青岛版数学九年级上册1．3相似三角形的性质课件（共56张PPT）

(共56张PPT)
1.3相似三角形的性质
1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.
（重点）
2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点）
3.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.（重点）
4.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点）
学习目标
A
C
B
A1
C1
B1
问题：
△ABC与△A1B1C1相似吗？
导入新课
A
C
B
A1
C1
B1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
△ABC∽
△A1B1C1
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
量一量，猜一猜
D1
A1
C1
B1
∟
A
C
B
D
∟
ΔABC
∽
ΔA1B1C1,
,CD和C1D1分别是它们的高,
你知道
等于多少吗？
如图，△ABC
∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
合作探究
相似三角形对应高的比等于相似比
知识点
讲授新课
∵△ABC
∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B'
，
解：如图，分别作出
△ABC
和
△A'
B'
C'
的高
AD
和
A'
D'
．
则∠ADB
=∠A'
D'
B'=90°.
∴△ABD
∽△A'
B'
D'
.
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
由此得到：
相似三角形对应高的比等于相似比．
　　类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．
归纳总结
ΔABC∽
ΔA1B1C1
，BD和B1D1是它们的中线，
已知
,B1D1
=4cm，则BD=
cm.
6
2.ΔABC∽
ΔA1B1C1,
AD和A1D1是对应角平分
线，已知AD=8cm，
A1D1=3cm
,则
ΔABC与
ΔA1B1C1的对应高之比为
.
8:3
练一练
3.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2
m，CD=4
m，点P到CD的距离是3
m，则P到AB的距离是
m.
P
A
D
B
C
2
4
1.5
例：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60
cm，AD=
40
cm，四边形PQRS是正方形.
(1)AE是Δ
ASR的高吗？为什么？
(2)
ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
(3)求正方形PQRS的边长.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
典例精析
（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？
解：
AE是ΔASR的高.
理由：
∵AD是ΔABC的高,
∴
∠ADC=90°.
∵四边形PQRS是正方形,
∴SR∥BC.
∴∠AER=∠ADC=90°.
∴
AE是ΔASR的高.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
（2）
ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
解：
ΔASR与ΔABC相似.
理由:
∵
SR∥BC,
∴
∠ASR=∠B,
∠ARS=∠C.
∴
ΔASR与ΔABC相似.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
（3）求正方形PQRS的边长.
是方程思想哦！
解：∵
ΔASR
∽
ΔABC,
AE,AD分别是ΔASR
和ΔABC
对应边上的高,
∴
.
设正方形PQRS的边长为
x
cm,
则SR=DE=x
cm,AE=(40-x)cm.
∴
解得x=24.
∴正方形PQRS的边长为24
cm.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
变式：
如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm.
设SP=x
cm，则SR=2x
cm.
得到：
所以
x=2,
2x=4.
S矩形PQRS=
2×4=8
cm2
.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
分析：
情况一：SR=2SP.
设SR=x
cm，则SP=2x
cm.
得到：
.
所以
x=2.5,
2x=5.
S矩形PQRS=2.5×5=12.5
cm2
.
原来是分类思想呀！
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
分析：
情况二：SP=2SR.
如图，AD是ΔABC的高，BC=5
cm，AD=10
cm.
相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比
问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？
图中△ABC和△A′B′C′相似，AD,A′D′分别为对应边上的中线，BE,B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
A
B
C
D
E
A'
B'
D'
C'
E'
知识点
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
求证：
证明：∵
△ABC∽△A′B′C′.
∴
∠B′=
∠B,
．
又AD,AD′分别为对应边的中线,
∴
△ABD∽△A′B′D′.
A'
B'
D'
C'
E'
A
B
C
D
E
验证猜想1
由此得到：
相似三角形对应的中线的比也等于相似比．
同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比．
归纳总结
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
求证：
证明：∵
△ABC∽△A′B′C′，
∴
∠B′=
∠B,
∠B′A′C′=
∠BAC．
又AD,AD′分别为对应角的平分线，
∴
△ABD∽△A′B′D′.
