(共22张PPT)
第十三章轴对称
13.4
课题学习
——最短路径问题
学习目标
能够利用轴对称、平移变换解决简单的
最短路径问题，体会图形的变化在解决
最值问题中的作用，感悟转化思想．
引言导入
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．
现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节课我们将利用数学知识探究“将军饮马”和“造桥选址”两个极值问题．
问题1
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
探究新知
探究新知
（1）把A，B两地抽象为两个点；
（2）把河边l近似地看成一条直线，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小．
B
·
l
A
·
探究新知
由这个问题，我们可以联想到下面的问题：
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
B
·
l
A
·
C
连接AB，与直线l相交于一点C，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点C即为所求．
探究新知
作法：
（1）作点B
关于直线l
的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l
相交
于点C．
则点C
即为所求．
B
·
l
A
·
B′
C
如何把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB′的长度相等，你能利用轴对称的有关知识使问题得到解决吗？
·
·
探究新知
证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），
连接AC′，BC′，B′C′，
由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′，
∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，
AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
∴AC＋BC＜AC′＋BC′．
即AC＋BC最短．
B
·
l
A
·
B′
C
·
·
·
C′
探究新知
思考：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC＋BC＜AC′＋BC′？这里“C′”的作用是什么？
若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．
B
·
l
A
·
B′
C
·
·
·
C′
探究新知
问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）
探究新知
如图，把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？
A
B
M
N
a
b
探究新知
（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？
A
B
M
N
a
b
探究新知
（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．
A
B
M
N
a
b
A′
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？
探究新知
（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．
A
B
M
N
a
b
A′
探究新知
在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．
A
B
M
N
a
b
A′
M′
N′
探究新知
N′
证明：在△A′N′B中，
∵A′B＜A′N′＋BN′，
∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．
∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．
即AM＋MN＋BN最小．
A
B
M
N
a
b
A′
M′
探究新知
1．运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．
课堂小结
2．利用平移确定最短路径选址
解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．
课堂小结
课堂小结
课堂小结
再
见第十三章
轴对称
13.4课题学习《最短路径问题》
一、教学目标
让学生能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
二、教学重点及难点
重点：利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
难点：如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为线段（或线段的和）最短问题．
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、刻度尺、直尺
四、相关资源
微课，动画，图片.
五、教学过程
（一）引言导入
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节课我们将利用数学知识探究“将军饮马”和“造桥选址”两个极值问题．
设计意图：直接通过引言导入新课，让学生明确本节课所要探究的内容和方向．
（二）探究新知
问题1如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
1．将实际问题抽象为数学问题
学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识．
（1）把A，B两地抽象为两个点；
（2）把河边l近似地看成一条直线，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小．
2．解决数学问题
（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点C，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点C即为所求．
（2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离和最短？
（3）如何能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使问题得到解决．
（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？
学生独立思考后，尝试画图，完成问题．小组交流，师生共同补充得出：
作法：①作点B关于直线l的对称点B′；
②连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．
3．证明“最短”
师生共同分析，证明“AC＋BC”最短．
证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′，
由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′，
∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
∴AC＋BC＜AC′＋BC′．
即AC＋BC最短．
思考：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC＋BC＜AC′＋BC′？这里“C′”的作用是什么？
学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识．
若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离都大于AC＋BC，就说明AC＋BC最小．
问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）
1．将实际问题抽象为数学问题
把河的两岸看成两条平行线a和b（下图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？
2．解决数学问题
（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？
（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？
（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．
3．证明“最小”
为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．你能完成这个证明吗？
证明：如图，在△A′N′B中，
∵A′B＜A′N′＋BN′，
∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．
∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．
即AM＋MN＋BN最小．
设计意图：通过“将军饮马问题”和“造桥选址问题”的解决，增强学生探究问题的信心，让学生通过轴对称、平移变换把复杂问题进行转化，有效突破难点，感悟转化思想的重要价值．
六、课堂小结
1．运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．
2．利用平移确定最短路径选址
解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值．
七、板书设计
13.4
最短路径问题
运用轴对称解决距离最短问题
利用平移确定最短路径选址
1
