苏科版七年级数学上册 2.6 有理数的乘法与除法（Word版 含解析）

2.6
有理数的乘法与除法
一．选择题（共10小题）
1．计算：（﹣3）×5的结果是（　　）
A．﹣15
B．15
C．﹣2
D．2
2．﹣2的倒数是（　　）
A．﹣
B．
C．2
D．﹣2
3．下列各组数中互为倒数的是（　　）
A．﹣5和﹣
B．﹣3和
C．0.125和﹣8
D．和﹣2
4．已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（　　）
A．a＞0，b＞0
B．a＜0，b＞0
C．a、b同号
D．a、b异号，且正数的绝对值较大
5．（﹣21）÷7的结果是（　　）
A．3
B．﹣3
C．
D．
6．﹣|﹣|的负倒数是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．商店降价销售某种商品，每件降价5元，售出60件后，与原价销售同样数量的商品相比，销售额的变化情况算式表示为（　　）
A．（﹣5）×60
B．5×60
C．5×（﹣60）
D．（﹣5）×（﹣60）
8．若ab＞0，a+b＜0，则（　　）
A．a、b都为负数
B．a、b都为正数
C．a、b中一正一负
D．以上都不对
9．3x﹣12的值与互为倒数，则x的值为（　　）
A．3
B．﹣3
C．5
D．﹣5
10．我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（　　）
A．1
B．3
C．
D．
二．填空题（共6小题）
11．﹣2019的倒数是　
　．
12．在﹣3、4、﹣2、5四个数中，任意两个数之积的最小值为　
　．
13．若|a|＝3，|b|＝5，且a、b异号，则a?b＝　
　．
14．下面是一种算法：输入任意一个数x，都是“先乘以2，再减去3”，进行第1次这样的运算，结果为y1，再对y1实施同样的运算，称为第2次运算，结果为y2，这样持续进行，要使第n次运算结果为0，即yn＝0，则最初输入的数应该是　
　．（用含有n的代数式表示）．
15．P为正整数，现规定P!＝P（P﹣1）（P﹣2）…×2×1．若m!＝24，则正整数m＝　
　．
16．用f（n）表示组成n的数字中不是零的所有数字乘积，例如：f
（5）＝5，f（29）＝18，f
（207）＝14．则f
（1）+f
（2）+……+f（200）＝　
　．
三．解答题（共4小题）
17．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．
（1）直接写出a+b，cd，m的值；
（2）求m+cd+的值．
18．已知|a|＝10，|b|＝6，ab＜0．求：
（1）4a﹣2b的值；
（2）ab的值．
19．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0．
（1）求出a，b的值；
（2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
20．在1，﹣2，3，﹣4，﹣5中任取两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b．
（1）求ab的值；
（2）若|x﹣a|+|y+b|＝0，求（﹣x﹣y）?y的值．
答案与解析
一．选择题（共10小题）
1．计算：（﹣3）×5的结果是（　　）
A．﹣15
B．15
C．﹣2
D．2
【分析】根据正数与负数相乘的法则得（﹣3）×5＝﹣15；
【解答】解：（﹣3）×5＝﹣15；
故选：A．
【点评】本题考查有理数的乘法；熟练掌握正数与负数的乘法法则是解题的关键．
2．﹣2的倒数是（　　）
A．﹣
B．
C．2
D．﹣2
【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．
【解答】解：∵（﹣2）×（﹣）＝1，
∴﹣2的倒数是﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
3．下列各组数中互为倒数的是（　　）
A．﹣5和﹣
B．﹣3和
C．0.125和﹣8
D．和﹣2
【分析】直接利用互为倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：A、﹣5和﹣，两数之积为1，是互为倒数，故此选项正确；
B、﹣3和，两数之积为﹣1，不是互为相反数，故此选项错误；
C、0.125和﹣8，两数之积为﹣1，不是互为相反数，故此选项错误；
D、和﹣2，两数之积为﹣1，不是互为相反数，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
4．已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（　　）
A．a＞0，b＞0
B．a＜0，b＞0
C．a、b同号
D．a、b异号，且正数的绝对值较大
【分析】先由有理数的乘法法则，判断出a，b异号，再用有理数加法法则即可得出结论．
【解答】解：∵ab＜0，
∴a，b异号，
∵a+b＞0，
∴正数的绝对值较大，
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的加法和乘法法则，熟记法则是解本题的关键．
5．（﹣21）÷7的结果是（　　）
A．3
B．﹣3
C．
D．
【分析】根据有理数的除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的除法法则，属于基础题．
