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22.2.二次函数与一元二次方程（重点练)
1．关于x的方程（x﹣3）（x﹣5）=m（m＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列选项正确的是（ ）
A．3＜α＜β＜5
B．3＜α＜5＜β
C．α＜2＜β＜5
D．α＜3且β＞5
【答案】D
【解析】【分析】
根据平移可知：将抛物线y=（x-3）（x-5）往下平移m个单位可得出抛物线y=（x-3）（x-5）-m，依此画出函数图象，观察图形即可得出结论．
【详解】
将抛物线y=（x-3）（x-5）往下平移m个单位可得出抛物线y=（x-3）（x-5）-m，
画出函数图象，如图所示．
∵抛物线y=（x-3）（x-5）与x轴的交点坐标为（3，0）、（5，0），抛物线y=（x-3）（x-5）-m与x轴的交点坐标为（α，0）、（β，0），
∴α＜3＜5＜β．
故选D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及平移的性质，依照题意画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
2．已知函数，其中、为常数，且，若方程的两个根为、，且，则、、、的大小关系为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】试题解析：函数y=（x-x1）（x-x2）的图象与x轴的交点的横坐标分别是x1、x2；
函数y=（x-x1）（x-x2）-2的图象是由函数y=（x-x1）（x-x2）的图象向下平移2个单位得到的，
则方程（x-x1）（x-x2）-2=0[或方程（x-x1）（x-x2）=2]的两根x3、x4即为函数y=（x-x1）（x-x2）-2的图象与x轴的交点的横坐标，
它们的大致图象如图所示：
根据图象知，x3＜x1＜x2＜x4．
故选C．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图所示，则ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是(
)
A．m≤－2
B．m≥－2
C．m≥0
D．m＞4
【答案】B
【解析】令y1=ax2＋bx＋c，y2=m，y1=ax2＋bx＋c为如图二次函数，y2=m为平行于x轴的一条直线，要使ax2＋bx＋c＝m有实数根，即要使y2=m这条直线和二次函数y1=ax2＋bx＋c有交点，根据图像可得当m≥-2时y2=m这条直线和二次函数y1=ax2＋bx＋c有交点.
故选B.
【点评】掌握数形结合方法，求方程有无实数根的问题可以转化成为图象的交点问题.
4．若抛物线y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m的取值范围是（
）
A．m＜2
B．m＞2
C．m
D．m
【答案】A
【解析】试题分析：根据二次函数y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则（2m﹣2m）2+3m﹣1＜2m+1，求出k的取值范围即可．
解：∵抛物线y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，
∴当x=2m时，y＜2m+1，所以把x=2m代入解析式中得：（2m﹣2m）2+3m﹣1＜2m+1
∴m＜2，
所以m的取值范围是m＜2．
故选A．
【点评】此题考查了抛物线与x轴交点，得出当x=2m时，y＜2m+1是解题关键．
5．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（
）
A．x1=-6，x2=-1
B．x1=0，x2=5
C．x1=-3，x2=5
D．x1=-6，x2=2
【答案】B
【解析】试题解析：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±，
而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，
所以-h-=-3，-h+=2，
方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±，
所以x1=3-3=0，x2=3+2=5．
故选B．
考点：解一元二次方程-直接开平方法．
6．已知关于x的二次函数y＝ax2+(a2﹣1)x﹣a的图象与x轴的一个交点坐标为(m，0)．若﹣4＜m＜﹣3，则a的取值范围是_____．
【答案】或
【解析】分析：首先将函数转化为交点式，从而得出函数与x轴的交点坐标，最后根据m的取值范围求出a的取值范围．
详解：∵，
∴函数与x轴的交点坐标为(－a，0)或(，0)，
∴或，
解得：或．
【点评】本题主要考查的就是二次函数的性质，属于中等难度题型．将二次函数转化为交点式是解题的关键．
7．若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，则抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为_____________________．
【答案】(1，0)，(5，0)
【解析】已知一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，可得抛物线y＝a(x＋m)2－3与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，把抛物线y＝a(x＋m)2－3向右平移两个单位可得抛物线y＝a(x＋m－2)2－3，所以抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为(-1+2，0)，(3+2，0)，即(1，0)，(5，0).
8．以x为自变量的函数中，m为不小于零的整数，它的图象与x轴交于点A和B，点A在原点左边，点B在原点右边.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且=10,求这个一次函数的解析式.
【答案】（1）；（2）y=－x－1或y=5x+5.
