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第十三章轴对称
13.3等腰三角形
13.3.2等边三角形
第1课时
学习目标
1
．通过探究活动等掌握等边三角形的性质和判定
方法．进一步发展探究意识，养成研究性学习的
良好习惯．
2
．综合运用所学知识解决有关等边三角形的问题．
1．等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
从边的角度：两腰相等；
从角的角度：两个底角相等；
从对称性的角度：是轴对称图形、三线合一．
新课导入
新课导入
1．满足什么条件的三角形是等边三角形？
三条边都相等的三角形是等边三角形．
A
B
C
2．请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，
说出它们有什么联系？
等边三角形是特殊的等腰三角形.
新课导入
1．等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
从边的角度：两腰相等；
从角的角度：两个底角相等；
从对称性的角度：是轴对称图形、三线合一．
探究新知
图形
边
角
轴对称图形
等腰
三角形
两边相等
（定义）
两底角相等
（等边对等角）
是（三线合一）
一条对称轴
等边
三角形
三边相等
（定义）
三个角都相等且
每个角都等于60°
是（三线合一）
三条对称轴
2．结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？
你能说说等腰三角形和等边三角形的区别吗？
探究新知
3．对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”这一结论进行证明．
已知：△ABC是等边三角形．
求证：∠A=∠B=∠C=60°．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，BC=AB．
∴∠A=∠B，∠A=∠C．
∴∠A=∠B=∠C．
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=60°．
∴∠A=∠B=∠C=60°．
等边三角形的性质
A
B
C
得到等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角
都等于60°．
几何语言表示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
等边三角形的性质
A
B
C
4．等边三角形有“三线合一”的性质吗？
等边三角形每条边上的中线、高和所对应顶角的平分线都三线合一．
等边三角形的性质
A
B
C
等边三角形是轴对称图形，对称轴有三条，中线（或角平分线、高）所在的直线就是它的对称轴．
5．等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴．
等边三角形的性质
A
B
C
6．等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，能否利用角来判定呢？
讨论：
（1）一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？
（2）一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？
等边三角形的判定
猜想（1）三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B，∠A=∠C，
∴BC=AC，BC=AB．
∴AB=BC=AC．
∴△ABC是等边三角形．
等边三角形的判定
A
B
C
得到等边三角形的判定1：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
几何语言：
在△ABC中，
∵∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形．
A
B
C
等边三角形的判定
猜想：
（2）一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
①当顶角为60°时，两个底角各为60°，由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可得证．
②当底角为60°时，顶角为60°，由“三个角都相等的三角形是等边三角形”也可得证．
等边三角形的判定
得到等边三角形的判定2：
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
几何语言：
在△ABC中，
∵BC=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形．
等边三角形的判定
A
B
C
7．总结等边三角形的判定方法：
（1）三条边相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
等边三角形的判定
【例】如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．
证明：
∵
△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C．
∴∠A=∠ADE=∠AED．
∴△ADE是等边三角形．
A
B
C
D
E
例题解析
1．下列四个说法中，不正确的有（
）
①
三个角都相等的三角形是等边三角形．
②
有两个角等于60°的三角形是等边三角形．
③
有一个是60°的等腰三角形是等边三角形．
④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
B
课堂练习
2．等边三角形的对称轴有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
3．等边三角形中，高、中线、角平分线共有（
）
A．3条
B．6条
C．9条
D．7条
C
A
课堂练习
1．等边三角形的性质：
三条边都相等；
三个角都相等，且都为60°；
三线合一；是轴对称图形，有三条对称轴．
2．等边三角形的判定：
三条边都相等的三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
课堂小结
在判定三角形是等边三角形时：
（1）若三角形是一般三角形，只要找三个角相等或三条边相等；
（2）若三角形是等腰三角形，一般是找一个角等于60°．
课堂小结
再见第十三章轴对称
13.3等腰三角形
13.3.2等边三角形
第1课时
一、教学目标
1．通过探究活动等掌握等边三角形的性质和判定方法．进一步发展学生的探究意识，养成研究性学习的良好习惯．
2．综合运用所学知识解决有关等边三角形的问题．
二、教学重点及难点
重点：等边三角形的性质和判定的探索与应用．
难点：等边三角形性质和判定方法的应用．
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、直尺、刻度尺
四、相关资源
五、教学过程
（一）问题导入