6．﹣|﹣|的负倒数是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据相反数，倒数的定义，负倒数是相反数的倒数．
【解答】解：﹣|﹣|＝﹣，﹣的负倒数是．
故选：B．
【点评】主要考查相反数，倒数的概念．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
7．商店降价销售某种商品，每件降价5元，售出60件后，与原价销售同样数量的商品相比，销售额的变化情况算式表示为（　　）
A．（﹣5）×60
B．5×60
C．5×（﹣60）
D．（﹣5）×（﹣60）
【分析】根据一件减少的销售额×件数＝售出60件后销售额减少量，列式计算．
【解答】解：依题意，每售出一件，销售额减少了5元，
则售出60件后，与原价销售同样数量的商品相比，销售额的变化情况算式表示为（﹣5）×60．
故选：A．
【点评】本题考查了乘法在生活中的应用．熟知负数的意义是解答本题的关键．
8．若ab＞0，a+b＜0，则（　　）
A．a、b都为负数
B．a、b都为正数
C．a、b中一正一负
D．以上都不对
【分析】根据有理数的加法，有理数的乘法，可得答案
【解答】解：∵ab＞0，∴a、b同时为正数或同时为负数，
又∵a+b＜0，∴a、b同时为同时为负数
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
9．3x﹣12的值与互为倒数，则x的值为（　　）
A．3
B．﹣3
C．5
D．﹣5
【分析】由倒数的定义得到：（3x﹣12）×（﹣）＝1，通过解该方程可以求得x的值．
【解答】解：∵代数式3x﹣12的值与﹣互为倒数，
∴（3x﹣12）×（﹣）＝1，即﹣x+4＝1，
解得，x＝3．
故选：A．
【点评】考查了倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．
10．我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（　　）
A．1
B．3
C．
D．
【分析】根据新定义列出算式9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]，再根据有理数的乘除运算法则计算可得．
【解答】解：9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]
＝9×
＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是理解并掌握新定义及有理数乘除运算法则．
二．填空题（共6小题）
11．﹣2019的倒数是　　．
【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案．
【解答】解：﹣2019的倒数是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
12．在﹣3、4、﹣2、5四个数中，任意两个数之积的最小值为　﹣15　．
【分析】首先求出任意两个数的积是多少，然后根据有理数的大小比较法则比较即可．
【解答】解：（﹣3）×4＝﹣12，（﹣3）×（﹣2）＝6，（﹣3）×5＝﹣15；
4×（﹣2）＝﹣8，4×5＝20，（﹣2）×5＝﹣10，
∵﹣15＜﹣12＜﹣10＜﹣8＜6＜20，
∴在﹣3、4、﹣2、5四个数中，任意两个数之积的最小值为﹣15．
故答案为：﹣15．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法的运算方法，要熟练掌握．
13．若|a|＝3，|b|＝5，且a、b异号，则a?b＝　﹣15　．
【分析】根据绝对值的性质可知；a＝±3，b＝±5，由a、b异号确定出a、b的取值情况，然后可求得a?b的值．
【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝5，
∴a＝±3，b＝±5．
∵a、b异号，
∴a＝3，b＝﹣5或a＝﹣3，b＝5．
∴ab＝﹣15．
故答案为：﹣15．
【点评】本题主要考查的是绝对值、有理数的乘法，根据题意确定出a、b的取值情况是解题的关键．
14．下面是一种算法：输入任意一个数x，都是“先乘以2，再减去3”，进行第1次这样的运算，结果为y1，再对y1实施同样的运算，称为第2次运算，结果为y2，这样持续进行，要使第n次运算结果为0，即yn＝0，则最初输入的数应该是　3﹣　．（用含有n的代数式表示）．
【分析】根据题意列出式子即可．
【解答】解：根据题意得：最初输入的数应该是3﹣，
故答案为：3﹣
【点评】此题考查了有理数的乘法，减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．P为正整数，现规定P!＝P（P﹣1）（P﹣2）…×2×1．若m!＝24，则正整数m＝　4　．
【分析】根据规定p!是从1，开始连续p个整数的积，即可．
【解答】解：∵P!＝P（P﹣1）（P﹣2）…×2×1＝1×2×3×4×…×（p﹣2）（p﹣1），
∴m!＝1×2×3×4×…×（m﹣1）m＝24，
∵1×2×3×4＝24，
∴m＝4，
故答案为：4．
【点评】此题是有理数的乘法，主要考查了新定义的理解，理解新定义是解本题的关键．
16．用f（n）表示组成n的数字中不是零的所有数字乘积，例如：f
（5）＝5，f（29）＝18，f
