中小学教育资源及组卷应用平台
第二单元
一元二次方程
（基础卷）（北师大版）
考试时间：120分钟
满分：100分
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（2020·安徽省初二期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣x（x+3）＝0
B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣2x﹣3＝0
D．x2﹣2y﹣1＝0
2．（2019·河北省初三期中）方程4x2=5x+2化为一般形式后的二次项、一次项、常数项分别是（
）
A．4x2,
5x,
2
B．-4x2,
-5x,
-2
C．4x
2
,
-5x，
-2
D．4x2,
-5x,
2
3．（2020·河南省中考真题）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
4．（2020·浙江省中考真题）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2=461
B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442
D．368（1+x）2=442
5．（2020·全国初三专题练习）关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为（
）．
A．1或－4
B．1
C．－4
D．－1或4
6．（2020·全国初三课时练习）小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（ ）
A．x2﹣3x+6=0
B．x2﹣3x﹣6=0
C．x2+3x﹣6=0
D．x2+3x+6=0
7、根据下列表格对应值：
3.24
3.25
3.26
-0.02
0.01
0.03
判断关于的方程的一个解的范围是（
）
A.＜3.24
B.3.24＜＜3.25
C.3.25＜＜3.26
D.3.25＜＜3.28
8、在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（ ）
A．x（x+1）=253
B．x（x﹣1）=253
C.
D.
9．（2020·安徽省初二期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b=，关于x的方程（2x+1）★（2x-3）=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（
）
A．t＜
B．t＞
C．t＜
D．t＞
10、已知是方程的一个根，则的值为
A．
B．
C．－1
D．1
11．（2020·湖北省中考真题）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（
）
A．
B．
C．或1
D．或4
12．（2020·内蒙古自治区初三三模）等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（ ）
A．8
B．9
C．8或9
D．12
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（2020·平定县东关初级中学校初三月考）准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为_____米．
14、若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为
.
15．（2020·湖北省中考真题）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为
。
16．（2019·湖北省初三期中）若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是______．
17．（2019·全国初三单元测试）设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|=6，那么实数m的取值是_____．
18．（2019·江苏省初三期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根都是整数，则整数的值是______．
三、解答题（共46分）
19、（6分）按要求解方程（第3小题选择合适方法解方程）：
（1）（公式法）；（2）（配方法）；（3）x2＋3x＋2＝0；
20．（2019·安徽省蚌埠市第十三中学初二期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）；
（3）如果此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，求k的值．
21、某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?
22．（2019·广东省初三期中）阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2＝；x1?x2＝．
应用：（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝
，x1?x2＝
．
（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值．
23．（2020·重庆南开（融侨）中学校初三期末）一段路的“拥堵延时指数”计算公式为：拥堵延时指数=，指数越大，道路越堵。高德大数据显示第二季度重庆拥堵延时指数首次排全国榜首。为此，交管部门在A、B两拥堵路段进行调研：A路段平峰时汽车通行平均时速为45千米/时，B路段平峰时汽车通行平均时速为50千米/时，平峰时A路段通行时间是B路段通行时间的倍，且A路段比B路段长1千米．
（1）分别求平峰时A、B两路段的通行时间；
（2）第二季度大数据显示：在高峰时，A路段的拥堵延时指数为2，每分钟有150辆汽车进入该路段；B路段的拥堵延时指数为1.8，每分钟有125辆汽车进入该路段。第三季度，交管部门采用了智能红绿灯和潮汐车道的方式整治，拥堵状况有明显改善，在高峰时，A路段拥堵延时指数下降了a%，每分钟进入该路段的车辆增加了；B路段拥堵延时指数下降，每分钟进入该路段的车辆增加了a辆。这样，整治后每分钟分别进入两路段的车辆通过这两路段所用时间总和，比整治前每分钟分别进入这两段路的车辆通过这两路段所用时间总和多小时，求a的值．
24．（2019·长沙市南雅中学初二月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为，则另一根为，因此，所有有，我们记“”即，方程为倍根方程，下面我们根据此结论来解决问题：
（1）方程①，方程②这两个方程中，是被根方程的是_____________（填序号即可）；
（2）若是倍根方程，求的值；
（3）若关于的一元二次方程是倍根方程，且在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式。
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二单元
一元二次方程
（基础卷）（北师大版）
考试时间：120分钟
满分：100分
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（2020·安徽省初二期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣x（x+3）＝0
B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣2x﹣3＝0
D．x2﹣2y﹣1＝0
【答案】C
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解析】A、x2﹣x（x+3）＝0，化简后为﹣3x＝0，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
C、x2﹣2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；
D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．（2019·河北省初三期中）方程4x2=5x+2化为一般形式后的二次项、一次项、常数项分别是（
）
A．4x2,
5x,
2
B．-4x2,
-5x,
-2
C．4x
2
,
-5x，
-2
D．4x2,
-5x,
2
【答案】C
【解析】∵4x?=5x+2，∴4x??5x?2=0，∴化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是4x?，?5x，?2，故选C.
