人教版八年级上册数学11.3.2《多边形的内角和》 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
第十一章
三角形
11.3
多边形及其内角和
11.3.2
多边形的内角和
学习目标
1.掌握多边形的内角和公式及外角和．
2.运用多边形的内角和公式及外角和解决问题．
情境导入
在一次数学基础知识抢答赛上，王老师出了这么一个问题：某个多边形所有的角加起来等于它的外角和，那么该多边形是几边形？
小敏同学仅用几秒钟就解决了问题，你能吗？
　　长方形、正方形的内角和等于______.
360°　　　
　任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？
探究新知
你能利用三角形内角和定理证明你的结论吗？
证明：连接AC，
∠BAD
＋∠B
＋∠BCD
＋∠D
＝（∠BAC
＋∠BCA
＋∠B）
＋（∠DAC
＋∠DCA
＋∠D），
＝180°
＋180°＝360°
．
A
B
C
D
探究新知
从四边形的一个顶点出发，可以作_____条对角线，它们将四边形分为　　　　个三角形，
四边形的内角和等于180°×____＝　　　°．
1
2
2
360
探究新知
A
B
C
D
A
B
C
D
E
如图，从五边形的一个顶点出发，可以作　　条对角线，它们将五边形分为____个三角形，五边形的内角和等于180°×　　＝
　　　°．
2
3
3
540
探究新知
A
B
D
E
F
如图，从六边形的一个顶点出发，可以作_____条
对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形
的内角和等于180°×____＝_______°．
3
4
4
720
C
探究新知
如图，从n
边形的一个顶点出发，可以作
条
对角线，它们将n
边形分为
个三角形，
这
个三角形的内角和就是n
边形的内角和，
所以，n
边形的内角和等于
．
（n
-3）
（n
-2）
（n
-2）×180°
（n
-2）
探究新知
n
边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出三角形的个数
从多边形的一个顶点引出的对角线条数
图形
边数
···
···
0
3
-3
=
4
-3
=
5
-3
=
6
-3
=
n
-3
1
2
3
3
-2
=
1
4
-2
=
2
5
-2
=
3
6
-2
=
4
n
-2
（
n
-2
）·180?
180?
360?
540?
720?
···
···
···
探究新知
A
B
C
D
E
方法1：如图，
在五边形ABCDE内任取一
点O，连结OA，OB，OC，
OD，OE，则得五个三角形．
∴五边形的内角和为
5×180°－360°＝（5－2）×180°＝540°．
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？
由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？
探究新知
方法2：如图，
在边AB上取一点O，连OE，
OD，OC，则可得（5－1）
个三角形．
∴五边形的内角和为
（5－1）×180°－180°＝（5－2）×180°．
A
B
C
D
E
如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到
n边形内角和为（n－2）×180°．
多边形的内角和
解：如图，四边形ABCD
中，∠A
＋∠C
＝
180°．
∵∠A
＋∠B
＋∠C
＋∠D
＝（4－2）×180°
＝360°，
　
∴∠B
＋
∠D
＝360°－（∠A
＋∠C）＝360°－
180°＝180°．
【例1】如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
A
B
C
D
如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．
例题解析
【例2】在六边形的每一个顶点处各取一个外
角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边
形的外角和等于多少呢？
如图，已知∠1，∠2，
∠3，∠4，∠5，∠6
分别为六边形ABCDEF
的外角，
求∠1
＋∠2
＋∠3
＋∠4
＋∠5
＋∠6的值．
A
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
C
例题解析
解：∵∠1
＋∠BAF＝180°，
∠2
＋∠ABC＝180°，
∠3
＋∠BCD＝180°，
∠4
＋∠CDE＝180°，
∠5
＋∠DEF＝180°，
∠6
＋∠EFA＝180°，
A
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
C
例题解析
∴∠1
＋∠BAF
＋∠2
＋∠ABC
＋
∠3
＋
∠BCD
＋∠4
＋∠CDE
＋∠5
＋∠DEF
＋∠6
＋∠EFA
＝6×180°．
又∠BAF
＋∠ABC
＋∠BCD
＋∠CDE
＋∠DEF
＋∠EFA
＝(6－2)×180°，
∴∠1
＋∠2
＋∠3
＋∠4
＋∠5
＋∠6
=6×180°－(6
－2)×180°＝360°
这就是说，六边形的外角和为360°．
A
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
C
例题解析
如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：
因为n边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，
它们的和是180°，
所以n边形内角和加外角和等于n·180°，
所以n边形的外角和等于n·180°-（n-2）·180°=360°．多边形的外角和等于360°．
探究新知
如图，从多边形的一个顶点A
出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向．
A
我们也可以这样理解多边形外角和等于360°．
探究新知
在行程中转过的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转过的各个角的和等于一个周角，所以多边形外角和等于360°．
A
探究新知
1．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．若一个多边形的边数为8条，则这个多边形的内角和是（
）
A．900°
B．540°
C．1
080°
D．360°
3．若一个多边形增加一条边，那么它的内角和（
）
A．增加180°
B．增加360°C．减少360°
D．不变．
4．多边形每一个内角都等于150°，则该多边形的边数是（
）
A．10
B．11
C．12
D．13
C
A
C
C
课堂练习
（1）多边形内角和公式
（2）多边形外角和等于360°．
（n-2）×180°．
课堂小结
再见