1.3 一元二次方程的根与系数的关系同步训练题（含解析）

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初中数学苏科版九年级上册1.3
一元二次方程根与系数的关系
同步练习
一、单选题
1.已知x1
，
x2是一元二次方程
的两根，则x1＋x2的值是（
）
A.?0??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?－2??????????????????????????????????????????D.?4
2.若
、
是方程
的两个根，则
的值为(????
)
A.???????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?-3
3.已知
、
是一元二次方程
的两个根，则
等于（
???）
A.?4????????????????????????????????????????B.??
1????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.???
4.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（??
）
A.?﹣7?????????????????????????????????????????B.?7?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?﹣3
5.已知x1
，
x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（??
）
A.?5?????????????????????????????????????????B.?10?????????????????????????????????????????C.?11?????????????????????????????????????????D.?13
6.设
，
是方程
的两个根，则
的值为（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
7.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=（???
）
A.?﹣5??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?5??????????????????????????????????????????D.?7
8.若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为（　　）
A.?－13????????????????????????????????????????B.?12????????????????????????????????????????C.?14????????????????????????????????????????D.?15
9.已知一元二次方程a(x-x1)(x-x2)=0(a≠0，x1≠x2)与一元一次方程dx+e=0有一个公共解x=x1
，
若一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0有两个相等的实数根，则(???
)
A.?a(x1-x2)=d??????????????????????B.?a(x2-x1)=d??????????????????????C.?a(x1-x2)?=d??????????????????????D.?a(x2-x1)=d
二、填空题
10.设x1
，
x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=________．
11.已知关于
的方程
两个根是互为相反数，则
的值为________.
12.已知m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，且m2+mn+n2＝3，则q的取值范围是________．
13.若方程
的根也是方程
的根，则
________.
14.关于x的一元二次方程
的两个实数根分别是x1、x2
，
且
，则
的值是________．
三、综合题
15.已知关于x的方程x2＋(2k+1)x＋k2＋1＝0有两个实数根x1
，
x2.
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1
，
x2.满足｜x1｜＋｜x2｜＝x1x2求实数k的值．
16.我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q＝0的两个根是x1
，
x2
，
那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p
，
x1?x2＝q
，
请根据这一结论，解决下列问题：
（1）若α，p是方程
的两根，则α+β＝________，α?β＝________；若2，3是方程
的两根，则m＝________，n＝________；
（2）已知a
，
b满足
，求
的值；
（3）已知a
，
b
，
c满足
，求正整数
的最小值，
17.已知方程
+px+q＝0的两个根是
，
，那么
+
＝－p，
?
＝q，反过来，如果
+
＝－p，
＝q，那么以
，
为两根的一元二次方程是
+px+q＝0．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程
+mx+n＝0(n≠0)，求出—个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．
（2）已知a、b满足
－15a－5＝0，
－15b－5＝0，求
的值．
（3）已知a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
解：∵x1
，
x2是一元二次方程
的两根，∴x1+x2=2．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系
，
即可求解.
2.【答案】
A
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
解：因为
、
是方程
的两个根，
所以
所以
=2-1=1
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系求解.
3.【答案】
C
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
解：x1·x2=.
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系直接求解即可。
4.【答案】
A
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系“两根之和等于”可得关于另一个根的方程，解这个方程即可求解.
5.【答案】
D
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13.
故答案为：D.
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，由完全平方公式可得x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2
，
然后整体代入计算即可求解.
6.【答案】
A
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
解：∵
，
∴x1+x2=-4，x1·x2=-3，
∴
=
.
故答案为：A.
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1·x2的值，把通分后代入计算即可.
7.【答案】
C
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
解：∵设m、n是一元二次方程x2＋2x?7＝0的两个根，
∴m＋n＝?2，
∵m是原方程的根，
∴m2＋2m?7＝0,即m2＋2m＝7，
∴m2＋3m＋n＝m2＋2m＋m＋n＝7?2＝5，
故答案为5.
