2019-2020学年上海市静安区高一下学期期末数学试卷 （word解析版）

2019-2020学年上海市静安区高一第二学期期末数学试卷
一、填空题（共10小题）.
1．余弦函数y＝cosx在闭区间[　 　，2kπ]（k∈Z）上是增函数．
2．数列{an}满足a1＝3，an+1＝an+5，则数列{an}的通项公式an＝　 　（n∈N*）．
3．函数f（x）＝tan（x+）的定义域为　 　．
4．已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，则tan（α+）＝　 　．
5．数列{an}的通项，则前10项的和a1+a2+a3+…+a10＝　 　．
6．已知，且，则cos2α＝　 　．
7．已知x＝3是函数f（x）＝log2（ax+1）﹣2x的零点，则a＝　 　．
8．已知函数y＝arcsin（cosx）的定义域为，则该函数的值域为　 　．
9．在实数1和81之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令．则数列{an}的通项公式an＝　 　．
10．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c．设a，b，c满足b2+c2﹣bc＝a2和，则tanB＝　 　．
二、选择题
11．sin240°的值是（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
12．设sinα＝﹣，cosα＝，那么下列的点在角α的终边上的是（　　）
A．（﹣3，4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（3，﹣4）
13．对于函数，下列命题：
①函数对任意x都有．
②函数图象关于点对称．
③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向右平移个单位而得到．
④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到．
其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题
14．已知α为第二象限角，化简．
15．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数．
（1）求k的值；
（2）求这段时间水深（单位：m）的最大值．
16．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝lgx．
（1）当x＜0时，求函数y＝f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＜1的解集．
17．已知函数．
（1）求函数y＝f（x）的周期；
（2）解三角方程f（x）＝﹣1．
18．已知数列{an}的通项公式为是，且．
（1）求证：数列{bn}是等比数列；
（2）设数列{cn}的通项满足，问数列{cn}的前多少项之和最大？
参考答案
一、填空题（共10小题）.
1．余弦函数y＝cosx在闭区间[　2kπ﹣π　，2kπ]（k∈Z）上是增函数．
【分析】直接利用余弦函数的性质求出结果．
解：由余弦函数的性质，
可知函数y＝cosx的单调递增区间为[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）．
故答案为：2kπ﹣π．
2．数列{an}满足a1＝3，an+1＝an+5，则数列{an}的通项公式an＝　5n﹣2　（n∈N*）．
【分析】由题意可得：an+1﹣an＝5，可得数列{an}为等差数列，其公差d为5，根据已知利用等差数列的通项公式即可求解．
解：∵an+1＝an+5，可得：an+1﹣an＝5，
∴数列{an}为等差数列，其公差d为5，
∵a1＝3，
∴数列{an}的通项公式an＝a1+（n﹣1）d＝3+5×（n﹣1）＝5n﹣2，n∈N*．
故答案为：5n﹣2．
3．函数f（x）＝tan（x+）的定义域为　{x|x≠kπ+，k∈Z}　．
【分析】直接根据正切函数的定义域，利用整体思想求出f（x）的定义域．
解：令，解得（k∈Z），
故函数f（x）的定义域为{x|}（k∈Z）．
4．已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，则tan（α+）＝　　．
【分析】由条件利用两角差的正切公式求得tan（α+）的值．
解：∵tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，∴tan（α+）＝＝＝，
5．数列{an}的通项，则前10项的和a1+a2+a3+…+a10＝　5　．
【分析】利用y＝sin是周期为4的函数求解．
解：y＝sin是周期为4的函数，
n＝1，2，3，4时，的值分别为1，0，﹣1，0，
则前10项的和a1+a2+a3+…+a10＝1+0﹣3+0+5+0﹣7+0+9+0＝5．
故答案为：5．
6．已知，且，则cos2α＝　﹣　．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得结果．
解：∵已知，且，
∴1+sin2α＝，且 π＜2α＜，
∴sin2α＝﹣
则cos2α＝﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
7．已知x＝3是函数f（x）＝log2（ax+1）﹣2x的零点，则a＝　21　．
【分析】根据题意，由函数零点的定义可得f（3）＝log2（3a+1）﹣6＝0，解可得a的值，即可得答案．
解：根据题意，x＝3是函数f（x）＝log2（ax+1）﹣2x的零点，
则f（3）＝log2（3a+1）﹣6＝0，
解可得a＝21；
故答案为：21．
8．已知函数y＝arcsin（cosx）的定义域为，则该函数的值域为　（﹣，]　．
【分析】由题意利用反三角函数的定义和性质，求得结果．
解：函数y＝arcsin（cosx）的定义域为，
∴cosx∈（﹣，1]，
则该函数的值域为（﹣，]，
故答案为：（﹣，]．
