一元二次方程第七讲：一元二次方程应用（1）
教学目标：学会一元二次方程应用常见类型的数字问题的思考方式，能够找到题目中的等量关系并列出正确的方程。对方程进行求解要注意实际情况来判断是否需要取舍。
教学难点：对于数字问题的一元二次方程的应用题，要能够熟练准确的列出方程并作出正确答案。
数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。
常见考点
观察等式：．你还能找到其他五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果设这五个连续整数中的第一个数为x，那么它后面的四个数可依次表示为_______，_______，_______，_______．根据题意，可得方程________________________________．
印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气，告我总数共多少，两队猴子在一起？”
举一反三
1.有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．
2.有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？
课堂作业
若两个连续整数的积是56，则它们的和是
(
)
±15
B．15
C．－15
D．11
一个直角三角形的三边长是连续整数，求这三条边的长．
若两个连续整数的积为56，则它们的和为_______．
已知两个数的和等于12，积等于32，则这两个数是_______．
有面积为54
cm2的长方形，将它一边剪短5
cm，另一边剪短2
cm，恰好为一个正方形，则这个正方形的边长为_______．
参加新年晚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手10次，则有_______人参加聚会．
某学校有一同学患了流感，经过两轮传染后共有121名同学患了流感，每轮传染中平均一个同学传染了几个同学？一元二次方程第七讲：一元二次方程应用（1）
【基础巩固】
1．某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元，则平均每次调价的百分率是(
)
A．9%
B．10%
C．11%
D．12%
2．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1
000万元，若平均每月的增长率为x，则由题意列方程应为
(
)
A．200(1＋x)2＝1000
B．200＋200×2x＝1000
C．200＋200×3x＝1000
D．200[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝1000
3．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200
kg，出油率为50%(即每100
kg花生可压榨花生油50
kg)．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132
kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为
(
)
A．20%
B．30%
C．50%
D．120%
4．若两个连续整数的积是56，则它们的和是
(
)
A．±15
B．15
C．－15
D．11
5．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是_______．
6．某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为_______万元．
7．一条长64
cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于160
cm2，则这两个正方形的边长分别为_______．
8．某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，若设每年增长率为x，则应列出的方程是_______．
9．某工厂第一季度生产机床400台，如果每季度比上一季度增长的百分率相同，结果第二季度与第三季度共生产了1056台机床，这个百分率是_______．
10．一个直角三角形的三边长是连续整数，求这三条边的长．
11．一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是多少？
12．有一张长为80
cm、宽为60
cm的薄钢片，在4个角上截去相同的4个小正方形，然后做成底面积为1500
cm2无盖的长方体盒子°求截去小正方形的边长．
【拓展提优】
13．一工厂计划2012年的成本比2010年的成本降低15%，如果设每一年比上一年降低的百分率为x，那么可列方程是
(
)
A．(1－x)2＝15%
B．(1＋x)2＝1＋15%
C．（1－x)2＝1＋15%
D．(1－x)2＝1－15%
14．惠民新村分给小慧家一套价格为12万元的住房．按要求，需首期（第一年）付房款3万元，从第二年起，每年应付房款0.5万元与上一年剩余房款的利息的和．假设剩余房款年利率为4%，小慧列表推算如下：
若第n年小慧家仍需还款，则第n年应还款_______万元(n>1)．
15．某人购买了1000元债券，定期一年，到期兑换后他用去了440元，然后把剩下的钱又全部购买了这种债券，定期仍为一年，到期后他兑现得款624元，求这种债券的年利率．
16．某科技公司研制成功一种产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，贷款的合同上约定两年到期时，一次性还本付息，利息为本金的8%．该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本息外，还盈余72万元．若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分率相同，试求这个百分率．
17．某工程队在实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程．原计划每天拆迁1250
m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%．从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440
m2．求：
(1)该工程队第一天拆迁的面积；
(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分率相同，求这个百分率．
18．一个批发与零售兼营的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．现有学生小王来购买铅笔，如果给学校九年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用(m2－1)元(m为正整数，且m2－1>100)；如果多买60支，则可以按批发价付款，同样需用(m2－1)元，已知按批发价每购买15支比按零售价每购买15支少付款1元，试求这个学校九年级共有多少名学生，并确定m的值．
参考答案
【基础巩固】
1．B
2．D
3．A
4．A
5．20%
6．220
7．4
cm、12
cm
8．200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝728
9．20%
10．3，4，5
11．7
12．15
cm
【拓展提优】
13．D
14．0.5＋(10－0.5n)×4%
15．4%.
16．20%.
