人教版九年级上册数学课件：21.2.1配方法解一元二次方程(共21张PPT)

(共21张PPT)
21.2.1
配方法
导入
思考：下列方程能用直接开平方法来解吗?
问题1：什么类型的一元二次方程可以直接用开平方的方法求解？请同学们举例说明。
(1)
x2+6x+9
=5；
(2)x2+6x+4=0.
把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的
形式，再利用开平方
问题2：要使方程
的左边成为关于
的完全平方式，方程两边所添加的常数与这个方程的哪一项的系数有关？有什么关系？
请你将方程
转化成
的形式，并思考方程的两边所添加的常数有什么特征，说说你的见解好吗？
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.
（1）x2+4x+
=
(
x
+
)2
（2）x2-6x+
=
(
x-
)2
（3）x2+8x+
=
(
x+
)2
（4）
x2-
x+
=
(
x-
)2
你发现了什么规律？
22
2
32
3
42
4
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
想一想：
x2+px+(
)2=(x+
)2
配方的方法
用配方法解方程
怎样解方程:
x2+6x+4=0
(1)
问题1
方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解：
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
方法归纳
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
问题2
为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
方程配方的方法：
像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
配方法的定义
配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
例1
解下列方程：
解：（1）移项，得
x2－8x=－1,
配方，得
x2－8x+42=－1+42
,
(
x－4)2=15
由此可得
即
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2－3x=－1,
即
移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
为什么方程两边都加12？
即
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要
注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则
,方程的两个根为
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式
k2－4k＋5
的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为直角三角形.
1.解下列方程：
（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2-6x-3=0；
（4）
3x2+6x-9=0.
解：x2+2x+2=0，
(x+1)2=-1.
此方程无解；
解：x2-4x-12=0，
(x-2)2=16.
x1=6,x2=-2；
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
练习
2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
解：－x2－x－1=－(x2+x+
)+
－1
所以－x2－x－1的值必定小于零.
当
时，－x2－x－1有最大值
3.若
，求(xy)z
的值.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？?
解：设道路的宽为xm,
根据题意得
（35-x)(26-x)=850，
整理得
x2-61x+60=0.
解得
x1=60（不合题意，舍去）,
x2=1.
答：道路的宽为1m.
5.已知a,b,c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为等边三角形.