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23.1图形的旋转（重点练)
1．如图，△ABC以点C为旋转中心，旋转后得到△EDC，已知AB＝1.5，BC＝4，AC＝5，则DE＝( )
A．1.5
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【解析】【分析】
根据旋转的性质，得出△ABC≌△EDC，再根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．
【详解】
由旋转可得，△ABC≌△EDC，
∴DE=AB=1.5，
故选A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质的运用，解题时注意：旋转前、后的图形全等．
2．如图，将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A'
B'C，连接AA'，若∠1=20°，则∠B的度数是(
)
A．70°
B．65°
C．60°
D．55°
【答案】B
【解析】【分析】
根据图形旋转的性质得AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，从而得∠AA′C=45°，结合∠1=20°，即可求解．
【详解】
∵将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A'
B'C，
∴AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，
∴∠AA′C=45°，
∵∠1=20°，
∴∠B′A′C=45°-20°=25°，
∴∠A′B′C=90°-25°=65°，
∴∠B=65°．
故选B．
【点评】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质定理，是解题的关键．
3．如图,将置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A'OB'.已知∠AOB=30°,∠B=90°,AB=1,则B'点的坐标为
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】
利用含30度的直角三角形和勾股定理求出BC和OC，再用旋转的性质得出OC',B'C'，即可解决问题．
【详解】
解：
在Rt△AOB中，∠AOB=30°，AB=1，
∴OA=2（30°角所对的直角边是斜边的一半）
根据勾股定理得，OB==，
过点B作BC⊥OA于C，
在Rt△BOC中，BC=OB=，根据勾股定理得，OC==，
过点B'作B'C'⊥OA'于C'，
由旋转知，B'C'=BC=，OC'=OC=，，
∴B′点的坐标为（，）．
故选A．
【点评】此题主要考查了含30°的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解本题的关键是求出OC和BC．
4．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
则
=，故选B.
5．全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是合同三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图1），若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图2），两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°.下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【分析】
认真阅读题目，理解真正合同三角形和镜面合同三角形的定义，然后根据各自的定义或特点进行解答．
【详解】
解：由题意知真正合同三角形和镜面合同三角形的特点，可判断要使C组的两个三角形重合必须将其中的一个翻转180°；
而其它组的全等三角形可以在平面内通过平移或旋转使它们重合．
故选：C．
【点评】此题考查了平移、旋转、轴对称的图形变化，学生的阅读理解能力及空间想象能力，较灵活．认真读题，透彻理解题意是正确解决本题的关键．
6．如图所示，在中，是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（
）
A．将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
B．将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C．将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D．先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，角形然后再次变为钝角三角形
【答案】D
【解析】【分析】
因为BC边变大，∠A也随着变大，∠C在变小．所以此题的变化为：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形．
【详解】
解：根据∠A的旋转变化规律可知：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查角的变化,解题时要注意三角形的变化：∠B不变，∠A变大，∠C在变小．
7．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第2016变换后所得的点坐标是__________．
【答案】
【解析】【分析】
观察不难发现，4次变换为一个循环组依次循环，用2016除以4，根据正好整除可知点A与原来的位置重合，从而得解．
【详解】
由图可知，4次变换为一个循环组依次循环，
∵2016÷4=504，
∴第2016变换后为第504循环组的第四次变换，
变换后点A与原来的点A重合，
∵原来点A坐标是（a，b），
∴经过第2016变换后所得的A点坐标是（a，b）．
故答案为：（a，b）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化-对称，准确识图，观察出4次变换为一个循环组依次循环是解题的关键．
8．如图，O是正△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为6；③∠AOB＝150°；④S△BOC＝12+6；
⑤S四边形AOBO′＝24+12．其中正确的结论是_____．（填序号）
【答案】①③
【解析】【分析】
证明△BO′A≌△BOC即可说明△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，①正确；根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，则点O与O'的距离为8，②错误；根据勾股定理的逆定理得到△AOO′是直角三角形，求得Rt△AOO′面积为×6×8＝24，又等边△BOO′面积为×8×4＝16，得到四边形AOBO'的面积为24+16，⑤错误；求得∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，③正确；过B作BE⊥AO交AO的延长线于E，根据三角形的面积公式即可得到S△BOC＝S四边形AOBO′﹣S△AOB＝24+16﹣12＝12+16，故④错误．
【详解】
在△BO′A和△BOC中，
，
∴△BO′A≌△BOC（SAS）．
∴O′A＝OC，
∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，①正确；
如图1，连接OO′，根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，
∴点O与O'的距离为8，②错误；
在△AOO′中，AO＝6，OO′＝8，AO′＝10，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°．
∴Rt△AOO′面积为×6×8＝24，
又等边△BOO′面积为×8×4＝16，
∴四边形AOBO'的面积为24+16，⑤错误；
∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，③正确；
过B作BE⊥AO交AO的延长线于E，