3．（2020·河南省中考真题）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
【解析】解：根据定义得：
＞
原方程有两个不相等的实数根，故选
【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2020·浙江省中考真题）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2=461
B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442
D．368（1+x）2=442
【答案】B
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程．
【解析】从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，
根据题意可得方程：180（1+x）2=461，故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．
5．（2020·全国初三专题练习）关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为（
）．
A．1或－4
B．1
C．－4
D．－1或4
【答案】C
【解析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义可得：
（1）∵x=0是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得a2+3a-4=0，解此方程得到a1=-4，a2=1；
（2）∵原方程是一元二次方程，∴二次项系数a-1≠0，即a≠1；
综合上述两个条件，a=-4，故选：C．
点睛：本题逆用一元二次方程解的定义易得出a的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件a-1≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
6．（2020·全国初三课时练习）小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（ ）
A．x2﹣3x+6=0
B．x2﹣3x﹣6=0
C．x2+3x﹣6=0
D．x2+3x+6=0
【答案】B
【解析】试题分析：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，可得：α?β=﹣6，α+β=﹣3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，故选B．
7、根据下列表格对应值：
3.24
3.25
3.26
-0.02
0.01
0.03
判断关于的方程的一个解的范围是（
）
A.＜3.24
B.3.24＜＜3.25
C.3.25＜＜3.26
D.3.25＜＜3.28
【答案】B
【解析】当3.24＜＜3.25时，的值由负连续变化到正，
说明在3.24＜＜3.25范围内一定有一个的值，使，
即是方程的一个解.故选B.
【考点】利用夹逼法求近似解
8、在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（ ）
A．x（x+1）=253
B．x（x﹣1）=253
C.
D.
【答案】D
【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，
所以等量关系为：×学生数×（学生数﹣1）=总握手次数，把相关数值代入即可求解
【解析】参加此会的学生为x名，每个学生都要握手（x﹣1）次，
∴可列方程为x（x﹣1）=253，故选：D．
【点评】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．
9．（2020·安徽省初二期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b=，关于x的方程（2x+1）★（2x-3）=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（
）
A．t＜
B．t＞
C．t＜
D．t＞
【答案】D
【分析】分两种情况：①当2x+1≤2x-3成立时；②当2x+1＞2x-3成立时；进行讨论即可求解．
【解析】解：①当2x+1≤2x-3成立时，即1≤-3，矛盾；所以a≤b时不成立；
②当2x+1＞2x-3成立时，即1＞-3，所以a＞b时成立；
则（2x-3）2-（2x+1）=t，化简得：4x2-14x+8-t=0，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，
△=142-4×4×（8-t）＞0；解得：t＞．故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算．
10、已知是方程的一个根，则的值为
A．
B．
C．－1
D．1
【答案】D
【解析】∵，
又∵是方程的一个根，∴，即。
∴。故选D。
【考点】方程根的定义，分式化简，代数式代换。
11．（2020·湖北省中考真题）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（
）
A．
B．
C．或1
D．或4
【答案】A
【分析】通过根与系数之间的关系得到，，
由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值．
【解析】解：∵方程有两个实数根，，
∴，，
∵，∴，
整理得，，解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，所以，故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．
12．（2020·内蒙古自治区初三三模）等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（ ）
A．8
B．9
C．8或9
D．12
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
【解析】解：①当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2?6x＋k＝0的有两个相等实数根，
∴△＝36?4k＝0，∴k＝9，此时两腰长为3，
∵2＋3＞3，∴k＝9满足题意，
②当等腰三角形的腰长为2时，
此时x＝2是方程x2?6x＋k＝0的其中一根，代入得4?12＋k＝0，
∴k＝8，∴x2?6x＋8＝0
求出另外一根为：x＝4，
∵2＋2＝4，∴不能组成三角形，
综上所述，k＝9，故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（2020·平定县东关初级中学校初三月考）准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为_____米．
【答案】1.25
【分析】设小路的宽度为，根据图形所示，用表示出小路的面积，由小路面积为80平方米，求出未知数.
