2020年秋人教版八年级数学上册暑期课程跟踪——12.3角的平分线的性质提优练习（word版含答案）

12.3角的平分线的性质提优练习
一、选择题
1．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(
)
A．PC＝PD
B．∠CPD＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO
D．OC＝OD
2．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
3．如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（　　）
A.
B.
C.
D.
4.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（
）
A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.三角形的三条角平分线相交于同一点
5．如图，已知
∠AOB．小明按如下步骤作图：
（1）以点
O
为圆心，适当长为半径画弧，交
OA
于点
D，交OB
于点E
．
（2）分别以点D
，E为圆心，大于1/2的DE
的长为半径画弧．两弧在
∠AOB
的内部相交于点C
．
（3）画射线OC
．
根据上述作图步骤，下列结论正确的是?(
)
A.
射线OC
是∠AOB
的平分线
B.
线段DE
平分线段OC
C.
点O
和点C
关于直线DE
对称
D.OE=CE
6．如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（
）
A．1处
B．2处
C．3处
D．4处
7.如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（　　）
A.一定相等
B.一定不相等
C.当BD=CD时相等
D.当DE=DF时相等
8．如图所示,P为△ABC外部一点,D，E分别在AB，AC的延长线上,若点P到BC，BD，CE的距离都相等,则关于点P的说法最佳的是(
)
A.在∠DBC的平分线上
B.在∠BCE的平分线上
C.在∠BAC的平分线上
D.在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上
9．有一块三角形的草坪△ABC，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在
(
)
A．△ABC三条角平分线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条中线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
10．
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交
BC
于
D，且DC=8cm
，则点D
到AB
的距离是
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11.有一块三角形的草坪△ABC，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在△ABC
的______.
12．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AC=7，DE=4，则△ADC的面积等于______．
13．如图,在△ABC中,BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB,并且BD，CE相交于点O,过O点作OP⊥BC于点P,OM⊥AB于点M,ON⊥AC于点N,则OP，OM，ON的大小关系是_____.
14.如图,∠ABC=45°,∠BCA=35°,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,则∠DAC的角度为
.
15．如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，将△ABC对折，使A与B重合，折痕为DE，连接BD，若△BCD的周长为27cm，则BC的长为
cm．
三、解答题
16.证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”.
17.如图，在∠△ACB和△DCE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE、BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．
(1)试判断AE、BD之间的关系，并说明理由；
(2)连接CO，则下面两个结论中选择你认为正确的一个加以说明①射线CO平分∠ACD
②射线OC平分∠BOE
18．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．
（1）求证：OC是∠AOB的平分线．
（2）若PF∥OB，且PF＝4，∠AOB＝30°，求PE的长．
19．（1）如图，在中，是高，是角平分线，当，，则____；
（2）若DB和∠C的度数分别用字母α和β来表示（b>a），你能找到与β和α之间的关系吗？
______.（请直接写出你发现的结论）
20．如图△ABC中，∠ACB=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm，求BC的长度
21．如图．已知在△ABC中，∠A．∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．
（1）求BP．CQ．AR的长．
（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．
答案
1．
B
2．
B
3．
C
4.
A
5．
A
6．
D
7.
D
8．
D
9．
A
10．
B
11.
三条角平分线的交点
12．
14
13．
OP=OM=ON
14.
50°
15．
7
16.
证明：在Rt△POE和Rt△POF中，
∴Rt△POE≌△RtPOF，
∴∠EOP=∠FOP，
∴OP平分∠AOB
∴点P在∠AOB的平分线上．
17.
（1）AE=BD且AE⊥BD．理由如下：
∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACB+∠DCA=∠DCE+∠DCA，即∠DCB=∠ACE．
∵AC=BC，CD=CE，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠CEA=∠BDC．
∵∠CME=∠DMO，∴∠DOM=∠ECM=90°，∴AE⊥BD，∴AE=BD且AE⊥BD．
（2）②正确．理由如下：
过C作CJ⊥AE于J，CK⊥DB于K．
∵△ACE≌△BCD，∴S△ACE=S△BCD，∴×AE×CJ=×DB×CK．
∵AE=DB，∴CJ=CK．
∵CJ⊥AE，CK⊥DB，∴OC平分∠BOE．故②正确．
18．
（1）证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，
，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD＝PE，
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线；
（2）∵PF∥OB，∠AOB＝30°，
∴∠PFD＝∠AOB＝30°，
在Rt△PDF中，PD＝PF＝2，
∴PE＝PD＝2．
19．
（1）∵∠B＝20°，∠C＝60°，
∴在△ABC中，∠BAC＝180°?∠B?∠C＝100°，
依据AE是角平分线，得∠BAE＝∠BAC＝50°，
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°?∠B＝70°，
∴∠EAD＝∠BAD?∠BAE＝70°?50°＝20°．
（2）∠EAD＝（β?α），
证明：在△ABC中，∠BAC＝180°?∠B?∠C＝180°?α?β，
依据AE是角平分线，得∠BAE＝∠BAC＝90°?（α＋β），
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°?∠B＝90°?α，
∴∠EAD＝∠BAD?∠BAE＝90°?α?90°＋（α＋β）＝（β?α）
20．
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE=DC=1.5cm，
∵BD=3cm，∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm，
21．
连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A．∠B的角平分线交于点O，
∴OR=OQ，OR=OP，∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，∴AR=AQ，
同理BR=BP，CQ=CP，即O在∠ACB角平分线上，设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，
则
x=3，y=5，z=4，∴BP=3，CQ=5，AR=4．
（2）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，∵O在∠A的平分线，
∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，∵∠A=60°，∴∠NOM=120°，∵O在∠ACB．∠ABC的角平分线上，∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，
∴∠FON=∠EOM，在△FON和△EOM中
∴△FON≌△EOM，∴OE=OF．