”
加超时费0.19元/分
基本费88元
加超时费0.25元/分
基本费58元
350
0
150
计费方式一
计费方式二
初步探究
深入探究
问题3 设一个月内用移动电话主叫为t
分(t是正整数)．根据前面的表格，当
t
在不同时间范围内取值，列表说明按方式一和方式二如何计费．
主叫时间t
/分
方式一计费/元
方式二计费/元
t
＜150
t
＝150
150＜t＜350
t
＝350
t
＞350
88＋0.19(t－350)
88
88
88
88
58
58
108
58＋0.25(t－150)
58＋0.25(t－150)
主叫时间t
/分
方式一计费/元
方式二计费/元
t
＜150
58
88
t
＝150
58
88
150＜t＜350
58＋0.25(t－150)
88
t
＝350
108
88
t
＞350
58＋0.25(t－150)
88＋0.19(t－350)
问题4 观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？
划算
划算
划算
深入探究
主叫时间t
/分
方式一计费/元
方式二计费/元
150＜t＜
350
58＋0.25(t－150)
88
依题意得：
58＋0.25(t－150)
＝
88
去括号得：
58＋0.25t－37.5
＝
88
移项、合并同类项得：
0.25t
＝
67.5
系数化1得：
t
＝270
∴当
t
＝270时，两种计费方式的费用相等，
那么当150
＜
t
＜
270分和270
＜
t
＜
350时，两种计费方式哪种更合算呢？
深入探究
主叫时间t
/分
方式一计费/元
方式二计费/元
t
＞350
58＋0.25(t－150)
88+0.19(t－350)
当t
＞350时，两种计费方式哪种更合算呢？
深入探究
问题5 综合以上的分析，可以发现：
时，选择方式一省钱；
时，选择方式二省钱．
0
计费方式一
计费方式二
270
t
＜270
t
＞270
深入探究
深入探究
此图片是动画缩略图，本动画资源根据两种不同的计费方式，通过探究确定选择计费的方式，是实际问题与一元一次方程的应用，适用于实际问题与一元一次方程的教学.若需使用，请插入【数学探究】电话计费问题.
课堂练习
利用我们在“电话计费问题”中学会的方法，探究下面的问题：
1.用A4纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过20时每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元．在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元．如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印的页数不为零）
复印页数x
誊印社复印费用/元
图书馆复印费用/元
x
＜20
0.12x
0.1x
x
＝20
0.12×20＝2.4
0.1×20＝2
x
＞20
2.4＋0.09(x－20)
0.1x
解：依题意列表得：
（1）当
x
小于20时，0.12
x大于0.1
x恒成立，图书馆价格便宜；
（2）当
x
等于20时，2.4大于2，图书馆价格便宜；
课堂练习
（3）当
x
大于20时，令2.4＋0.09(x－20)＝0.1x．
解得：x＝60
．
∴
当x大于20且小于60时，图书馆价格便宜；
当x等于60时，两个地点的价格一样；
当x大于60时，誊印社价格便宜.
综上所述：
当x小于60时，图书馆价格便宜；
当x等于60时，两个地点的价格一样；
当x大于60时，誊印社价格便宜.
课堂练习
2.某市出租车的起步价是7元（起步价是指不超过3
km行程的出租车价格），超过3
km行程后，其中除3
km的行程按起步价计费外，超过部分按每千米1.6元计费（不足1
km按1
km计算）．如果仅去程乘出租车而回程不乘坐此车，并且去程超过3
km，那么顾客还需付回程的空驶费，超过3
km部分按每千米0.8元计算空驶费（即超过部分实际按每千米2.4元计费）．如果往返都乘坐同一出租车并且中间等候时间不超过3
min，则不收空驶费而加收1.6元等候费．现设小文等4人从市中心A处到相距x
km（x小于12）的B处办事，在B处停留时间在3
min内，然后返回A处．现有两种往返方案：
方案一：去时4人乘同一辆出租车，返回都乘公交车（公交车车票为每人2元；方案二：4人乘同一辆出租车往返．
请问选择哪种方案更省钱？
课堂练习
距离x/km
方案一计费/元
方案二计费/元
x小于等于1.5
7＋2×4＝15
7＋1.6＝8.6
x大于1.5且小于等于3
7＋2×4＝15
7＋1.6（2x－3）＋1.6
x大于3且小于等于12
7＋2.4（x－3）＋2×4
7＋1.6（2x－3）＋1.6
课堂练习
对于方案一，路程的关键点是3
km，对于方案二，路程的关键点是1.5
km，故当A处与B处的距离x在不同范围内取值时，对应费用如下表：
（1）当x小于等于1.5时，因为15＞8.6，
所以选择方案二省钱．
（2）当x大于1.5且小于等于3时，
7＋1.6（2x－3）＋1.6≤7＋1.6×（2×3－3）＋1.6＝13.4＜15，所以方案二省钱．
课堂练习
课堂小结
请回顾电话计费问题的探究过程，并回答以下问题：
（1）电话计费问题的核心问题是什么？
（2）探究解题的过程大致包含哪几个步骤？
（3）我们在探究过程中用到了哪些方法，你有哪些收获？
课堂小结
本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了运用一元一次方程解决“电话计费问题”，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】运用一元一次方程解决“电话计费问题”.