【分析】根据根与系数的关系可知m＋n＝－2，又知m是方程的根，所以可得m2＋2m－7＝0，最后可将m2＋3m＋n变成m2＋2m＋m＋n，最终可得答案.
8.【答案】
B
【考点】一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系
解：∵
α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，
∴2
β
2-5
β
-1=0，α＋β=
，
αβ=-
，
∴5
β=2
β
2-1，
∴
2α2＋3αβ＋5β
=
2α2＋3αβ+2
β
2-1
=2（α2＋β
2）+3αβ-1
=2（α＋β）???????2-αβ-1
=2×（）2+-1
=12.
故答案为：B.
???????
【分析】由于α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，可得2
β
2-5
β
-1=0，以及两根之和与两根之积的值，据此把原式的5
β替换成2
β
???????2-1，然后配方代入α＋β和αβ的值即可求出结果.
9.【答案】
B
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
解：∵一元二次方程a(x-x1)(x-x2)=0(a≠0，x1≠x2)与一元一次方程dx+e=0有一个公共解x=x1
，
∴x=x1是一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0的一个解
∴一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0只有一个解，
∴ax2-(ax1+ax2-d)x+ax1x2+e=0
∴
整理得：a(x2-x1)=d.
故答案为：B.
【分析】由题意可知x=x1是一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0的一个解，将方程转化为ax2-(ax1+ax2-d)x+ax1x2+e=0，利用一元二方程根与系数的关系及x=x1就可得到a(x2-x1)=d。
二、填空题
10.【答案】10
【考点】一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系
解：∵x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根，
∴x22+5x2﹣3=0，
∴x22+5x2=3，
∵2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，
∴2x1?x2+a=4，
∵x1
，
x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，
∴x1x2=﹣3，
∴2×（﹣3）+a=4，
∴a=10.
故答案为：10.
【分析】根据方程根的定义可把
x2代入方程，变形得x22+5x2=3，把此式代入2x1（x22+6x2﹣3）+a=4可得2x1?x2+a=4，再由根与系数的关系得x1x2=﹣3，从而求出a的值.
11.【答案】
-3
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系
解：
，
?
【分析】根据两根之和得到解得
，
再把代入原式中，舍去,所以a的值为5.
12.【答案】
q＜1
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，
∴m+n＝﹣p
，
mn＝q
，
∵m2+mn+n2＝3，
∴（m+n）2﹣mn＝3，
则（﹣p）2﹣q＝3，即p2﹣q＝3，
∴p2＝q+3，
又△＝p2﹣4q＞0，
∴q+3﹣4q＞0，
解得q＜1，
故答案为：q＜1．
【分析】先由韦达定理得出m+n＝﹣p
，
mn＝q
，
代入到m2+mn+n2＝（m+n）2﹣mn＝3，可得p2＝q+3，再结合△＝p2﹣4q＞0知q+3﹣4q＞0，解之可得答案．
13.【答案】
-5
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
解：∵
x2-3x+1=0,
∴x2=3x-1,
∴x4+ax2+bx+c=(3x-1)2+ax2+bx+c=0,
∴9x2-6x+1+ax2+bx+c=0,
∴(9+a)x2+(b-6)x+c+1=0,
∵
x2-3x+1=0,
∵x1+x2=?,
∴3a+b=-21,?
∵x1x2==1,
∴a=c-8,
∴3a+b=a+b+2a=a+b+2(c-8)=a+b+2c-16=-21,
∴a+b+2c=-21+16=-5.
故答案为：-5.
【分析】由x2-3x+1=0得x2=3x-1,
代入x4+ax2+bx+c=0中把x4降次，再根据根与系数的关系列式，求出a、b、c的关系，再将原式变形即可求值.
14.【答案】
13
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
解：∵x1、x2分别是该一元二次方程的根
△=b2-4ac=（-m）2-4×1×（2m-1）=m2-8m+4≥0
又∵x1+x2=m???
x1·x2=2m-1
又∵
x12+x22=7
?
