一元二次方程第六讲：韦达定理与根的判别式
教学目标：学会韦达定理的推导过程，熟练运用韦达定理解决问题。理解根的判别式的作用，能够运用根的判别式判断根的情况。
教学重点：能够辨析韦达定理的使用条件，熟练掌握韦达定理及韦达定理的相关变形，能够用根的判别式判断根的不同情况。
韦达定理
利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-，二根之积等于，也可以表示为x+x=-，x
x=。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。
根的判别式：
一元二次方程中，叫做的根的判别式，通常用“”来表示，即
I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；
III当△<0时，一元二次方程没有实数根。
常见考点
1.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（
??）
A.?0???B.?﹣1?
??C.?2????D.?﹣3
2.已知关于x的方程
=0.
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
（2）当a=1时，求该方程的根。
3.一元二次方程x2+mx+2m=0（m≠0）的两个实根分别为x1、x2则=________?
举一反三
1.
若方程有实数根，则k的取值范围是
.
2.若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为________．
3.关于x的一元二次方程
．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
4.
已知m是负整数，关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的两根是x1，x2，若x1+x2＞x1x2，则m的值等于
．
5.
已知m，n是方程x2﹣2017x+2018＝0的两根，则（n2﹣2018n+2
019）（m2﹣2018m+2019）＝
．
6.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．
课堂作业
一、选择题
1．不解方程，判别方程的根的情况是
(
)
A.
有两个相等的实数根
B.
有两个不相等的实数根
C.
只有一个实数根
D．没有实数根
2．下列方程没有实数根的是
(
)
A．
B．
C．
D．
3．下列方程有实数根的是
(
)
A.
B．
C．
D．
4．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
(
)
A.
m>-1
B．m<-2
C．m≥0
D．m<0
二、填空题
5．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则是的值为_______．
6．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是__________．
7．在-9，-6，-3，-1，2，3，6，8，11这九个数中，任取一个作为a值，能够使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是_________．
8．在等腰?ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程的两实数根，则m的值是___________．
三、解答题
9．不解方程，判断下列关于x的一元二次方程的根的情况：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
10．已知关于x的方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)当m为何值时，方程的一个实数根为-1？并求出此时方程的解．
11．已知关于x的一元二次方程.
(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值．
(2)若m+2的值与相等，求的值．
12．已知a、b、c为三角形的三边．求证：方程没有实数根．
13．已知关于x的一元二次方程埘
(m>0).
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)设方程的两个实数根分别为、
(其中<)．若y是关于m的函数，且，求这个函数的解析式．
课堂作业答案
1．B
2．D
3．C
4．A
5．1
6．k≤
7．
8．32或36
9．(1)有两个不相等的实数根
(2)有两个相等的实数根
(3)没有实数根
10．(1)
,无论m取何值时，>0．方程有两个不相等的实数根
(2)
方程的一个根为-1,
1-(m+2)+2m-1=0．解得m=2．原方程可化为
解得
11．(1)-l或7
(2)4
12．
原方程没有实数根
13．(1)
是关于x的一元二次方程，
．当m>0时，>0，即>0．方程有两个不相等的实数根
(2)由求根公式，得,·或x=1
m>0,
,
,
,.
y=-2=
,即y=
(m>0)一元二次方程第六讲：韦达定理与根的判别式
◆基础知识作业
1.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为____________，确定__________的值，当__________时，把a,b,c的值代入公式，x1，2=_________________求得方程的解.
2、把方程4
—x2
=
3x化为ax2
+
bx
+
c
=
0(a≠0)形式为
，则该方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为
。
3.方程3x2－8=7x化为一般形式是________，a=__________,b=__________,c=_________,方程的根x1=_____,x2=______.
4、已知y=x2-2x-3，当x=
时，y的值是-3。
5.把方程（x-）(x+）+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是(
)
A.5x2-4x-4=0
B.x2-5=0
C.5x2-2x+1=0
D.5x2-4x+6=0
6.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（
）
A.x1、2=
B.x1、2=
C.x1、2=
D.x1、2=
7．方程的根是（
）
A．
B．
C．
D．
8.方程x2+()x+=0的解是（
）
A.x1=1,x2=
B.x1=－1,x2=－
C.x1=,x2=
D.x1=－,x2=－
9.下列各数中，是方程x2－(1+)x+=0的解的有（
）
①1+
②1－
③1
④－
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
10.
运用公式法解下列方程:
(1)5x2+2x－1=0
(2)x2+6x+9=7
◆能力方法作业
11．方程的根是
12．方程的根是
13.2x2－x－5=0的二根为x1=_________，x2=_________.
14.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有实数解的条件是__________.
15.如果关于x的方程4mx2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.
16．下列说法正确的是（
）
A．一元二次方程的一般形式是
B．一元二次方程的根是
C．方程的解是x＝1
D．方程的根有三个
17．方程的根是（
）
A．6，1
B．2，3
C．
D．
18.不解方程判断下列方程中无实数根的是(
)
A.-x2=2x-1
B.4x2+4x+=0;
C.
D.(x+2)(x-3)==-5
19、已知ｍ是方程ｘ2－ｘ－１＝０的一个根，则代数ｍ2－ｍ的值等于
（
）
A、１
B、－１
C、0
D、2
20.若代数式x2+5x+6与－x+1的值相等，则x的值为（
）
A.x1=－1，x2=－5
B.x1=－6，x2=1
C.x1=－2，x2=－3
D.x=－1
21.解下列关于x的方程:
(1)x2+2x－2=0
(2).3x2+4x－7=0
(3)(x+3)(x－1)=5
（4)(x－)2+4x=0
22.解关于x的方程
23．若方程（m－2）xm2－5m+8+(m+3)x+5=0是一元二次方程，求m的值
24.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0.
求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.
◆能力拓展与探究
25．下列方程中有实数根的是(
)
(A)x2＋2x＋3=0．
(B)x2＋1=0．
(C)x2＋3x＋1=0．
(D)．
26．已知m，n是关于x的方程（k＋1）x2-x+1=0的两个实数根，且满足k+1=(m+1)(n+1)，则实数k的值是
．
27.
已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（
）
A.
B.
C.
且
D.
且
答案
1.一般形式
二次项系数、一次项系数、常数项
b2－4ac≥0
2、x2
+
3x
—4=0，
1、3、—4；
3.3x2－7x－8=0
3
－7
－8
4、0、2
5.A
6.D
7．B
8.D
9.B
10.
(1)解：a=5,b=2,c=－1
∴Δ=b2－4ac=4+4×5×1=24＞0
∴x1·2=
∴x1=
(2).解：整理，得：x2+6x+2=0
∴a=1,b=6,c=2
∴Δ=b2－4ac=36－4×1×2=28＞0
∴x1·2==－3±
∴x1=－3+,x2=－3－
11．x1=－1，x2=－3
12．x1=0，x2=－b
13.
14.
15．
16．D
17．C．
18.B
19、A
20.A
21.
(1)x=－1±;
(2)x1=1，x2=－
(3)x1=2，x2=－4;
(4)25.x1=x2=－
22.X=a+1b1
23．m=3
24.(1)Δ=2k2+8>0,
∴不论k为何值,方程总有两不相等实数根.
25．
C
26.
-2
27.
C