∵∠AOB＝150°，
∴∠BOE＝30°，
∵OB＝8，
∴BE＝4，
∴S△AOB＝×4×6＝12，
∴S△BOC＝S四边形AOBO′﹣S△AOB＝24+16﹣12＝12+16，故④错误，
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，此题难度较大，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解，使得问题迎刃而解．
9．如图所示，已知直线AB、CD交于点O，，是方程的解，也是方程的解，且，．
（1）求的度数．
（2）若射线OM从OC出发，绕点O以的速度顺时针转动，射线ON从OD出发，绕点O以的速度逆时针第一次转动到射线OE停止，当ON停止时，OM也随之停止．在转动过程中，设运动时间为t，当t为何值时，？
（3）在（2）的条件下，当ON运动到内部时，下列结论：①不变；②不变，其中只有一个是正确的，请选择并证明．
【答案】（1）30°；（2）30或90；（3）①是正确的，证明详见解析．
【解析】【分析】
（1）把，代入和得出关于a、b的方程组，得出a与b的值，再根据邻补角和垂直的定义即可求出的度数
（2）设t秒后，由题意或，解方程即可．
（3）分别表示出，，从而得出结论
【详解】
（1）把，代入和
得，解得：，．
∴．
设，则，
∵，
∴．∴
∵，∴．
∵，∴．
∴．
（2）设t秒后，
①如图所示，
∵，∴
∵，
∴
∵∴，
∴．∴．
②如图所示，
∵，∴．
∵，，
∴．
∵．
∴．∴．
∴．
综上所述，，的值为30s，90s时，．
（3）①是正确的，如图所示，设运动时间为ts，
∴，．
∴
∴．
∴是定值．
【点评】本题考查了角平分线的性质、旋转性质及角的计算、一元一次方程的应用，解题的关键是关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分，属于中考常考题型．
10．将等腰直角三角形ABC（AB＝AC，∠BAC＝90°）和等腰直角三角形DEF（DE＝DF，∠EDF＝90°）按图1摆放，点D在BC边的中点上，点A在DE上．
（1）填空：AB与EF的位置关系是
；
（2）△DEF绕点D按顺时针方向转动至图2所示位置时，DF，DE分别交AB，AC于点P，Q，求证：∠BPD+∠DQC＝180°；
（3）如图2，在△DEF绕点D按顺时针方向转动过程中，始终点P不到达A点，△ABC的面积记为S1，四边形APDQ的面积记为S2，那么S1与S2之间是否存在不变的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）平行；（2）见解析；（3）存在，S1＝2S2，理由见解析.
【解析】【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质和平行线的判定方法即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠C＝45°，再根据三角形的内角和即可得到结论；
（3）连接AD，根据等腰直角三角形的性质和余角的性质可得BD＝CD＝AD，∠B＝∠CAD，∠BDP＝∠ADQ，进而可根据ASA证明△BDP≌△ADQ，再根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠C=45°，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠F＝∠E＝45°，
∴∠F＝∠
ABD，∴AB∥EF；
故答案为：平行；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠EDF＝90°，∴∠BDP+∠CDQ＝90°，
∴∠BPD+∠DQC＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠BDP﹣∠CDQ＝180°；
（3）S1与S2之间存在不变的数量关系：S1＝2S2.
理由：连接AD，如图，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝AD＝BC，∠B＝∠C＝∠CAD＝45°，
∵∠BDP+∠ADP＝∠ADP+∠ADQ＝90°，
∴∠BDP＝∠ADQ，
∴△BDP≌△ADQ（ASA），
∴S△ABD＝S△BPD+S△APD＝S△ADQ+S△APD＝S2，
又∵S△ADB＝S1，
∴S1＝2S2．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键.
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23.1图形的旋转（重点练)
1．如图，△ABC以点C为旋转中心，旋转后得到△EDC，已知AB＝1.5，BC＝4，AC＝5，则DE＝( )
A．1.5
B．3
C．4
D．5
2．如图，将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A'
B'C，连接AA'，若∠1=20°，则∠B的度数是(
)
A．70°
B．65°
C．60°
D．55°
3．如图,将置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A'OB'.已知∠AOB=30°,∠B=90°,AB=1,则B'点的坐标为
(
)
A．
B．
C．
D．
4．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是合同三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图1），若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图2），两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°.下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，在中，是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（
）
A．将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
B．将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C．将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D．先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，角形然后再次变为钝角三角形
7．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第2016变换后所得的点坐标是__________．
8．如图，O是正△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为6；③∠AOB＝150°；④S△BOC＝12+6；
⑤S四边形AOBO′＝24+12．其中正确的结论是_____．（填序号）
9．如图所示，已知直线AB、CD交于点O，，是方程的解，也是方程的解，且，．
（1）求的度数．
（2）若射线OM从OC出发，绕点O以的速度顺时针转动，射线ON从OD出发，绕点O以的速度逆时针第一次转动到射线OE停止，当ON停止时，OM也随之停止．在转动过程中，设运动时间为t，当t为何值时，？
（3）在（2）的条件下，当ON运动到内部时，下列结论：①不变；②不变，其中只有一个是正确的，请选择并证明．
10．将等腰直角三角形ABC（AB＝AC，∠BAC＝90°）和等腰直角三角形DEF（DE＝DF，∠EDF＝90°）按图1摆放，点D在BC边的中点上，点A在DE上．
（1）填空：AB与EF的位置关系是
；
（2）△DEF绕点D按顺时针方向转动至图2所示位置时，DF，DE分别交AB，AC于点P，Q，求证：∠BPD+∠DQC＝180°；
（3）如图2，在△DEF绕点D按顺时针方向转动过程中，始终点P不到达A点，△ABC的面积记为S1，四边形APDQ的面积记为S2，那么S1与S2之间是否存在不变的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系并证明；若不存在，请说明理由．
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