再见第三章一元一次方程
3.4实际问题与一元一次方程
第4课时
一、教学目标
1.通过解决电话计费问题，体验建立方程模型解决问题的一般过程．
2.体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力．
二、教学重点和难点
重点：建立电话计费问题的方程模型．
难点：把生活中的实际问题抽象成数学问题．
三、教学用具
电脑、多媒体、课件.
四、相关资源
五、教学过程
（一）初步探究
问题1 下面表格给出的是两种移动电话的计费方式：
月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/（元/
min）
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
你了解表格中这些数的含义吗？
师生活动：教师提问，学生思考、回答．教师对回答的方向适当给予提示，如“月使用费的比较”、“超时费的比较”等，然后教师列举出一两个具体的主叫时间，让学生通过简单计算回答相应的费用．
小结：计费方式一：月使用费固定收58元，主叫不超150
min内不再收费，主叫超时部分加收0.25元/
min超时费，被叫免费．
计费方式二：月使用费固定收88元，主叫不超350
min内不再收费，主叫超时部分加收0.19元/
min超时费，被叫免费．
设计意图：通过提问和学生的回答，了解学生对表格信息的理解能力，引导学生对表格信息做初步梳理和简单加工；通过对几个容易计算的主叫时间的话费计算，检验学生是否理解表格信息的含义，并渗透“话费多少与主叫时间相关”．
问题2 你觉得选择哪种计费方式更省钱呢？
师生活动：教师提出问题，学生思考回答．根据学生的回答情况，教师适当加以引导：
若学生回答计费方式一或计费方式二省钱，可发动其他学生通过举例等方式加以质疑；
若学生的回答中出现分类讨论的趋势，则教师加以肯定并进一步引导学生对分类的关键点、分类后各区间中的变化趋势作进一步的探究．
讨论后安排学生再次思考，可适当讨论．
设计意图：学生对电话计费问题是有审核基础的，也具备一定的认识基础，在给出探究问题之后让学生充分的发言，表达自己对问题的直观认识，这也是学生对问题的第一次认识．在此基础上学生之间通过发表意见，互相借鉴，为对问题的进一步探究进行准备．
（二）深入探究
问题3 通过大家的讨论，你对电话计费问题有什么新的认识？
师生活动：教师提出问题，学生思考回答．根据学生的回答，教师适当加以归纳引导：
若学生还没有明确的分类，则引导学生思考“你可以确定哪一个时间区间内两种计费的比较结果”，从而引导学生进行分类；
若学生已经对问题进行了分类，则追问“你为什么这样分类”以及“在每一个时间区间内你是怎么分析的”，从而引导学生更合理地解决问题．
设计意图：学生在参考了其他同学的观点之后再次对问题进行认识，其认识过程与结论已经逐步接近正确而合理的方向，教师在此基础上加以引导和启发，帮助学生确定分类讨论的研究方式，并在总结学生发言的基础上归纳出“分类的关键点”，使学生的学习由“感性认识”逐步过渡到“理性分析”．
问题4 设一个月内用移动电话主叫为t
min（t是正整数）．当t在不同时间范围内取值时，列表说明按方式一和方式二如何计费．
师生活动：教师提出问题，学生思考并制作表格，教师巡视．
教师请学生填写下面的表格，其他同学适当补充．
主叫时间t/
min
方式一计费/元
方式二计费/元
t小于150
58
88
t＝150
58
88
t大于150且小于350
58＋0.25（t－150）
88
t＝350
58＋0.25×（350－150）＝108
88
t大于350
58＋0.25（t－150）
88＋0.19（t－350）
设计意图：引导学生列表，让学生体验使用表格整理信息的益处，并通过列表使学生进一步明确两种计费方式的变化规律，同时考察学生列代数式表示未知量的能力．
问题5 观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？
师生活动：教师提出问题，学生思考并小组讨论，教师选小组汇报讨论结果．一般学生能够对“t小于150”、“t＝150”、“t＝350”三种情况作出准确的判断，而对于“t大于150且小于350”的情况，教师应辅助学生加以分析．
教师追问：
（1）当“t大于150且小于350”时，是否存在某一主叫时间使两种方式的计费相等？为什么？
（2）利用方程求出使两种方式的计费相等的主叫时间，得出270
min这个时间点．
（3）当主叫时间“t大于150且小于270”或“t大于270且小于350”时，分别选择哪种计费方式比较省钱？
对于“t大于350”时两种计费方式的比较，教师可以更多地让学生去探究方法并表述，在此基础上加以适当的总结．
设计意图：这一问题是本节课的关键，学生通过分类讨论得到“方程模型”，并利用方程求出关键数据，这可以使学生认识到方程的重要性和应用价值，增强学生对模型的应用意识和应用能力．
