第十三章轴对称
13.3等腰三角形
第1课时
一、教学目标
1．探索并证明等腰三角形的两个性质．
2．能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等．
二、教学重点及难点
重点：探索并证明等腰三角形的性质．
难点：证明等腰三角形性质1时辅助线的添加和对性质2中“三线合一”理解和应用．
三、教学用具
略.
四、相关资源
按要求剪纸与教案一致
五、教学过程
（一）问题导入
在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．
问题1：三角形是轴对称图形吗？
有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
问题2：什么样的三角形是轴对称图形？
满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
我们这节课就来认识一种是轴对称图形的三角形——等腰三角形．
设计意图：通过回顾轴对称图形及轴对称性质，引出本节课所要探究的内容，让学生明确探究方向．
（二）探究新知
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？
鼓励学生用不同的方法得到等腰三角形，例如还可以像下面这样来作一个等腰三角形．
作一条直线l，在l上取一点A，在l外取一点B，作出点B关于直线l的对称点C，连结AB，BC，CA，则可得到一个等腰三角形．
思考：
（1）等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是折痕所在的直线．
（2）要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并观察它的两个底角有什么关系．
学生通过折叠，发现折痕两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
由此可以得到等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）．
由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．
等腰三角形的性质1的证明：
证法1：如图，在△ABC中，AB＝AC，作底边BC的中线AD，则BD＝CD．
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠B＝∠C．
证法2：如图，在△ABC中，AB＝AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，
∴∠1＝∠2．
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
∴∠B＝∠C．
证法3：如图，在△ABC中，AB＝AC，作底边BC的高线AD．
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．
∴∠B＝∠C．
几何语言表示：
在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
性质2可以分解为三个命题，下面我们来证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．
已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC的中线．求证：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC．
证明：∵AD是底边BC的中线，
∴BD＝CD．
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠BAD＝∠CAD，
∠ADB＝∠ADC．
∵∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝90°．
∴AD⊥BC．
教师鼓励学生仿照示例口述另两个命题的证明过程．
几何语言表示：
在△ABC中，（1）∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
（2）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，
∴AD⊥BC，BD＝CD．
（3）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD．
在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此得到：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（或顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．
设计意图：通过引导学生动手操作，探索和发现等腰三角形的性质，加深学生对等腰三角形性质的直观感知，并尝试构造全等三角形给出推理证明，锻炼学生探索和发现问题并解决问题的能力．
（三）例题解析
【例】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD．
求：△ABC各角的度数．
分析：根据“等边对等角”的性质，我们可以得到
∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC，
再由∠BDC＝∠A＋∠ABD，就可得到∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2∠A．
再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．
把∠A设为x的话，那么∠ABC，∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，
∠A＝∠ABD（等边对等角）．
设∠A＝x，则
∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x．
于是在△ABC中，有
∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°．
∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°．
设计意图：通过逻辑推理和方程思想求出等腰三角形中的角的度数，让学生进一步巩固等腰三角形的性质“等角对等边”．
（四）课堂练习
1．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是（
）．
．100°
．80°
．70°
．50°
2．如图，在△ABC中，点D在BC上，且有AB＝AC＝CD，BD＝AD，求△ABC中各内角的度数．
学生独立完成后，教师挑一名学生讲解解题思路．
答案：1．．
2．解：∵AB＝AC＝CD，
∴∠B＝∠C，∠1＝∠2．
∵BD＝AD，
∴∠B＝∠3．
又∵∠1＝∠B＋∠3，∠B＋∠3＋∠2＋∠C＝180°，
∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°．
设计意图：综合运用等腰三角形性质、三角形内角和或者外角的性质等知识解决问题．使学生进一步巩固等腰三角形性质1，同时引导学生将与角有关的知识系统化，优化学生的知识结构．
六、课堂小结
1．等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（或顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．
2．性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
3．性质2：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）．
4．等腰三角形常用辅助线（作底边上的中线、作底边上的高、作顶角的平分线）．
5．可以通过三角形全等或利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解等腰三角形的性质，体会轴对称在研究几何问题中的作用。
七、板书设计
13.3等腰三角形
等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
（2）等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
（简写成“三线合一”）．
9(共26张PPT)
第十三章
轴对称
13.3
等腰三角形
13.3.1
等腰三角形
第1课时
学习目标
1
．探索并证明等腰三角形的两个性质．
2
．能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等．
新课导入
问题1：三角形是轴对称图形吗？
有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
问题2：什么样的三角形是轴对称图形？
满足轴对称条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的就是轴对称图形．
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？
得到的△ABC是等腰三角形．
探究新知
A
B
C
（动态演示此过程）
作一条直线l，在l上取一点A，在l外取一点B，作出点B关于直线l的对称点C，连结AB，BC，CA，则可得到一个等腰三角形．
A
B
C
还可以像下面这样来作一个等腰三角形．
l
探究新知
（1）等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折便知：
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是折痕所在的直线．
探究新知
通过折叠，发现折痕两旁的部分能够互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
（2）要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并观察它的两个底角有什么关系．
探究新知
由此可以得到等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）；
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）．
由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．
等腰三角形的性质
证法1：如图，在△ABC中，AB=AC，
作底边BC的中线AD，
则BD=CD．
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠B=∠C．
A
B
D
C
等腰三角形的性质
证法2：如图，在△ABC中，AB=AC，
作顶角∠BAC的角平分线AD，
∴∠1=∠2．
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
∴∠B=∠C．
A
B
D
C
等腰三角形的性质
证法3：如图，在△ABC中，AB=AC，
作底边BC的高线AD．
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．
∴∠B=∠C．
A
B
D
C
等腰三角形的性质
几何语言表示：
在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
性质1：等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）；
A
B
C
等腰三角形的性质
性质2可以分解为三个命题，下面我们来证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．
已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的中线．
求证：∠BAD=∠CAD，AD⊥BC．
A
B
D
C
等腰三角形的性质
证明：
∵AD是底边BC的中线，
∴BD=CD．
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
A
B
D
C
等腰三角形的性质
∴∠BAD=∠CAD，
∠ADB=∠ADC．
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=90°．
∴AD⊥BC．
A
B
D
C
等腰三角形的性质
几何语言表示：
在△ABC中，
（1）∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．
（2）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，
∴AD⊥BC，BD=CD
（3）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD．
A
B
D
C
等腰三角形的性质
在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此得到：
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（或
顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．
等腰三角形
【例】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，
且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
A
B
C
D
例题解析
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
A
B
C
D
例题解析
解得x=36°．
∴在△ABC中，
∠A=36°，
∠ABC=∠C=72°．
A
B
C
D
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
例题解析
1．如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是（
）.
A．100°
B．80°
C．70°
D．50°
A
课堂练习
解：∵AB=AC=CD，
∴∠B=∠C，∠1=∠2．
∵BD=AD，
∴∠B=∠3．
又∵∠1=∠B＋∠3，∠B＋∠3＋∠2＋∠C=180°，
∴∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°．
2．如图，在△ABC中，点D在BC上，且有AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各内角的度数．
1
3
2
A
B
C
D
课堂练习
1．等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（或顶
角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．
2．性质1：等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）．
3．性质2：等腰三角形的顶角的顶角平分线、底边上
的中线、底边上的高互相重合
（简写成“三线合一”）．
课堂小结
4．等腰三角形常用辅助线（作底边上的中线、作底边上的高、作顶角的平分线）．
5．可以通过三角形全等或利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等．
课堂小结
课堂小结
再见