17．(1)1000
m2
(2)20%
18．有300名学生，m＝11．一元二次方程第八讲：一元二次方程应用（2）
教学目标：理解有关于一元二次方程应用中几何问题的常规解题思路，对于几何问题和方程的结合有一个新的认识。
教学重点：通过一个未知数表示整个图形的面积，需要对题目分析比较透彻，对于整个图形的面积求法有对应的思路。
几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。
常见考点：
小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案供妈妈挑选．请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的x的值．
如图①所示的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度，如图②，《思维游戏》这本书的长为21
cm，宽为15
cm，厚为1
cm，现有一张面积为875
cm2的矩形纸包好了这本书，展开后如图①所示，求折叠进去的宽度．
举一反三
1．有一个矩形木板，长是30
cm，宽是20
cm，中间挖去144
cm2的矩形，剩下的木板四周一样宽，若设剩下木板的宽度为xcm，根据题意，可得方程_______．
2．将一根长为20
cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)如果这两个正方形的面积之和为17
cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
(2)这两个正方形的面积之和可能等于12
cm2吗？请说明理由．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6
cm，BC＝12
cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时点Q从点B沿BC向点C以2
cm/s的速度移动，问：几秒后△PDQ的面积等于矩形ABCD面积的一半？
4．如图，在宽20
m，长32
m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直），余下为试验田，要使试验田的面积是570
m2，问：道路应该多宽？
5．如图，王大妈要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，养鸡场的一面靠墙（墙长18
m），墙对面有一个2m宽的门，另三面用篱笆（门除外）围成，篱笆总长度是33
m，养鸡场的长和宽各是多少米？
课堂作业
如图，用一块长80cm、宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图所示的底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子，如果设截去的小正方形的边长为x
cm，那么长方体盒子底面的长为
，底面的宽为
，为了求出x的值，可列出方程
．
四周有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m．如果地毯中央长方形图案的面积为18rn2，那么花边有多宽?如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为
m，宽为
m．根据题意，可得方程
．
3．在一幅长90cm、宽40cm、的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72％，那么金边的宽应该是多少?
4．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为l米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元?
5．如图，要在长32m、宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积共
570
m2，问道路宽应为多少?
6．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2︰1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元，如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．
课堂作业答案
1．(80－2x)cm
(60－2x)cm
(80－2x)(60－2x)＝1500
2．(8－2x)
(5－2x)
(8－2x)(5－2x)＝18
3．5
cm．
4．700元
5．1
m
6．长为1米，宽为0．5米一元二次方程第八讲：一元二次方程应用（2）
◆回顾归纳
1．用一元二次方程解有关面积的问题，要熟悉一些基本图形的面积的计算公式，如矩形的面积=______，正方形面积=______，三角形面积=______，梯形面积=_______．
2．用一元二次方程解有关增长率的问题．若原来的数量为a，平均增长率为x，那么增长一次后的数量为_______，增长两次后的数量是________．
◆课堂测控
用一元二次方程解有关面积的问题
1．用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形，若设这个矩形的长为xcm，则宽_____，利用面积这个等量关系得_______．
2．餐桌桌面是长160cm，宽100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下来的边等宽，小强想帮妈妈求出四周垂下来的边宽，如果设边宽为xcm，所列方程应为_______．
3．某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（
）
A．300（1+x）=363
B．300（1+x）2=363
C．300（1+2x）=363
D．363（1－x）2=300
4．李老师拿着一根长为100cm的金属丝准备用来做一个矩形框子，王明认为只能做成一个面积为400cm2的矩形框子，张珂认为只能做成一个面积为600cm2的矩形框子，他们的解答如下：
王明：设矩形框子的一边长为xcm，则另一边长为（50－x）cm，根据题意得