1．满足什么条件的三角形是等边三角形？
三条边都相等的三角形是等边三角形．
2．请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么联系？
等边三角形是特殊的等腰三角形；
设计意图；通过回忆让学生充分准备好本节课学习所需要的基础知识，利用问题探索让学生发现，并初步感悟等腰三角形与等边三角形的联系．
（二）探究新知
1．等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
从边的角度：两腰相等；
从角的角度：两个底角相等（等边对等角）；
从对称性的角度：是轴对称图形、三线合一．
2．将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？
你能说出等腰三角形和等边三角形的区别吗？
3．对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”这一结论进行证明．
已知：△ABC是等边三角形．求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，BC＝AB．
∴∠A＝∠B，∠A＝∠C．
∴∠A＝∠B＝∠C．
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝60°．
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
得到等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
几何语言表示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
4．等边三角形有“三线合一”的性质吗？
等边三角形每条边上的中线、高和所对应顶角的平分线都三线合一．
5．根据轴对称图形的判定，等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴．
等边三角形是轴对称图形，对称轴有三条，中线（或角平分线、高）所在的直线就是它的对称轴（如图）．
6．等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，能否利用角来判定呢？
讨论：（1）一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？
（2）一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？
猜想：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（2）一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
请你将这两个命题进行证明：
（1）已知：在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C．求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A＝∠B，∠B＝∠C，
∴BC＝AC，AC＝AB．
∴AB＝BC＝AC．
∴△ABC是等边三角形．
于是得到等边三角形的判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
符号语言：
在△ABC中，
∵∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形．
（2）证明：①当顶角为60°时，两个底角各为60°，由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可得证．
②当底角为60°时，顶角为60°，由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可也得证．
所以得到等边三角形的判定2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
符号语言：
在△ABC中，
∵BC＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
7．总结等边三角形的判定方法：
（1）三条边相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
设计意图：教师先提出问题，学生独立猜想，然后以小组为单位对本组成员的所有猜想通过画图进行验证，从而得出等边三角形的性质和判定．
（三）例题解析
【例】如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．
证明：△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C．
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．
∴∠A＝∠ADE＝∠AED．
∴△ADE是等边三角形．
教师让学生尝试用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”进行证明．
设计意图：培养学生应用所学知识解决问题的能力与意识，鼓励创新与多角度多方法思考问题，活跃学生的思维，发展创造性．
（四）课堂练习
1．下列四个说法中，不正确的有（
）．
①三个角都相等的三角形是等边三角形
②有两个角等于60°的三角形是等边三角形
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．等边三角形的对称轴有（
）．
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
3．等边三角形中，高、中线、角平分线的线段共有（
）．
A．3条
B．6条
C．9条
D．7条
学生独立完成．
答案：1．B；2．C；3．A．
设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生灵活运用知识的能力．
六、课堂小结
1．等边三角形的性质：
三条边都相等；
三个角都相等，且都为60°；
三线合一；
是轴对称图形，有三条对称轴．
2．等边三角形的判定：
三条边都相等的三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
在判定三角形是等边三角形时，
（1）若三角形是一般三角形，只要找三个角相等或三条边相等；
（2）若三角形是等腰三角形，一般是找一个角等于60°
设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解等边三角形的性质和判定，综合运用等边三角形的性质和判定解决问题．
七、板书设计
13.3.2
等边三角形
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个都等于60°
等边三角形的判定：1.三个角都相等的三角形是等边三角形
2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
6
