(共22张PPT)
第十三章
轴对称
13.3
等腰三角形
13.3.2
等边三角形
第2课时
学习目标
1
．探索并理解含30°角的直角三角形的性质．
用规范的几何语言进行表达的习惯和能力．
2
．理解含30°角的直角三角形的性质，
并会应用它进行有关的证明和计算．
新课导入
我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？
直角三角形的两个锐角互余，三个角之和等于180°．
今天，我们来看一个特殊的直角三角形，看它的边具有什么性质．
拿出你的30°角的直角三角尺，把它的斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？
结论：
在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．
探究新知
图（1）
图（2）
请同学们准备好两个全等的含30°角的直角三角形，把相等的边拼在一起组成平面图形，有几种拼法？
探究新知
图（3）
探究新知
图（4）
轴对称图形
图（6）
图（5）
轴对称图形
轴对称图形
等边三角形
等腰三角形
探究新知
∴△ABD是等边三角形．
A
B
D
C
∵∠B=∠D=∠BAD=60°，
探究新知
图（6）
在等边△ABD中，
AB
BD
（填“＞”“＜”或“=”），
在Rt△ABC中，
=30°，
30°所对的直角边是
，BC=
AB．
=
∠BAC
BC
探究新知
A
B
D
C
我们仅凭实验操作得出的结论还需证明吗？
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，
∠C=90°，∠A=30°．
求证：BC=
AB．
探究新知
A
B
C
证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，
则∠B=60°．
延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°．
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
探究新知
A
B
C
D
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
你还能用其他方法证明吗？
A
B
C
D
BD=
AB．
∴BC=
探究新知
证明：作∠BCE
=60°，交AB于E，连接CE，
则∠ACE
=90°-60°=30°．
在△ABC
中，
∵∠ACB=90°，∠A
=30°，
∴∠B
=60°．
在△BCE
中，
∵∠BCE=60°，∠B
=60°，
A
B
C
E
探究新知
∴ BC
=BE
=AE
=
AB．
∴ △BCE
是等边三角形．
∴ BC
=BE
=CE．
在△ACE中，
∵ ∠A=30°，∠ACE
=30°，
∴ △AEC是等腰三角形．
∴ CE
=AE．
∴ BC
=BE
=CE
=AE．
A
B
C
E
探究新知
用几何语言表示：
∵ 在Rt△ABC中，
∠C
=90°，∠A
=30°，
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么
它所对的直角边等于斜边的一半.
∴ BC
=
AB．
A
B
C
探究新知
【例】如图是屋架设计图的一部分，点D
是斜梁AB
的中点，立柱BC，DE
垂直于横梁AC，AB
=7.4
m，
∠A
=30°，立柱BC，DE
要多长？
例题解析
A
B
D
E
C
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A
=30°，
∴BC
=
AB，DE
=
AD．
又∵AD
=
AB＝3.7（m），
∴DE
=
AD
=1.85（m）
．
∴BC
=3.7（m）．
答：立柱BC
的长是3.7
m，DE
的长是1.85
m．
例题解析
A
B
D
E
C
C
B
A
1．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB＋BC=12
cm，则AB=
．
8
cm
课堂练习
2．如图：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8
cm，则BD=
，BE=
．
A
C
E
B
D
2
cm
4
cm
课堂练习
A
E
D
C
B
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交边CB于D，若AB=10，AC=5，则图中等于30°的角的个数为（
）．
A．2
B．3
C．4
D．5
B
课堂练习
1．含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2．证明一条线段等于另一条线段一半或2倍的证明思路与方法：
延长一倍或截半的方法将其转化为证明两条线段相等．
课堂小结
再见第十三章轴对称
13.3等腰三角形
13.3.2等边三角形
第2课时
一、教学目标
1．探索并理解含30°角的直角三角形的性质．培养学生用规范的几何语言进行表达的习惯和能力．
2．理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算．
二、教学重点及难点
重点：探索并理解含30°角的直角三角形的性质．
难点：含30°角的直角三角形性质的探索与证明．
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、两个全等的含30°角的三角尺、刻度尺
四、相关资源
《两个含30°角的直角三角形拼图》的动态演示
五、教学过程
（一）情景导入
我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？
学生回忆得出：直角三角形的两个锐角互余，三个角之和等于180°．
今天，我们先来看一个特殊的直角三角形（板书课题：30°角的直角三角形的性质），看它的边具有什么性质．
