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22.1.4二次函数y=ax2+bx+
c的图像和性质（重点练)
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①abc＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③4a+1＞2b﹣c；④4ac﹣b2+4a＜0；⑤a>．其中，正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列判断错误的是
(
)
A．a＞0
B．c＜0
C．函数有最小值
D．y随x的增大而减小
3．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）．
A．
B．
C．
D．
4．若抛物线的开口向上，则k的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．二次函数的图象的顶点坐标是（2,3），则a，b，c取值可以是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
6．已知二次函数y=-2x2+4x-3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是(
)
A．b≤-2
B．b<-2
C．b≥-2
D．b>-2
8．二次函数的图像如图所示，那么、、、
这四个代数式中，值为正的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
9．如图，正方形ABCD边长为4，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图图形中，阴影部分面积相等的是（ ）
A．甲
乙
B．甲
丙
C．乙
丙
D．丙
丁
11．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，，且点在轴上，若抛物线以为顶点，且经过点，则这条抛物线的关系式为________．
12．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形连结则对角线的最小值为
．
13．如右图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，当PB＝___________时，四边形PECF的面积最大，最大值为_____________.
14．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的顶点为点D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为－1，3，与y轴负半轴交于点C．在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值有4个．其中正确的结论是________(只填序号)．
15．某同学研究抛物线（a≠0）时发现：①当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；②把它的顶点横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标，点A仍在这条抛物线上．
⑴请你求出①中直线的解析式；
⑵试证明②中的结论；
⑶试将②中的结论进行推广，写出一个新的结论，不必证明．
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22.1.4二次函数y=ax2
+bx+
c的图像和性质（重点练)
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①abc＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③4a+1＞2b﹣c；④4ac﹣b2+4a＜0；⑤a>．其中，正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】【分析】由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴为直线得b＝2a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，则abc＜0；由于抛物线与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴另一个交点在点（?3，0）与点（?2，0）之间，即有?3＜x2＜?2；由于b＝2a，c＜?1，则4a＋1＜2b?c；由于b＝2a，则4ac?b2＋4a＝4a（c?a＋1），利用c＜?1，?a＜0，所以4ac?b2＋4a＝4a（c?a＋1）＜0；由于x＝1时，函数为正值，则a＋b＋c＞0，即a＋2a＋c＞0，解得，然后利用c＜?1得到．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴另一个交点在点（﹣3，0）与点（﹣2，0）之间，
∴﹣3＜x2＜﹣2，所以②正确；
∵b＝2a，c＜﹣1，
∴4a+1＜2b﹣c，所以③错误；
∵b＝2a，
∴，
∵，即，
而，
∴c﹣a+1＜0，
∴4ac﹣b2+4a＝4a（c﹣a+1）＜0，所以④正确；
∵x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，即，
而c＜﹣1，
∴，所以⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2?4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2?4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2?4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列判断错误的是
(
)
A．a＞0
B．c＜0
C．函数有最小值
D．y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】【分析】直接根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可
【详解】
解：图象开口向上，所以a＞0.故A正确；
抛物线与y轴交于负半轴，所以c＜0，故B正确；
抛物线有最低点，即函数有最小值，故C正确；
在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，故D错误.
故选D
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的系数和图象的关系及增减性是解答此题的关键．
3．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【详解】
A.
∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B.
∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C.
∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D.
∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．
4．若抛物线的开口向上，则k的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【分析】
二次函数的图象的开口向上时，二次项系数大于0．
【详解】
因为抛物线y=（k-1）x2+2x+1的开口向上，
所以k-1＞0，
解得k＞1．
故选C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象的性质．二次项系数a决定二次函数图象的开口方向：①当a＞0时，二次函数图象向上开口；②当a＜0时，抛物线向下开口．
5．二次函数的图象的顶点坐标是（2,3），则a，b，c取值可以是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】D
【解析】【分析】
设这个二次函数的关系式为y=a（x-2）2+3，然后整理成一般式，即可得到a、b、c之间的关系，从而得到正确选项．
【详解】
设这个二次函数的关系式为y=a（x-2）2+3，
整理得，y=ax2-4ax+4a+3，
b=-4a，c=4a+3，
故a=-2，则b=8，c=-5，
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，设出顶点式整理成一般式解题的关键．
6．已知二次函数y=-2x2+4x-3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】
把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案．
【详解】
∵y=-2x2+4x-3=-2（x-1）2-1，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x≥1时，y随x的增大而减小，
故选A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
7．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是(
)
A．b≤-2
B．b<-2
C．b≥-2
D．b>-2
【答案】C
【解析】【分析】根据y=x2+bx+1与y轴交于点（0，1），且与点C关于x=1对称，则对称轴x≤1时，二次函数y=x2+bx+1与阴影部分一定有交点，据此可求出b的取值范围.
【详解】
当二次函数y=x2+bx+1的图象经过点B（1，0）时，1+b+1=0.解得b=-2，故排除B、D；
因为y=x2+bx+1与y轴交于点（0，1），所以（0，1）与点C关于直线x=1对称，当对称轴x≤1时，二次函数y=x2+bx+1与阴影部分一定有交点，所以-≤1，解得b≥-2，故选C.
【点评】本题考查二次函数图象，解题的关键是利用特殊值法进行求解.
