12.3角的平分线的性质基础练习
一、选择题
1．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
2．如图，OC是∠AOB
的平分线，P是OC
上一点，PD
┴
OA于点D
，PD=6，则点P
到边OB
的距离为?(
)
A.
6
B.
5
C.
4
D.
4.5
3.如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4．如果要作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(
)
①作射线OC；②在OA．OB上分别截取OD．OE，使OD＝OE；③分别以D．E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
A．①②③
B．②①③
C．②③①
D．③②①
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若DE＝15cm，BE＝8cm，则BC的长为（ ）
A．15cm
B．17cm
C．30cm
D．32cm
6.点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
7．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为(
)
A．6
B．5
C．4
D．3
8．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝，则△BCE的面积等于（ ）
A．3
B．
C．
D．15
9．在直角△ABC
中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD
交BC
于点D
，CD=2，则点
D
到AB
的距离是?(
)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
二、填空题
10.如图，PM=PN，∠BOC=30°，PM⊥AO于M，PN⊥OB于N,则∠AOB=_____．
11.如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=__________．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)
13．如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，交AB于点D，交AC于点E，连接CD，∠A=50°，则∠DCB的度数是
.
14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，连接AE．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为
.
15．如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE=BF，∠BAC=64°，△DCE和△DBF的面积相等，则∠DAC=
.
三、解答题
16.如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．
(1)求证：AE平分∠BAD．
(2)求证：AD＝AB＋CD．
17．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．
18．如图，△ABC中，D是BC边的中点,
AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：（1）DE=
DF；
（2）∠B
=∠C．
19．已知：如图所示，BE=CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
20．如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：
（1）DE=DC；
（2）BD=DF．
答案
1．
B
2．
A
3.
D
4．
C
5．
D
6.
C
7．
A
8．
B
9．
B
10.
60°
11.
150°
12．
4
13．
15°
14．
40°
15．
32°
16.
（1）证明：过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠C=90°，DE平分∠ADC，
∴CE=EF，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴BE=EF，
又∵∠B=90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠BAD．
（2）证明：AD=CD+AB，
∵∠C=∠DFE=90°，
∴在Rt△DFE和Rt△DCE中
，
∴Rt△DFE和Rt△DCE（HL），
∴DC=DF，
同理AF=AB，
∵AD=AF+DF，
∴AD=CD+AB；
17．
因为AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC[来源:学科网]
所以DF=DE=2
因为DE=2,AB=4
所以S△ABD=×2×4=4
故S△ADC=7-4=3
所以AC·DF=3
得到AC=3
18．
证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF；
（2）∵D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C．
19．
∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴∠DEB=∠DFC=90°,在△BDE和△CDF中，∠BDE=∠CDF,∠DEB=∠DFC,
BE=CF,∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE=DF.又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴AD平分∠BAC.
20．
（1）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DC；
（2）在△BDE和△FDC中，
，∴△BDE≌△FDC（SAS），∴BD=DF．12.3角的平分线的性质学情评价
一．选择题
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D．E．F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到边AB的距离为( )
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
2.如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，AE=AF，BE与CF交于点D，则：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是(
)
A.①
B.②
C.①②
D.①②③
3．已知：如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中:①∠AOC=∠BOC，②PD=PE，③OD=OE，④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的角平分线的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4．如图，平分，于点，于点，若，则长为（
）
A.
B.
C.
D.
5.如图，有三条公路两两相交，要选择一地点建一座加油站，若要使加油站到三条公路的距离相等，则加油站的位置有几种选择：（
）.
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
6．如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小关系是(
)
A.∠1=∠2
B.∠1＞∠2
C.∠1＜∠2
D.无法确定
7．如图，在中，，，点E在BC的延长线上，的平分线BD与的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是 (
)
A.
B.
C.
D.
8．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，……，若∠A1=α，则∠A2019为(
)
A．
B．
C．
D．
9．如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA．OB相交于M．N两点，则以下结论：恒成立；的值不变；四边形PMON的面积不变；的长不变，其中正确的个数为(
)
A.
4
B.
3
C.
2
D.1
二．填空题
10.如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠P＝_________
11．如图，已知，
AD平分于点E，
，则BC=
___cm。
12．三条公路两两相交于A，B，C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路距离相等,则可供选择的地方有_____处.
13．如图，在中，，，AD平分交BC于D，于E，若，则的周长是___________cm．
14．如图，△ABC的三边AB．BC．CA长分别是20．30．40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于
．
15．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=12，BC=15，S△ABD=36，则S△BCD=______．
16．如图所示,△ABC中,∠B＝∠C,D是BC边上一动点,过D作DE⊥AB,DF⊥AC,E，F分别为垂足,则当D移动到
时,AD恰好平分∠BAC.
三．解答题
17.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF．求证：AD平分∠BAC．
18．如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．
19．如图,铁路OA和铁路OB交于O处,河道AB与铁路分别交于A处和B处,试在河岸上建一座水厂M,要求M到铁路OA，OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置.
答案
1．
A
2.
D
3．
D
4．
C
5.
D
6．
A
7．
B
8．
D
9．
B
10.
90°
11．
15
12．
4
13．
6
14．
2：3：4
15．
45
16．
BC的中点
17.
证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F
∴△BED和△DFC是直角三角形
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在Rt△BED和Rt△DFC
∴△BED≌△DFC（HL）
∴DE=DF
又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F
∴∠BAD=∠CAD,
AD平分∠BAC．
18．
∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠DOP=∠EOP，PD=PE．
在Rt△POD和Rt△POE中，，
∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），
∴OD=OE，
在△ODF和△OEF中，，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF=EF．
19．
作∠AOB的角平分线，与AB的交点即为点M的位置.