x（50－x）=400，整理得x2－50x+400=0．
解得x1=40，x2=10．
∴矩形框子长为40cm，宽为10cm．
张珂：设矩形框子一边为xcm，则另一边长为（50－x）cm，根据题意得
x（50－x）=600，整理得x2－50x+600=0．
解得x1=30，x2=20．
∴矩形框子长为30cm，宽为20cm．
你认为他们哪一个正确？你能否做成面积为800cm的矩形框子？为什么？你能做成最大的矩形框子面积是多少？
参考答案
回顾归纳
1．长×宽
边长的平方
×底×高
（上底+下底）×高
2．a（1+x）
a（1+x）2
课堂测控
1．11－x
x（11－x）=30
2．（160+2x）（100+2x）=2×160×100
3．B
4．都正确，设矩形框子一边为x，则x（50－x）=800．
整理得x2－50x+800=0，∵b2－4ac=502－4×800=－700<0，
∴此方程无实数根，所以无法做成面积为800cm2的矩形框子；当矩形长与宽相等，都等于25cm时，矩形变为正方形，面积最大，最大面积为625cm2．
5%．一元二次方程第九讲：一元二次方程应用（3）
教学目标：理解增长率的实际含义，能够掌握增长率问题的变化情况的思考方法，找到对应的等式列出方程并求解。
教学重点：通过对于题目的分析，分析出增长率的公式并进行实际的求解。增长率的变化公式是固定的，但是对于题目的分析要仔细，看好求的是整体还是某个单独的个体。
增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（），增长率（），变化的次数（），变化后的基数（）,这四者之间的关系可以用公式表示。
常见考点：
某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．
168（1+x）2=128
B．
168（1﹣x）2=128
C．
168（1﹣2x）=128
D．
168（1﹣x2）=128
某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（
）
A．
48（1﹣x）2=36
B．
48（1+x）2=36
C．
36（1﹣x）2=48
D．
36（1+x）2=48
某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（
）
A．
50（1+x2）=196
B．
50+50（1+x2）=196
C．
50+50（1+x）+50（1+x2）=196
D．
50+50（1+x）+50（1+2x）=196
某楼盘房价为12
000元／m2，开发商连续两次进行涨价销售，若设每次涨价的平均增长率为x，则第一次涨价后的价格为______元／m2；第二次涨价后的价格为______元／m2．
据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m2，2013年同期将达到8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A．7600（1+x%）2=8200
B．7600（1﹣x%）2=8200
C．7600（1+x）2=8200
D．7600（1﹣x）2=8200
某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为
．
举一反三
某公司从银行贷款20万元资金。约定两年到期时一次性还本付息，年利率6％，该公司利用这批贷款经营，两年到期后除还清贷款和利息外，还余6．4万元．若在经营期问每年增长的百分数相同，试求这个百分数．
随着城市人口的不断增加，美化城市、改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某城市计划2年后要将该城市的绿地面积在今年的基础上增加44％，同时要求该城市2年后人均绿地的占有量在今年的基础上增加21％，为保证实现这个目标，这两年该城市人口的年平均增长率应控制在多少以内(精确到1％)?
某同学根据2004年江苏省内五个城市商品房销售均价(即销售平均价)的数据，绘制了如下统计图．
(1)这五个城市2004年商品房销售均价的中位数、极差分别是多少?
(2)若2002年A城市的商品房销售均价为1600元／平方米，试估计A城市从2002年到2004年商品房销售均价的年平均增长率约是多少(要求误差小于1％)．
课堂作业
某种型号的电脑，原售价7200元／台，经连续两次降价后，现售价为3528元／台，则平均每次降价的百分率为
．
2．生产某种产品原来每吨耗电28．5度，经过两次改进工艺后，现在每吨耗电18．24度，则平均每次降低耗电量的百分率是
．
3．某个体经商户第一年以5万元的资金投入，获得8％的利润，第二年以5万元和第一年的利润投人，获得6500元的利润，则两年的平均利润率为
．
4．某工厂的产品，原来每件成本为300元，连续两次降低成本后，现在成本为192元，如果每次降低成本的百分数相同，求这个百分数．如果设两次降低的百分数为x，那么列出的如下四个方程中，正确的是
(
)
A．300(1－x％)2＝192
B．300(1－x)
2＝192
C．192(1＋x％)
2＝300
D．192(1＋x)
2＝300
5．某超市1月份的营业额为200万元，1月、2月、3月的营业额共l000万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为
(
)
A．200(1＋x)
2＝l
000
B．200＋200·2·x＝l000
C．200＋200·3·x＝l
000
D．200[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]
＝1
000
6．某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训20万人次，那么每年接受科技培训的人次的平均增长率是多少?
7．某商厦二月份的销售额为100万元，三月份的销售额下降了20％，商厦从四月份起改进经营措施，销售额稳步上升，五月份达135．2万元，求四、五两个月的平均月增长率．
8．某电脑公司2005年的各项经营收入中，经营电脑配件的收人为600万元，占全年经营收入的40％，该公司预计2007年经营总收入要达到2160万元，且计划从2005年到2007年每年经营总收入的年增长率相同．问2006年经营总收入是多少万元?