【解析】设小路的宽度为，由题意和图示可知，小路的面积为
，解一元二次方程，由，可得.
【点睛】本题综合考查一元二次方程的列法和求解，这类实际应用的题目，关键是要结合题意和图示，列对方程.
14、若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为
.
【答案】k≥且k≠2
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，
∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，
∴，解得：k≥且k≠2．
故答案为：k≥且k≠2．
【考点】一元二次方程的定义以及根的判别式
15．（2020·湖北省中考真题）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为
。
【答案】
【分析】先求得，代入即可得出答案．
【解析】∵，∴，，
∴=====，
∵，且，∴，
∴原式=，故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．
16．（2019·湖北省初三期中）若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是______．
【答案】5
【解析】设方程x2+kx+6=0的两根分别为a、b，则由方程x2﹣kx+6=0的两根分别为a+5，b+5，
根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，得a+b=﹣k，a+5+b+5=k，
所以10﹣k=k，解得k=5．故答案为5．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题时灵活运用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=-，x1?x2=，然后整体代入即可.
17．（2019·全国初三单元测试）设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|=6，那么实数m的取值是_____．
【答案】9.
【分析】由韦达定理得出α+β=2，αβ=1﹣m，将|α|+|β|=6左右两边同时平方，利用完全平方公式对方程进行转化，
转化为关于α+β、αβ的形式，分类讨论，解出m的值即可.
【解析】由韦达定理可得α+β=2，αβ=1﹣m，∵|α|+|β|=6，∴（|α|+|β|）2=36，
即（|α|）2+（|β|）2+2|α|·|β|=36，α2+β2+2|α·β|=36，（α+β）2﹣2α·β+2|α·β|=36，
4﹣2（1﹣m）+2|1﹣m
|=36，
当1﹣m≥0时，方程无解；当1﹣m＜0时，方程的解为m=9.故答案为9.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记常见的转换公式是解题的关键．
18．（2019·江苏省初三期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根都是整数，则整数的值是______．
【答案】±1，±2
【分析】先利用因式分解法解方程得出含的根，再根据根是整数求出的值即可.
【解析】把原方程利用因式分解法分解因式可得：，
∴或解得：或
∵的两个实数根都是整数且，∴为.故填：.
【点睛】本题主要考察因式分解法解一元二次方程，熟练掌握十字交叉法进行因式分解是关键.
三、解答题（共46分）
19、（6分）按要求解方程（第3小题选择合适方法解方程）：
（1）（公式法）；（2）（配方法）；（3）x2＋3x＋2＝0；
（1）【分析】利用－元二次方程求根公式，直接得出结果。
解:
（2）【分析】利用－元二次方程求解方法，将原方程转化为完全平方的形式，利用配方法解答。
解：移项，得．配方，得，即
由此可得
∴，
(3)
【分析】利用－元二次方程求解方法，解答。
x2＋3x＋2＝0，（x+1）（x+2）=0，即x+1=0或x+2=0，∴x1=-1，x2=-2；
【考点】解－元二次方程。
20．（2019·安徽省蚌埠市第十三中学初二期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）；
（3）如果此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，求k的值．
【答案】(1)见解析;(2);(3)k=3.
【分析】（1）一元二次方程有两个实数根需要满足的条件可证明
（2）由求根公式可求出
（3）刚好是一个等边三角形的边长，说明两个实数根相等．
【解析】解：（1）依题意，得
.∵，
∴此方程总有两个实数根.
（2）由求根公式，得.∴
（3）∵此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，
∴k-1=2.∴k=3.
【点睛】熟练掌握一元二次方程的求根公式及满足一元二次方程有两个实数根的条件是解决本题的关键
21、（8分）某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?
【分析】总利润?每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价元，则每件平均利润应是（0.3?）元，总件数应是（500+×100）.
【解析】设每张贺年卡应降价元.
则根据题意得：（0.3?）（500+）?120，整理，得：，
解得:（不合题意，舍去）.∴.