设计意图：提出问题．创设情境，导入新课．
（二）探究新知
1．拿出你的30°角的直角三角尺，把它的斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？
学生测量，与同伴交流自己的猜想，师生共同得出结论：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．
2．请同学们准备好两个全等的含30°角的直角三角形，把相等的边拼在一起组成平面图形，有几种拼法？
学生动手拼图，互相交流，有6种拼法．
3．探究：在这些图形中，轴对称图形有几个，其中三角形有几个，各是怎样的三角形？说说你的理由．（轴对称图形有3个，其中三角形有2个）
学生观察摆出的两个三角形，从不同的角度说明拼成的图（6）是等边三角形．若学生不能单独回答可以先与同伴交流结论成立的理由，教师可提示：求得∠B＝∠D＝∠BAD＝60°或证∠B＝60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
4．观察，在等边△ABD中，AB
BD（填“＞”“＜”或“＝”），在Rt△ABC中，
＝30°，30°所对的直角边是
，BC＝
AB．
学生观察、思考，得出AB＝BD，∠BAC＝30°，30°所对的直角边是BC，BC＝AB．
5．我们仅凭实验操作得出的结论还需证明吗？
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．其条件和结论分别是什么？如何用几何语言来表达？如何证明？
学生分析条件和结论，并转化成几何语言．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
求证：BC＝AB．
教师纠正和补充学生的发言，引导学生从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD＝BC，连接AD．
证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∠BAC＝30°，则∠B＝60°．
延长BC至D，使CD＝BC，连接AD．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°．
∵AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）．
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
∴BC＝BD＝AB．
你还能用其他方法证明吗？
学生尝试用其他方法进行证明
证明：作∠BCE＝60°，交AB于E，连接CE，
则∠ACE＝90°－60°＝30°．
在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
在△BCE中，
∵∠BCE＝60°，∠B＝60°，
∴△BCE是等边三角形．
∴BC＝BE＝CE．
在△ACE中，
∵∠A＝30°，∠ACE＝30°，
∴△AEC是等腰三角形．
∴CE＝AE．
∴BC＝BE＝CE＝AE．
∴BC＝BE＝AE＝AB．
于是我们得到：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
用几何语言表示：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB．
设计意图：学生经历拼摆三角形和测量三角尺的活动，发现结论，引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明，培养学生的语言转换能力，增强理性认识，体验性质的正确性，提高演绎推理的能力．
（三）例题解析
【例】如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4
m，∠A＝30°，立柱BC，DE要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝AB，DE＝AD．
∴BC＝×7.4＝3.7（m）．
又∵AD＝AB＝3.7（m），
∴DE＝AD＝×3.7＝1.85（m）．
答：立柱BC的长是3.7
m，DE的长是1.85
m．
设计意图：通过例题的讲解，进一步加深对性质的理解，通过应用知识解决具体问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
（四）课堂练习
1．如图：在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＋BC＝12
cm，则AB＝
．
2．如图：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8
cm，则BD＝
，BE＝
．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分线交边CB于D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于30°的角的个数为（
）．
A．2
B．3
C．4
D．5
学生独立完成．
答案：1.
8
cm；
2.
4
cm，2
cm；
3．B．
设计意图：为学生提供演练机会，加强对含30°角的直角三角形性质的理解及掌握．
六、课堂小结
1．含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2．证明一条线段等于另一条线段一半或2倍的证明思路与方法：
延长一倍或截半的方法将其转化为证明两条线段相等．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解和应用含30°角的直角三角形的性质，掌握证明一条线段等于另一条线段一半或2倍的证明思路与方法．
七、板书设计
13.3.2等边三角形（2）
含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
7