9．在实数1和81之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令．则数列{an}的通项公式an＝　2（n+2）　．
【分析】由题意，设这n+2个数构成的等比数列为bn，利用等比数列的性质可求Tn＝（）n+2＝9n+2，进而根据已知可求数列{an}的通项公式．
解：由题意，设这n+2个数构成的等比数列为bn，
则b1＝1，bn+2＝81，且b1?bn+2＝b2?bn+1＝b3?bn＝…，
所以Tn＝（）n+2＝9n+2，
从而an＝log3Tn＝log39n+2＝2（n+2）．
故答案为：2（n+2）．
10．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c．设a，b，c满足b2+c2﹣bc＝a2和，则tanB＝　　．
【分析】根据余弦定理表示出cosA，把已知条件b2+c2﹣bc＝a2代入化简后，根据特殊角的三角函数值及cosA大于0即可得到∠A；利用三角形的内角和定理和∠A表示出∠C与∠B的关系，然后根据正弦定理得到与相等，把∠C与∠B的关系代入到中，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后得到一个关于cotB的方程，求出方程的解即可得到cotB的值，根据同角三角函数的关系即可得到tanB的值．
解：由余弦定理b2+c2﹣a2＝2bccosA，
由条件b2+c2﹣bc＝a2，即b2+c2﹣a2＝bc，
则2bccosA＝bc，故cosA＝，所以A＝，
则在△ABC中，∠C＝π﹣∠A﹣∠B＝﹣∠B．
由已知条件，应用正弦定理+＝＝＝＝＝cotB+，
解得cotB＝2，从而tanB＝．
故答案为：．
二、选择题
11．sin240°的值是（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】由题意利用诱导公式，求得结果．
解：sin240°＝sin（180°+60°）＝﹣sin60°＝﹣，
故选：D．
12．设sinα＝﹣，cosα＝，那么下列的点在角α的终边上的是（　　）
A．（﹣3，4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（3，﹣4）
【分析】利用三角函数的定义有，从而可知选C．
解：由于sinα＝﹣，cosα＝，根据，可知x＝4，y＝﹣3，
故选：B．
13．对于函数，下列命题：
①函数对任意x都有．
②函数图象关于点对称．
③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向右平移个单位而得到．
④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到．
其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用函数的对称性判断A，B，函数的图象的平移判断C，判断D，即可得到结果．
解：对于函数，
①函数，x＝是函数的一条对称轴，所以对任意x都有．所以①正确；
②x＝时，f（x）＝sinπ＝0，所以函数图象关于点对称．所以②正确；
③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到．所以③不正确；
④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到，正确．
故选：C．
三、解答题
14．已知α为第二象限角，化简．
【分析】应用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
解：∵α为第二象限角，∴原式＝．
15．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数．
（1）求k的值；
（2）求这段时间水深（单位：m）的最大值．
【分析】（1）由图象利用函数y的最小值，即可求出k的值；
（2）根据函数y的最大值得出这段时间水深的最大值．
解：（1）由图象知，函数y的最小值为2，
即﹣3+k＝2，解得k＝5；
（2）函数y的最大值为3+k＝3+5＝8，
所以这段时间水深的最大值为8m．
16．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝lgx．
（1）当x＜0时，求函数y＝f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＜1的解集．
【分析】（1）可设x＜0，从而根据题意即可得出f（﹣x）＝lg（﹣x）＝﹣f（x），从而得出f（x）＝﹣lg（﹣x）；
（2）根据f（x）的解析式，讨论x＞0，x＝0，和x＜0，由f（x）＜1解出x的范围即可．
解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）＝lgx，
∴f（﹣x）＝lg（﹣x）＝﹣f（x），
∴x＜0时，f（x）＝﹣lg（﹣x）；
（2）当x＞0时，由lgx＜1得，0＜x＜10；
当x＝0时，f（x）＝0＜1；
当x＜0时，由﹣lg（﹣x）＜1得，x，
综上，f（x）＜1的解集为．
17．已知函数．
（1）求函数y＝f（x）的周期；
（2）解三角方程f（x）＝﹣1．
【分析】（1）首先利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
（2）利用（1）的结论，进一步利用三角方程的应用求出结果．
解：（1），
＝，
＝，
＝，
＝，
所以函数的最小正周期为．
（2）令：，
整理得：，
所以或（k∈Z），解得（k∈Z），
三角方程的解集为{x|}（k∈Z）．
18．已知数列{an}的通项公式为是，且．
（1）求证：数列{bn}是等比数列；
（2）设数列{cn}的通项满足，问数列{cn}的前多少项之和最大？
【分析】（1）利用＝＝＝．（n≥2）．即可证明．
（2）可得cn＝，利用当n≤5时，c1＞c2＞…c5＝0，当n＞5时，cn＜0，即可求解．
解：（1）证明：＝＝＝（n≥2），
∴数列{bn}是等比数列；
（2）b1＝a1+a2＝16，＝43﹣n，
∴log4bn＝3﹣n，
∵，
∴cn＝，
当n≤5时，c1＞c2＞…c5＝0，
当n＞5时，cn＜0，
∴数列{cn}的前4项或5项之和最大．