（207）＝14．则f
（1）+f
（2）+……+f（200）＝　2116　．
【分析】根据题意可以得到规律：一位数结果为个位数，两位数结果为十位数×个位数，三位数为百位数×个位数．据此规律解决此题即可．
【解答】解：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（200）
＝（1+2+3…+9）+1×（1+2+3…+9）+2×（1+2+3…+9）+3×（1+2+3…+9）+…+9×（1+2+3…+9）+（1+2+3…+9+1）
＝（1+2+3…+9）×（1+1+2+3…+9）+46
＝45×46+46
＝2116．
故答案为：2116．
【点评】本题考查了数字变化类问题，解题的关键是仔细地观察题目并从中总结规律，利用总结的规律进行计算即可．
三．解答题（共4小题）
17．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．
（1）直接写出a+b，cd，m的值；
（2）求m+cd+的值．
【分析】（1）根据互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，即可解答；
（2）分两种情况讨论，即可解答．
【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2．
（2）当m＝2时，m+cd+＝2+1+0＝3；
当m＝﹣2时，m+cd+＝﹣2+1+0＝﹣1．
【点评】本题考查了倒数、相反数、绝对值，解决本题的关键是熟记倒数、相反数、绝对值的意义．
18．已知|a|＝10，|b|＝6，ab＜0．求：
（1）4a﹣2b的值；
（2）ab的值．
【分析】（1）先根据绝对值的性质得出a，b的值，再由ab＜0知a，b异号，从而确定a，b的值，代入计算可得；
（2）将以上所得a，b的值代入计算即可得．
【解答】解：（1）∵|a|＝10，|b|＝6，
∴a＝±10，b＝±6，
又∵ab＜0，
∴a＝10，b＝﹣6或a＝﹣10，b＝6，
当a＝10，b＝﹣6时，4a﹣2b＝40+12＝52；
当a＝﹣10，b＝6时，4a﹣2b＝﹣40﹣12＝﹣52；
综上，4a﹣2b的值为±52；
（2）当a＝10，b＝﹣6时，ab＝﹣60；
当a＝﹣10，b＝6时，ab＝﹣60；
综上，ab＝﹣60．
【点评】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握绝对值的性质与有理数的乘法法则．
19．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0．
（1）求出a，b的值；
（2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
【分析】（1）根据题意可以a、b的符号相反、可得a＝﹣10，根据a+b＝80可得b的值，本题得以解决；
（2）①根据题意可以求得两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇是点C对应的数值；
②根据题意和分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：（1）∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0，
∴a＝﹣10，b＝90，
即a的值是﹣10，b的值是90；
（2）①由题意可得，
点C对应的数是：90﹣[90﹣（﹣10）]÷（3+2）×2＝90﹣100÷5×2＝90﹣40＝50，
即点C对应的数为：50；
②设相遇前，经过m秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
[90﹣（﹣10）﹣20]÷（3+2）
＝80÷5
＝16（秒），
设相遇后，经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
[90﹣（﹣10）+20]÷（3+2）
＝120÷5
＝24（秒），
由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
【点评】本题考查有理数的乘法、绝对值、数轴、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．
20．在1，﹣2，3，﹣4，﹣5中任取两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b．
（1）求ab的值；
（2）若|x﹣a|+|y+b|＝0，求（﹣x﹣y）?y的值．
【分析】（1）根据有理数的乘法法则得出a，b的值，代入计算可得；
（2）将a，b的值代入|x﹣a|+|y+b|＝0，根据非负数的性质得出x，y的值，继而代入计算可得．
【解答】解：（1）根据题意知a＝（﹣4）×（﹣5）＝20，b＝3×（﹣5）＝﹣15，
所以ab＝20×（﹣15）＝﹣300；
（2）由题意知|x﹣20|+|y﹣15|＝0，
则x﹣20＝0且y﹣15＝0，
解得x＝20，y＝15，
∴（﹣x﹣y）?y＝（﹣20﹣15）×15
＝﹣35×15
＝﹣525．
【点评】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法法则和绝对值的性质．
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