A'
B'
D'
C'
E'
A
B
C
D
E
验证猜想2
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比，即相似三角形对应线段的比等于相似比．
归纳总结
例：两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为xcm，
则由相似性质有
.
解得x＝18.
较长的角平分线长为24cm.
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？
A
B
C
A1
B1
C1
问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,它们都相似吗？
(1)
(2)
(3)
1
2
3
(1)与(2)的相似比=______,
(1)与(2)的周长比=______，
(1)与(3)的相似比=______,
(1)与(3)的周长比=______.
1∶
2
结论：
相似三角形的周长比等于______．
相似比
（都相似）
1∶
3
1∶
2
1∶
3
有什么规律吗？
相似三角形周长比等于相似比
知识点
讲授新课
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
求证：相似三角形的周长比等于相似比.
A
B
C
A1
B1
C1
想一想：怎么证明这一结论呢？
相似三角形周长的比等于相似比.
归纳总结
(1)与(2)的相似比=______,
(1)与(2)的面积比=______
(1)与(3)的相似比=______,
(1)与(3)的面积比=______
1
2
3
1∶
2
（1）
（2）
（3）
1∶
4
1∶
3
1∶
9
问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,回答以下问题：
结论：
相似三角形的面积比等于____________．
相似比的平方
相似三角形面积的比等于相似比的平方
知识点
证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,
如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.
∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′.
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
想一想：怎么证明这一结论呢？
∵△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
归纳总结
1.已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2：3，则对
应边上中线之比
，面积之比为
.
2.
如果两个相似三角形的面积之比为1:9，
周长的比为______
.
1:3
2:3
4:9
练一练
例：将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离.
　
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC.
即△ABC平移的距离为
解：在
△ABC
和
△DEF
中，
∵
AB=2DE，AC=2DF，
又
∵∠D=∠A，
∴
△DEF
∽
△ABC
，相似比为
1
:
2.
A
B
C
D
E
F
∴
例
如图，在
△ABC
和
△DEF
中，AB
=
2
DE
，AC
=
2
DF，∠A
=
∠D.
若
△ABC
的边
BC
上的高为
6，面积为
，求
△DEF
的边
EF
上的高和面积.
A
B
C
D
E
F
∵△ABC
的边
BC
上的高为
6，面积为
，
∴△DEF
的边
EF
上的高为
×6
=
3，
面积为
如果两个相似三角形的面积之比为
2
:
7，较大三角形一边上的高为
7，则较小三角形对应边上的高为______.
练一练
例
如图，D，E
分别是
AC，AB
上的点，已知△ABC
的面积为100
cm2，且
，求
四边形
BCDE
的面积.
　
∴
△ADE
∽△ABC.
∵
它们的相似比为
3
:
5，
∴
面积比为
9
:
25.
B
C
A
D
E
解：∵
∠BAC
=
∠DAE，且
又∵
△ABC
的面积为
100
cm2，
∴
△ADE
的面积为
36
cm2
.
∴
四边形
BCDE
的面积为100－36
=
64
(cm2).
B
C
A
D
E
如图，△ABC
中，点
D、E、F
分别在
AB，AC，BC
上，且
DE∥BC，EF∥AB.
当
D
点为
AB
中点时，求
S四边形BFED
:
S△ABC
的值.
A
B
C
D
F
E
练一练
解：∵
DE∥BC，D
为
AB
中点，
∴
△ADE
∽
△ABC
，
相似比为
1
:
2，
面积比为
1
:
4.
∴
A
B
C
D
F
E
又∵
EF∥AB，
∴
△EFC
∽
△ABC
，相似比为
1
:
2，
面积比为
1
:
4.
设
S△ABC
=
4，则
S△ADE
=
1，S△EFC
=
1，
S四边形BFED
=
S△ABC－S△ADE－S△EFC
=
4－1－1
=
2，
∴
S四边形BFED
:
S△ABC
=
2
:
4
=
3．两个相似三角形对应中线的比为
，
则对应高的比为______
.