答：每张贺年卡应降价0.1元．
【考点】一元二次方程的应用题
22．（2019·广东省初三期中）阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2＝；x1?x2＝．
应用：（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝
，x1?x2＝
．
（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值．
【答案】（1）2，1；（2）m≥﹣；（3）m的值为﹣
【分析】（1）根据韦达定理求解；（2）根据求解；（3）x1＝x2或x1＝﹣x2．
【解析】（1）x1+x2＝2，x1?x2＝1；故答案为2，1；
（2）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个实数根x1、x2，
∴△＝4（m+1）2﹣4m2≥0，解得m≥﹣；
（3）∵|x1|＝x2，∴x1＝x2或x1＝﹣x2，
当x1＝x2，则△＝0，所以m＝﹣，
当x1＝﹣x2，即x1+x2＝2（m+1）＝0，解得m＝﹣1，
而m≥﹣，∴m＝﹣1舍去．∴m的值为﹣．
23．（2020·重庆南开（融侨）中学校初三期末）一段路的“拥堵延时指数”计算公式为：拥堵延时指数=，指数越大，道路越堵。高德大数据显示第二季度重庆拥堵延时指数首次排全国榜首。为此，交管部门在A、B两拥堵路段进行调研：A路段平峰时汽车通行平均时速为45千米/时，B路段平峰时汽车通行平均时速为50千米/时，平峰时A路段通行时间是B路段通行时间的倍，且A路段比B路段长1千米．
（1）分别求平峰时A、B两路段的通行时间；
（2）第二季度大数据显示：在高峰时，A路段的拥堵延时指数为2，每分钟有150辆汽车进入该路段；B路段的拥堵延时指数为1.8，每分钟有125辆汽车进入该路段。第三季度，交管部门采用了智能红绿灯和潮汐车道的方式整治，拥堵状况有明显改善，在高峰时，A路段拥堵延时指数下降了a%，每分钟进入该路段的车辆增加了；B路段拥堵延时指数下降，每分钟进入该路段的车辆增加了a辆。这样，整治后每分钟分别进入两路段的车辆通过这两路段所用时间总和，比整治前每分钟分别进入这两段路的车辆通过这两路段所用时间总和多小时，求a的值．
【答案】（1）平峰时A路段的通行时间是小时，平峰时B路段的通行时间是小时；（2）的值是15．
【分析】（1）根据题意，设平峰时B路段通行时间为小时，则平峰时A路段通行时间是，列出方程，解方程即可得到答案；
（2）根据题意，先求出整治前A、B路段的时间总和，然后利用含a的代数式求出整治后A、B路段的时间总和，再列出方程，求出a的值．
【解析】解：（1）设平峰时B路段通行时间为小时，则平峰时A路段通行时间是，则
，解得：，∴（小时）；
∴平峰时A路段的通行时间是小时，平峰时B路段的通行时间是小时；
（2）根据题意，整治前有：
高峰时，通过A路段的总时间为：（分钟），
高峰时，通过B路段的总时间为：（分钟）；
整治前的时间总和为：（分钟）；
整治后有：通过A路段的总时间为：
；
通过B路段的总时间为：；
∴整治后的时间总和为：
；
∴，
整理得：，解得：或（舍去）；
∴的值是15．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确列出方程进行解题．注意寻找题目的等量关系进行列方程．
24．（2019·长沙市南雅中学初二月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为，则另一根为，因此，所有有，我们记“”即，方程为倍根方程，下面我们根据此结论来解决问题：
（1）方程①，方程②这两个方程中，是被根方程的是_____________（填序号即可）；
（2）若是倍根方程，求的值；
（3）若关于的一元二次方程是倍根方程，且在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式。
【答案】（1）②；（2），（3）.
【分析】（1）根据“倍根方程”的定义，找出方程①、②中的值，由此即可得出结论；
（2）将方程整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出，整理后即可得出的值；
（3）根据方程是倍根方程即可得出、之间的关系，再由一次函数图象上点的坐标特征即可得出、之间的关系，进而即可求出、的值，此题得解．
【解析】解：（1）在方程①中，；
在方程②中，．
是倍根方程的是②．故答案为：②．
（2）整理得：，
是倍根方程，，
．
（3）是倍根方程，，
整理得：．
在一次函数的图象上，，
，，此方程的表达式为．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握“倍根方程”的定义是解题的关键．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
