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22.1.3二次函数y=a(x-h)2
+k（重点练)
1．不论m取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都(
)
A．在y=x直线上
B．在直线y=－x上
C．在x轴上
D．在y轴上
【答案】B
【解析】【分析】
直接利用配方法可求顶点坐标为（-m，m），即可判断顶点所在直线．
【详解】
∵抛物线的解析式为y=a(x+m)2+m(a≠0)，
∴顶点坐标为（-m，m），
∴顶点在直线y=-x上．
故选B.
【点评】本题主要考查了二次函数求抛物线的顶点坐标的方法．熟练掌握二次函数解析式顶点式：y=a（x-h）2+k的表达形式是解题关键.
2．若所求的二次函数图象与抛物线有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【分析】
先求解的顶点，则所求二次函数的顶点可知；再由增减性可判断所求二次函数的开口方向，由顶点和开口方向可进行判断.
【详解】
由二次函数顶点公式求解顶点：
，，
则顶点坐标为（1，-3），
令所求函数为y=a(x-1)2-3，由题意可知a＜0，
展开所求函数得：
故选择D.
【点评】熟练运用二次函数顶点公式、理解函数增减性与开口方向的关系是解答本题的关键.
3．若二次函数配方后为，则m，k的值分别为
A．0，6
B．0，2
C．4，6
D．4，2
【答案】D
【解析】∵，
，
∴，
∴-4=-m，4+k=6，
∴m=4，k=2．
故选D．
4．已知y=ax2+k的图象上有三点A(-3,y1)，B(1，y2)，C(2，y3),且y2)
A．a>0
B．a<0
C．a≥0
D．a≤0
【答案】A
【解析】∵点A（-3，y1），B（1，y2），C（2，y3）在抛物线y=ax2+k上，
∴y1=a?（-3）2+k=9a+k，y2=a?12+k=a+k，y3=a?22+k=4a+k，
∵y2＜y3＜y1，
∴a+k＜4a+k＜9a+k，
∴a＞0．
故选A．
5．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致为()
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】选项A，由图象可知二次函数开口向下，可得a＜0，对称轴在y轴的右侧，可得c＜0；一次函数经过一、二、三象限，可得a＞0，c＞0，所以A选项错误；选项B，由图象可知二次函数开口向下，可得a＜0，对称轴在y轴的左侧，可得c＞0；一次函数经过一、二、四象限，可得a＞0，c＞0，所以B选项正确；选项C，由图象可知二次函数开口向上，可得a＞0，对称轴在y轴的左侧，可得c＞0；一次函数经过一、三、四象限，可得a＞0，c＜0，所以C选项错误；选项C，由图象可知二次函数开口向上，可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，可得c＜0；一次函数经过一、二、四象限，可得a＞0，c＞0，所以D选项错误；故选B.
【点评】本题考查了二次函数及一次函数的图象的性质，所用到的知识点：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
6．若一个函数图象的对称轴是y轴，则该函数称为偶函数．那么在下列四个函数：
①y=2x；②y=；③y=x2；④y=（x﹣1）2+2中，属于偶函数的是______（只填序号）．
【答案】③
【解析】①y=2x，是正比例函数，函数图象的对称轴不是y轴，错误；
②y=是反比例函数，函数图象的对称轴不是y轴，错误；
③y=x2是抛物线，对称轴是y轴，是偶函数，正确；
④y=（x﹣1）2+2对称轴是x=1，错误．
故答案为③．
7．若函数是二次函数，则m＝______．
【答案】－1
【解析】解：由二次函数的定义可知：，解得：m=-1．故答案为：-1．
【点评】本题考查二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏．
8．将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为______；
将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为______．
【答案】y=2（x+1）2+1
y=2（x﹣1）2﹣1
【解析】（1）∵将抛物线绕其顶点旋转180°后新的抛物线的顶点和对称轴都和原抛物线相同，只有开口方向变了，
∴将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为：；
（2）∵抛物线绕原点旋转180°后，新抛物线的顶点的坐标和原抛物线的顶点坐标关于原点对称，新抛物线对称轴和原抛物线的对称轴关于y轴对称，开口方向和原来开口方向相反，
∴将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到的新抛物线的解析式为：.
【点评】（1）抛物线关于其顶点对称的抛物线的解析式为：；
（2）抛物线关于原点对称的抛物线的解析式：.
9．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为
.
【答案】18。
【解析】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为x=3。
∵A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一
点，且AB∥x轴。
∴A，B关于x=3对称。∴AB=6。
又∵△ABC是等边三角形，∴以AB为边的等边三角形ABC的周长为6×3=18。
10．已知二次函数y＝(x－2a)2＋(a－1)(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝－1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是____________________．
【答案】y=0.5x-1
【解析】【分析】
已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的关系式．
【详解】
解：由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a-1），
设x=2a①，y=a-1②，
①-②×2，消去a得，x-2y=2，
即y=x-1．
故答案填y=x-1．
【点评】本题考查了根据顶点式求顶点坐标的方法，消元的思想．
11．已知二次函数y=﹣(x+1)2+2．
（1）填空：此函数图象的顶点坐标是
；
（2）当x
时，函数y的值随x的增大而减小；
（3）设此函数图象与x轴的交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC及BC，试求△ABC的面积．
【答案】（1）（﹣1，2）；（2）x＞﹣1（或x≥﹣1）；（3）3.
【解析】【分析】
（1）根据二次函数顶点式的形式解答即可；（2）根据二次函数的性质，图像的开口方向及对称轴解答即可；（3）先求出A、B、C三点坐标，再求出AB的距离，即可求出△ABC的面积；
【详解】
（1）二次函数y=﹣
+2的顶点坐标是（﹣1，2）．
故答案是：（﹣1，2）；
（2）因为二次函数y=﹣+2的开口方向向下，且对称轴是直线x=﹣1，
所以当x＞﹣1（或x≥﹣1）时，函数y的值随x的增大而减小．
故答案是：x＞﹣1（或x≥﹣1）；
（3）令x=0时，易求：
y=，
∴点C的坐标为（0，）即：OC=
令y=0时，易求：x1=1，x2=﹣3
易求：AB=4．
∴=3．
【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、函数的增减性是解题关键.
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22.1.3二次函数y=a(x-h)2
K（重点练)
1．不论m取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都(
)
A．在y=x直线上
B．在直线y=－x上
C．在x轴上
D．在y轴上
2．若所求的二次函数图象与抛物线有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
3．若二次函数配方后为，则m，k的值分别为
A．0，6
B．0，2
C．4，6
D．4，2
4．已知y=ax2+k的图象上有三点A(-3,y1)，B(1，y2)，C(2，y3),且y2)
A．a>0
B．a<0
C．a≥0
D．a≤0
5．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致为()
A．
B．
C．
D．
6．若一个函数图象的对称轴是y轴，则该函数称为偶函数．那么在下列四个函数：
①y=2x；②y=；③y=x2；④y=（x﹣1）2+2中，属于偶函数的是______（只填序号）．
7．若函数是二次函数，则m＝______．
8．将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为______；
将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为______．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为
.
10．已知二次函数y＝(x－2a)2＋(a－1)(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝－1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是____________________．
11．已知二次函数y=﹣(x+1)2+2．
（1）填空：此函数图象的顶点坐标是
；
（2）当x
时，函数y的值随x的增大而减小；
（3）设此函数图象与x轴的交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC及BC，试求△ABC的面积．
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