【解析】【详解】
解（1）∵图象与x轴的交点A在原点左边，交点B在原点右边，
∴△=（2m+2）2-4×（-1）×[-（m2+4m-3）]>0，
解得：m<2，
∵m为不小于0的整，
∴m=0或1，
当m=0时，y=-x2+2x+3，其中A（-1，0），B（3，0）；
当m=1时，y=-x2+4x-2，不合题意；
∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）∵△ABC的面积等于10，|AB|=4，
∴|AB|?h=10，
∴h=5，
∴C点的纵坐标为5或-5，
当C点的纵坐标为5时，-x2+2x+3=5，即-x2+2x-2=0，
△=4-4×（-1）×（-2）<0，不合题意，舍去；
当C点的纵坐标为-5时，-x2+2x+3=-5，即-x2+2x+8=0，
解得：x=4或-2，
∴点C的坐标为：（4，-5）或（-2，-5），
①将A（﹣1,0）与C（4，﹣5）代入y=kx+b，
解得：k=﹣1，b=﹣1，
则一次函数的解析式为：y=－x－1；
②将A（﹣1,0）与C（﹣2，﹣5）代入y=kx+b，
解得：k=5，b=5，
则一次函数解析式为：y=5x+5；
故一次函数的解析式为：y=－x－1或y=5x+5.
【点评】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点问题，用待定系数法求函数解析式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
9．已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
【答案】（1）y=
-x2+2x+3（2）存在,（）
【解析】试题分析：（1）求得直线y=3x+3与坐标轴的两交点坐标，然后根据OB=OA即可求得点B的坐标，然后利用待定系数法求得经过A、B、C三点的抛物线的解析式即可；
（2）首先利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后根据CD∥AB得到两直线的k值相等，根据直线CD经过点C求得直线CD的解析式，然后求得直线CD和抛物线的交点坐标即可；
（3）本问关键是求出△ABP的面积表达式．这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标．
解：（1）令y=3x+3=0得：x=﹣1，
故点C的坐标为（﹣1，0）；
令x=0得：y=3x+3=3×0+3=3
故点A的坐标为（0，3）；
∵△OAB是等腰直角三角形．
∴OB=OA=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设过A、B、C三点的抛物线的解析式y=ax2+bx+c，
解得：
∴解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴
解得：
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3
∵线CD∥AB
∴设直线CD的解析式为y=﹣x+b
∵经过点C（﹣1，0），
∴﹣（﹣1）+b=0
解得：b=﹣1，
∴直线CD的解析式为：y=﹣x﹣1，
令﹣x﹣1=﹣x2+2x+3，
解得：x=﹣1，或x=4，
将x=4代入y=﹣x2+2x+3=﹣16+2×4+3=﹣5，
∴点D的坐标为：（4，﹣5）；
（3）存在．如图1所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，
过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，BN=OB﹣ON=3﹣x．
S△ABP=S梯形PNOA+S△PNB﹣S△AOB
=（OA+PN）?ON+PN?BN﹣OA?OB
=（3+y）?x+y?（3﹣x）﹣×3×3
=（x+y）﹣，
∵P（x，y）在抛物线上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得：
S△PAB=（x+y）﹣=﹣（x2﹣3x）=﹣（x﹣）2+，
∴当x=时，S△PAB取得最大值．
当x=时，y=﹣x2+2x+3=，
∴P（，）．
所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；
P点的坐标为（，），最大值为：．
考点：二次函数综合题．
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22.2.二次函数与一元二次方程（重点练)
1．关于x的方程（x﹣3）（x﹣5）=m（m＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列选项正确的是（ ）
A．3＜α＜β＜5
B．3＜α＜5＜β
C．α＜2＜β＜5
D．α＜3且β＞5
2．已知函数，其中、为常数，且，若方程的两个根为、，且，则、、、的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图所示，则ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是(
)
A．m≤－2
B．m≥－2
C．m≥0
D．m＞4
4．若抛物线y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m的取值范围是（
）
A．m＜2
B．m＞2
C．m
D．m
5．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（
）
A．x1=-6，x2=-1
B．x1=0，x2=5
C．x1=-3，x2=5
D．x1=-6，x2=2
6．已知关于x的二次函数y＝ax2+(a2﹣1)x﹣a的图象与x轴的一个交点坐标为(m，0)．若﹣4＜m＜﹣3，则a的取值范围是_____．
7．若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，则抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为_____________________．
8．以x为自变量的函数中，m为不小于零的整数，它的图象与x轴交于点A和B，点A在原点左边，点B在原点右边.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且=10,求这个一次函数的解析式.
9．已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
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