问题6 综合以上的分析，可以发现：
________时，选择方式一省钱；
________时，选择方式二省钱．
师生活动：教师提出问题，学生思考并回答．
设计意图：在得出方程模型的结论之后，引导学生利用结论解释实际问题，从而完成建模解题的完整过程．
（三）练习巩固
1.利用我们在“电话计费问题”中学会的方法，探究下面的问题．
用A4纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过20时每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元．在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元．如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？
师生活动：教师提出问题，学生思考、解答，小组讨论，选学生回答，教师点评．
解：依题意列表得：
复印页数x
誊印社复印费用/元
图书馆复印费用/元
x小于20
0.12x
0.1x
x＝20
0.12×20＝2.4
0.1×20＝2
x大于20
2.4＋0.09（x－20）
0.1x
（1）当x小于20时，0.12x大于0.1x恒成立，图书馆价格便宜；
（2）当x等于20时，2.4大于2，图书馆价格便宜；
（3）当x大于20时，
令2.4＋0.09（x－20）＝0.1x，
解得：x＝60．
∴
当x大于20且小于60时，图书馆价格便宜；
当x等于60时，两个地点的价格一样；
当x大于60时，誊印社价格便宜．
综上所述：当x小于60时，图书馆价格便宜；
当x等于60时，两个地点的价格一样；
当x大于60时，誊印社价格便宜．
设计意图：在完成了“电话计费问题”的探究之后，通过类似问题使学生刚刚获取的经验得到巩固和深化，进一步熟悉解决问题的方法与过程，从而提高分析和解决问题的能力．
2.某市出租车的起步价是7元（起步价是指不超过3
km行程的出租车价格），超过3
km行程后，其中除3
km的行程按起步价计费外，超过部分按每千米1.6元计费（不足1
km按1
km计算）．如果仅去程乘出租车而回程不乘坐此车，并且去程超过3
km，那么顾客还需付回程的空驶费，超过3
km部分按每千米0.8元计算空驶费（即超过部分实际按每千米2.4元计费）．如果往返都乘坐同一出租车并且中间等候时间不超过3
min，则不收空驶费而加收1.6元等候费．现设小文等4人从市中心A处到相距x
km（x小于12）的B处办事，在B处停留时间在3
min内，然后返回A处．现有两种往返方案：
方案一：去时4人乘同一辆出租车，返回都乘公交车（公交车车票为每人2元）；
方案二：4人乘同一辆出租车往返．
请问选择哪种方案更省钱？
解：对于方案一，路程的关键点是3
km，对于方案二，路程的关键点是1.5
km，故当A处与B处的距离x在不同范围内取值时，对应费用如下表：
距离x/km
方案一计费/元
方案二计费/元
x小于等于1.5
7＋2×4＝15
7＋1.6＝8.6
x大于1.5且小于等于3
7＋2×4＝15
7＋1.6（2x－3）＋1.6
x大于3且小于等于12
7＋2.4（x－3）＋2×4
7＋1.6（2x－3）＋1.6
（1）当x小于等于1.5时，因为15＞8.6，所以选择方案二省钱．
（2）当x大于1.5且小于等于3时，7＋1.6（2x－3）＋1.6≤7＋1.6×（2×3－3）＋1.6＝13.4＜15，所以方案二省钱．
（3）由（2）可知，当x＝3时，方案二省钱．当x＝12时，方案一的费用是7＋2.4×（12－3）＋2×4＝36.6（元），方案二的费用是7＋1.6×（2×12－3）＋1.6＝42.2（元），所以方案一省钱．所以在x大于3且小于等于12这一范围内，可能存在使两种方案费用相等的x值．令7＋2.4（x－3）＋2×4＝7＋1.6（2x－3）＋1.6，解得x＝4．所以，当x大于3且小于4时，方案二省钱；当x＝4时，两种方案费用相同；当x大于4且小于12时，方案一省钱．
综上分析，当x小于4时，方案二省钱；当x＝4时，两种方案费用相同；当x大于4且小于12时，方案一省钱．
设计意图：检测学生对信息的阅读理解能力以及利用模型和分类思想解决综合性问题的能力．
六、课堂小结
请学生回顾电话计费问题的探究过程，回答以下问题：
（1）探究解题的过程大致包含哪几个步骤？
（2）电话计费问题的核心问题是什么？
（3）在探究过程中用到了哪些方法，你有什么收获？
设计意图：在总结了本节课的知识性问题之后，继续引导学生总结本节课的过程与方法，使学生原来模糊的意识、零散的经验得以梳理，从而初步掌握探究同类问题的一般思路．
七、板书设计
实际问题与一元一次方程（4）
分类讨论得到“方程模型”，并利用方程求出关键数据，
5