8．二次函数的图像如图所示，那么、、、
这四个代数式中，值为正的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】A
【解析】【分析】由抛物线开口向上，a＞0，由对称轴-＞0，可得b＜0，抛物线与y轴交点为负半轴，可知c＜0，由抛物线与x轴有两个交点可得△=b2-4ac＞0，再根据特殊点进行推理判断即可得答案．
【详解】
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴-＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点为负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac＞0，
∵对称轴-＜1，
∴2a+b＞0，
当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，
故值为正的有四个，
故选A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握根据图象获取信息的能力是解题关键．
9．如图，正方形ABCD边长为4，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD边长为4，AE＝BF＝CG＝DH
∴AH＝BE＝CF＝DG，∠A＝∠B＝∠C＝∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y＝4×4﹣x（4﹣x）×4
＝16﹣8x+2x2
＝2（x﹣2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
10．如图图形中，阴影部分面积相等的是（ ）
A．甲
乙
B．甲
丙
C．乙
丙
D．丙
丁
【答案】B
【解析】根据题意，可知：
甲：直线与x轴交点为（3，0），与y轴的交点为（0，4），则阴影部分的面积为×3×4=6；
乙：阴影部分为斜边为4的等腰直角三角形，其面积为×4×2=4；
丙：抛物线与x轴的两个交点为（-3，0）与（3，0），顶点坐标为（0，-2），则阴影部分的面积为×6×2=6；
丁：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为×6=3；
因此甲、丙的面积相等，
故选：B．
【点评】此题考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，熟练掌握各类函数的图象特点是解决问题的关键．
11．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，，且点在轴上，若抛物线以为顶点，且经过点，则这条抛物线的关系式为________．
【答案】
【解析】【分析】
求出B,C的坐标,再用顶点式求出解析式即可.
【详解】
解：∵抛物线以为顶点，且经过点，
∴C为抛物线的最小值,a0,
由图可知B（0,2）,A（-2,0）,∠A=45°,
∵，
∴C（2,0）,
设抛物线解析式为,
将B（0,2）代入解析式得：.
【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的表达式,中等难度,熟悉待定系数法的解题步骤是解题关键.
12．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形连结则对角线的最小值为
．
【答案】1
【解析】【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．
【详解】
∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
故答案为1．
13．如右图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，当PB＝___________时，四边形PECF的面积最大，最大值为_____________.
【答案】6
【解析】利用锐角三角函数关系，设PB=xcm，由∠C=90°，∠B=30°，AB=12cm，可得BC=AB×cos30°=6（cm），PE=xcm，BE=xcm，则EC=（6-x）cm，故四边形FCEP的面积为：PE×EC=x×（6-x）=-x2+3x=-（x2-12x）=-（x-6）2+9，故当x=6时，四边形PECF的面积最大，最大值为9．
故答案为6，9．
【点评】此题主要考查了矩形的面积公式以及锐角三角函数关系，得出矩形面积与x的函数关系是解题关键．
14．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的顶点为点D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为－1，3，与y轴负半轴交于点C．在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值有4个．其中正确的结论是________(只填序号)．
【答案】③④
【解析】试题分析：先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，∴AB=4，∴对称轴x=﹣=1，即2a+b=0．故①错误；②根据图示知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故②错误；③∵A点坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，∴a+2a+c=0，即c=﹣3a．故③正确；④∵△ADB为等腰直角三角形．所以AD=BD=AB，设D（1，a+b+c），又b=﹣2a，c=﹣3a，故D（1，﹣4a）；列方程求解得a=1/2或a=﹣1/2（舍去），∴只有a=1/2时三角形ABD为等腰直角三角形，故④正确；⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，∵AO=1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c=﹣，与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；同理当AB=AC=4时，∵AO=1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c=﹣与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；同理当AC=BC时在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程无解．经解方程组可知只有两个a值满足条件．故⑤错误．综上所述，正确的结论是③④．故答案是：③④．
考点：1.抛物线与x轴的交点；2.二次函数图象与系数的关系；3.等腰三角形的判定．
15．某同学研究抛物线（a≠0）时发现：①当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；②把它的顶点横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标，点A仍在这条抛物线上．
⑴请你求出①中直线的解析式；
⑵试证明②中的结论；
⑶试将②中的结论进行推广，写出一个新的结论，不必证明．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）见解析.
【解析】【分析】
（1）首先将抛物线y=ax2+2x+3转化成顶点式，写出用a表示的顶点坐标，消去a写出y关于x的表达式即可；（2）由函数解析式可得顶点坐标，根据题意可求出A点坐标，把A点横坐标代入二次函数解析式，验证纵坐标即可；（3）把抛物线的顶点横坐标增加，纵坐标增加，得到的点仍在这条抛物线上；把抛物线(a≠0)的顶点横坐标减少，纵坐标增加，得到的点仍在这条抛物线上．
【详解】
（1）∵y=ax2+2x+3=a(x+)2+3?，
∴抛物线y=ax2+2x+3的顶点坐标为(
?，3?)，
∴抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式为y=x+3.
（2）∵抛物线的解析式为，
∴顶点坐标为（-，3?），
∴A点坐标为（-，3），
当x=-时，y=a(-)2+2(-)+3=3，
∴点A在抛物线y=ax2+2x=3上.
（3）把抛物线的顶点横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，点B仍在这条抛物线上；把抛物线的顶点横坐标减少，纵坐标增加，得到C点的坐标，点C仍在这条抛物线上.
证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（?，）
由题意得C（?，）
把x=?代入y=ax2+bx+c=a（?）2+b（?）+c=
∴点C在抛物线y=ax2+bx+c上，
同理点B在抛物线y=ax2+bx+c上．
【点评】本题是二次函数的综合题．主要考查同学们对顶点式的理解，及灵活运用能力，属于一道开发性题目．
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