2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角平分线的比为______.
2∶
3
1．两个相似三角形的相似比为
,
则对应高的比为_________,
则对应中线的比为_________.
随堂练习
解：∵
△ABC∽△DEF，
　
解得,EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2cm.
A
G
B
C
D
E
F
H
4.已知△ABC∽△DEF，BG，EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.
5.如图，AD是△ABC的高，AD=h,
点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当
时，求DE的长.如果
呢？
　
∴△ASR∽△ABC
(两角分别相等的两个三角形相似).
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
B
A
E
R
C
D
S
∴SR∥BC.
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
(相似三角形对应高的比等于相似比)，
当
时，得
解得
B
A
E
R
C
D
S
当
时，得
解得
选做题：
6.
一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图（1）、（2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好.（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）
F
A
B
C
D
E
（1）
F
G
B
A
C
E
D
（2）
相信自己是最棒的！
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
7.AD是ΔABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中小正方形的边长.
A
C
B
D
(6)
A
C
B
D
(5)
D
C
B
A
(4)
A
C
B
D
(3)
D
C
B
A
(1)
A
C
B
D
(2)
8.
判断：
(1)
一个三角形的各边长扩大为原来的
5
倍，这个
三角形的周长也扩大为原来的
5
倍
(
)
(2)
一个四边形的各边长扩大为原来的
9
倍，这个
四边形的面积也扩大为原来的
9
倍
(
)
√
×
10.
连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积
比等于_____.
1
:
2
1
:
4
9.
在
△ABC
和
△DEF
中，AB＝2
DE，AC＝2
DF，
∠A＝∠D，AP，DQ
是中线，若
AP＝2，则
DQ
的值为
(
)
A．2
B．4
C．1
D.
C
11.
两个相似三角形对应的中线长分别是
6
cm
和
18
cm，若较大三角形的周长是
42
cm，面积是
12
cm2，则较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.
14
12.
如图，这是圆桌正上方的灯泡
(点A)
发出的光线照
射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为
1.2
米，桌面距离地面为
1
米，若灯泡距离地面
3
米，
则地面上阴影部分的面积约为多少
(结果保留两位
小数)？
A
D
E
F
C
B
H
解：∵
FH
=
1
米，AH
=
3
米，
桌面的直径为
1.2
米，
∴
AF
=
AH－FH
=
2
(米)，
DF
=
1.2÷2
=
0.6
(米).
∵DF∥CH，
∴△ADF
∽△ACH，
A
D
E
F
C
B
H
∴
即
解得
CH
=
0.9米.
∴
阴影部分的面积为：
(平方米).
答：地面上阴影部分的面积为
2.54
平方米.
13.
△ABC
中，DE∥BC，EF∥AB，已知
△ADE
和
△EFC
的面积分别为
4
和
9，求
△ABC
的面积.
A
B
C
D
F
E
解：∵
DE∥BC，EF∥AB，
∴
△ADE
∽△ABC，
∠ADE
=∠EFC，∠A
=∠CEF，
∴△ADE
∽△EFC.
又∵S△ADE
:
S△EFC
=
4
:
9，
∴
AE
:
EC=2:3，
则
AE
:
AC
=2
:
5，
∴
S△ADE
:
S△ABC
=
4
:
25，∴
S△ABC
=
25.
14.
如图，△ABC
中，DE∥BC，DE
分别交
AB，AC
于
点
D，E，S△ADE＝2
S△DCE，求
S△ADE
∶S△ABC.
解：过点
D
作
AC
的垂线，交点为
F，则
∴
又∵
DE∥BC，
∴
△ADE
∽△ABC.
A
B
C
D
E
∴
即
S△ADE
:
S△ABC
＝4
:
9.
A
B
C
D
E
相似三角形的性质
相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
相似三角形对应中线的比等于相似比
课堂小结
相似三角形的性质
相似三角形周长之比等于相似比
相似三角形面积之比等于相似比的平方