中小学教育资源及组卷应用平台
22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质（重点练)
1．下列说法错误的是(
)
A．二次函数y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0
B．二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大
C．在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的图象开口最大，y=－x2的图象开口最小
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
【答案】C
【解析】【分析】
根据二次项系数的符号，决定了抛物线的开口方向，最大（小）值，其绝对值的大小，决定了抛物线的开口大小对选项逐一判断即可．
【详解】
A、a=-2＜0，抛物线开口向下，当x=0时，y有最大值是0，故该选项正确；
B、二次函数y=4x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故该选正确；
C、因为|2|＞|-1|＞|-0.5|，所以，y=2x2的图象开口最小，y=-0.5x2的图象开口最大，故该选错误；
D、不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点，故该选正确．
故选C．
【点评】本题考查了抛物线y=ax2的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与a有关；③对称轴是y轴；④顶点（0，0）．
2．下列说法中错误的是（ ）
A．在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0
B．在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
C．抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点
【答案】C
【解析】由函数的解析式y＝－x2，可知a=-1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，故A正确；
由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故B正确；
根据二次函数的性质，可知系数a决定开口方向和开口大小，且a的值越大开口越小，可知抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而开口最大，故不正确；
不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，正确.
故选C.
【点评】此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是明确y=ax2的图像的特点，直接按断即可.
3．在二次函数①y＝3x2；②中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为(
)
A．①＞②＞③
B．①＞③＞②
C．②＞③＞①
D．②＞①＞③
【答案】C
【解析】根据二次函数的性质，可知系数a决定开口方向和开口大小，且a的值越大开口越小，因此可知②＞③＞①.
故选：C.
4．若对任意实数x，二次函数y=(a+1)x2的值总是非负数，则a的取值范围是（）
A．a≥－1
B．a≤－1
C．a>－1
D．a<－1
【答案】C
【解析】∵若对任意实数x，二次函数y=(a+1)x2的值总是非负数，
∴其图象开口应该向上，
∴a+1>0，解得a>-1.
故选C.
5．二次函数y=-6x2，当x1＞x2＞0时，y1与y2的大小关系为____.
【答案】y1＜y2
【解析】试题分析：由函数的解析式可知a=-6，函数的开口线下，在x＞0时，y随x增大而减小，因此可知当x1＞x2＞0时，y1＜y2.
故答案为
y1＜y2
6．已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的是_____(填序号).
①m②m>0，n<0
③m<0，n>0
④m>n>0
【答案】②④
【解析】∵x2一定不小于0，则由条件“对应任意给定的x的值，都有y甲
y乙”可知：存在以下3种情况：
（1）若y甲和y乙都为正数，则m＞0，n＞0且m＞n，即m>n>0；
（2）若y甲为正数，y乙为负数，则m＞0，n＜0；
（3）若都为负数时，则n＜m＜0；
∴关于m，n的关系正确的是②
、④
．
7．若函数y＝3x2的图象与直线y=kx＋3的交点为(2，b)，则k=_____，b＝______.
【答案】,
12
【解析】根据题意，把交点坐标（2，b）代入y＝3x2可得b=3×4=12，即交点为（2，12），代入y=kx+3可得k=.
故答案为：，12.
8．若抛物线y=ax2经过点A
(，－9)，则其解析式为_______________。
【答案】y=-3x2
【解析】把点A代入：得，，解得：，
∴该抛物线的解析式为：.
9．二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1，m).
(1)求a、m的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大？
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴.
【答案】(1)
a=1，m=1；(2)二次函数的表达式：y=x2，当x>0时，y随x的增大而增大；(3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴.
【解析】试题分析：（1）利用待定系数发先求出m的值，然后再代入求出a的值；
（2）根据函数的解析式和图像的性质直接可写出；
（3）根据函数的图形与性质求出顶点和对称轴即可.
试题解析：(1)将(1，m)代入y=2x-1,得m=2×1-1=1.所以Ｐ点坐标为(1，1).
将P点坐标(1，1)代入ｙ=ax2，得1=a×12，
得a=1.
即a=1,m=1.
(2)二次函数的表达式：y=x2，
当x>0时，y随x的增大而增大.
(3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴.
10．在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？
【答案】见解析
【解析】试题分析：观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上，对称轴也都是y轴，顶点坐标分别是(0,0),（0，-1）；根据二次函数的性质及图像知道抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2形状相同，对称轴相同，但是位置不同，开口方向也相同，所以可以得到抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到的。
解：如图所示：
(1)抛物线y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；
抛物线y＝x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)．
(2)抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到．
11．抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点(1，b)．
(1)求a，b的值．
(2)抛物线y＝ax2的图象上是否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
a＝－1,
b＝－1;
(2)
存在,理由见解析.．
【解析】分析：(1)将点(1，b)代入到直线y
=
2x－3，可以得出b
=
-1，再将(1，-1)代入到抛物线求出a、b;(2)P(m，n)点到两坐标轴距离相等，即|m|
=
|n|，也即
m?=
n?两点相交，即相交点符合两个函数方程，可以得出二次函数，并且要把握住P(m，n)点到两坐标轴距离相等，即|m|
=
|n|，也即
m?
=
n?
，然后在n
=
?m?－
m?
中把
m?
换为
n?
，求出n的值，最后得到m的值，即可得到P的坐标.
本题解析：
(1)∵直线y＝2x－3过点(1，b)，
∴b＝2×1－3＝－1，∴交点坐标为(1，－1)．
∵抛物线y＝ax2过点(1，－1)，
∴－1＝a×12，∴a＝－1.
(2)若存在点P，设点P的坐标为(x，y)，
则|x|＝|y|.
∵a＝－1，∴y＝－x2，
∴x2＝|x|，∴x＝0或x＝±1，
∴点P的坐标为(0，0)或(1，－1)或(－1，－1).
【点评】本题是对抛物线知识的考查,掌握抛物线的图像、性质是解决本题的关键.确定二次函数解析式时,要根据所给条件选择恰当的表达式.一般地,已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式;当已知顶点坐标时,通常设函数解析式为顶点式;当已知抛物线与x轴有两个交点时,通常设函数解析式为交点式.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质（重点练)
1．下列说法错误的是(
)
A．二次函数y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0
B．二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大
C．在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的图象开口最大，y=－x2的图象开口最小
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
2．下列说法中错误的是（ ）
A．在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0
B．在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
C．抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点
3．在二次函数①y＝3x2；②中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为(
)
A．①＞②＞③
B．①＞③＞②
C．②＞③＞①
D．②＞①＞③
4．若对任意实数x，二次函数y=(a+1)x2的值总是非负数，则a的取值范围是（）
A．a≥－1
B．a≤－1
C．a>－1
D．a<－1
5．二次函数y=-6x2，当x1＞x2＞0时，y1与y2的大小关系为____.
6．已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的是_____(填序号).
①m②m>0，n<0
③m<0，n>0
④m>n>0
7．若函数y＝3x2的图象与直线y=kx＋3的交点为(2，b)，则k=_____，b＝______.
8．若抛物线y=ax2经过点A
(，－9)，则其解析式为_______________。
9．二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1，m).
(1)求a、m的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大？
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴.
10．在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？
11．抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点(1，b)．
(1)求a，b的值．
(2)抛物线y＝ax2的图象上是否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