课堂作业答案
1．30％
2．20％
3．10％
4．B
5．D
6．50％
7．30％
8．1
800万元一元二次方程第九讲：一元二次方程应用（3）
◆回顾归纳
1．用一元二次方程解有关面积的问题，要熟悉一些基本图形的面积的计算公式，如矩形的面积=______，正方形面积=______，三角形面积=______，梯形面积=_______．
2．用一元二次方程解有关增长率的问题．若原来的数量为a，平均增长率为x，那么增长一次后的数量为_______，增长两次后的数量是________．
用一元二次方程解与增长率有关的问题
1．某磷肥厂今年一月份的磷肥产量为4万吨，若二月份的产量平均增长率为x，则二月份的产量为______．若三月份产量的平均增长率为x，则三月份产量为_____．
2．某大型超市连锁集团元月份销售额为500万元，三月份达到720万元，若二，三月份平均每月的增长率为x，则根据题意列出方程是_______．
3．某经济开发区今年一月份产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二，三月份平均每月的增长率为多少？设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程是（
）
A．50（1+x）2=175
B．50（1+x）+50（1+x）2=175
C．50+50（1+x）2=175
D．50+50（1+x）+50（1+x）2=175
4．某商场从厂家进了一批服装，价格为200元/件，商场将服务价格提高50%作为售价，后因销售不畅，商场两次将该服装打折，且每次折数相同，打折后该服装每件仍获利润43元，问该商场每次打了几折？
举一反三
1．某商场原价是500元，经连续两次降价10%后，又提价20%，则该商场现价是_____．
2．从一块正方形木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48m2，则原来这块木板的面积是_________．
3．将长方形的长缩短5cm，宽增长3cm，使其变为正方形且面积比原来减少5cm2，则正方形面积为______．
4．某市2006年底湖面面积为16平方公里，为保护生态环境，实施可持续发展战略，实行逐年“退田还湖”，到2008年底湖面面积达到27.04平方公里，则这两年湖面面积平均每年增长的百分率为_______．
5．某商场元旦休假期间进行让利销售，全部商品一律按九折销售，这样所获利润恰是收入的20%，如果第一天的销售额是4万元，第三天的利润是1.25万元，则第二，第三天的销售收入平均增长率为_______．
6．把一块长与宽之比为2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（
）
A．（2x－20）（x－20）=1500
B．10（2x－10）（x－10）=1500
C．10（2x－20）（x－20）=1500
D．10（x－10）（x－20）=1500
7．某商场连续两次降价10%为m元，则该商品原价为（
）
A．元
B．（1+x）2=4
C．元
D．0.81元
8．市政府为了申办2010年冬奥会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（
）
A．19%
B．20%
C．21%
D．22%
9．宏欣机械厂生产某种型号的鼓风机，一月份至六月份的产量如下：
月
份
一
二
三
四
五
六
产量（单位：台）
50
51
48
50
52
49
（1）求上半年鼓风机月产量的平均数和中位数；
（2）由于改进了生产技术，计划八月份生产鼓风机72台，与上半年月产量平均数相比，七月，八月鼓风机生产量平均每月的增长率是多少？
10．据报道，我省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2007年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2009年的利用率提高到60%，求每年的增长率（取≈1.41）．
11．云南省是我国花卉产业大省，一年四季都有大量鲜花销往全国各地，花卉产业已成为我省许多地区经济发展的重要项目．近年来某乡的花卉产值不断增加，2006年花卉的产值是640万元，2008年产值达到1000万元．
（1）求2007年，2008年花卉产值的年平均增产率是多少？
（2）若2009年花卉产值继续稳步增长（即年增长率与前两年的年增长率相同），那么请你估计2009年这个乡的花卉产值将达到多少万元？
参考答案
回顾归纳
1．长×宽
边长的平方
×底×高
（上底+下底）×高
2．a（1+x）
a（1+x）2
1．11－x
x（11－x）=30
2．（160+2x）（100+2x）=2×160×100
3．B
4．都正确，设矩形框子一边为x，则x（50－x）=800．
整理得x2－50x+800=0，∵b2－4ac=502－4×800=－700<0，
∴此方程无实数根，所以无法做成面积为800cm2的矩形框子；当矩形长与宽相等，都等于25cm时，矩形变为正方形，面积最大，最大面积为625cm2．
5．4（1+x）
4（1+x）2
6．500（1+x）2=720
7．D
8．设商场每次打了x折，根据题意得
200（1+50%）（）2=200+43．
∴x=9，∴该商场每次打了9折．
举一反三
1．486（点拨：500（1－10%）（1－10%）（1+20%）=486）
2．64m2（点拨：设正方形木条边长为xm，则x2－2x=48，故x1=－6（舍去），x2=8）
3．100cm2
4．30%（点拨：设这两年湖面平均每年增长的百分率为x，则16（1+x）2=27.04，∴x=0.3）
5．25%（点拨：设销售收入平均增长率为x，
则4（1+x）2=6.25，x1=0.25，x2=－2.25（舍去）
6．C
7．C（点拨：设商场的原价为x，则x（1－10%）2=m，∴x=）
8．B（点拨：设原有绿地面积m，则m（1+x）2=1.44m，∴x=20%）．
9．（1）平均数为50台，中位数为50台．
（2）设七，八月鼓风机生产量平均每月的增长率为x，
则50（1+x）2=72，∴x1=0.2，x2=－2.2（舍去）．
答：七月，八月鼓风机生产量平均每月的增长率是20%．
10．解：设每年的增长率为x，则30%（1+x）2=60%，
解之得x1=－1+≈0.41，x2=－1－（舍去）．
答：每年的增长率为41%．
11．（1）2007年，2008年花卉产值的年平均增长率是25%，
（2）1250万元．