∴（
x1+x2）2-
2x1·x2=7
∴m2-2（2m-1）=7
整理，得?
m2-4m-5=0
解得?
m1=-1??
m2=5
当m=-1时，△=（-1）2-8×（-1）+4=13＞0
当m=5时，△=52-8×5+4=-11＜0，不符合题意；
∴m=-1
∴（
x1-x2）2=
x12+x22-2x1·x2=7-2（2m-1）=7-2×（-2-1）=13.
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=m、x1·x2=2m-1，然后将x12+x22=7变形为（
x1+x2）2-
2x1·x2=7，从而求出m的值，然后利用△≥0的条件验证得m的值，从而可解。
三、综合题
15.【答案】
（1）解：由题意得：
△=(2k+1)2-4(k2＋1)，
=4k2+4k+1-4k2-4，
=4k-3≥0，
解得k≥.
（2）解：
∵｜x1｜＋｜x2｜＝x1x2
，
∴
x12＋x22+2｜x1x2｜＝x12x22,
(x1+x2)2-2x1x2+2｜x1x2｜＝x12x22,
∵x1x2=
k2＋1
>0,
x1+x2=2k+1,
∴(x1+x2)2＝x12x22,
(2k+1)2=(
k2＋1
)2,
∴2k+1=
k2＋1
,
解得k=0（舍去），k=2,
2k+1=-(?k2＋1)
,
即k2＋2k+2=0,
（k+1）2+1=0,
无解
综上k=2.
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）?因为方程有两个实数根，?根据判别式△≥0即可求出k的取值范围；
（2）?将｜x1｜＋｜x2｜＝x1x2两边同时平方，化简，把两根之和与两根之积的表示出来，代入原式求出k值并检验即可.
16.【答案】
（1）3；1；-5；6；
（2）解：
∴
，
是方程
的解．
当
时，是方程
∴
，
当
时，原式=2；
（3）解：∵
，
=
，
∴α，b是方程
+
=0的解，
≥0，
∵c是正整数，
∴c3-20≥0，即c≥
.
∴正整数c的最小值是3．
∴正整数c的最小值是3．
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
解：（1）解：α，p是方程x2-3x+1=0的两根，则α+β=3，α·β=1；若2，3是方程x2+mx+n=0的两根，则m=-5，n=6；
故答案为：3，1，-5，6；
【分析】（1）根据根与系数的关系即可得到结论；（2）根据α，b满足
得到α，b是方程
的解．当α≠b时，是方程
根据根与系数的关系即可得到结论；当α=b时，原式=2；（3）根据
求得
=
，于是得到α，b是方程x2-
=0的解，即可得到结论．
17.【答案】
（1）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1
，
x2
，
则：
+
=
=﹣
?
=
=
，若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程是：y2+
y+
=0，整理得：ny2+my+1=0；
（2）解：分两种情况讨论：①当a≠b时，∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，∴a+b=15，ab=﹣5，∴
=
=
=
=﹣47．
②当a=b时，原式=2；
（3）解：∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=﹣c，ab=
，∴a、b是方程x2+cx+
=0的解，∴c2﹣4?
≥0，c2﹣
≥0．
∵c是正数，∴c3﹣43≥0，c3≥43
，
c≥4，∴正数c的最小值是4．
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1
，
x2，则x1+x2=-m,x1·x2=n,然后利用异分母分式的加减法法则及整体代入法求出这两根的倒数和，利用分式的乘法法则及整体代入法求出这两根倒数的积；根据题干提供的方法即可得出以已知方程的两根的倒数为根的一元二次方程；
（2）分两种情况讨论：①当a≠b时，根据题意可知a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，根据根与系数的关系得出a+b=15，ab=﹣5，然后根据异分母分式的加法法则将代数式化简，再整体代入即可算出答案；②当a=b时，原式=2；
（3）由a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，c为正数，得出a+b=﹣c，ab=,根据一元二次方程根与系数的关系得出a、b是方程x2+cx+
=0的解，根据此方程有实数根得出其根的判别式应该不小于0，从而得出不等式，求解即可。
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精品试卷·第
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