第四章数列
4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念与简单表示
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)下列四个选项中,不正确的是( )
A.数列,…的一个通项公式是an=
B.数列的图象是一群孤立的点
C.数列1,-1,1,-1,…与数列-1,1,-1,1,…是同一数列
D.数列,…,是递增数列
解析由通项公式知a1=,故A不正确;易知B正确;由于两数列中数的排列次序不同,因此不是同一数列,故C不正确;D中的数列为递减数列,所以D不正确.
答案ACD
2.已知数列-1,,-,…,(-1)n,…,它的第5项的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
解析第5项为(-1)5×=-.
答案D
3.已知数列的通项公式an=则a2a3等于( )
A.70
B.28
C.20
D.8
解析由an=
得a2a3=2×10=20.故选C.
答案C
4.(多选)已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3可以是( )
A.数列{an}中的第1项
B.数列{an}中的第2项
C.数列{an}中的第4项
D.数列{an}中的第6项
解析令n2-8n+15=3,解得n=2或n=6,因此3是数列{an}中的第2项和第6项,故选BD.
答案BD
5.下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是
( )
A.1,,…
B.sin,sin,sin,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,,…,
解析A中数列是递减数列,B中数列不是单调数列,D中数列是有穷数列,C中数列符合条件.
答案C
6.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是
( )
A.
B.cos
C.cos
D.cos
解析当n=1时,C不成立;当n=2时,B不成立;当n=4时,A不成立.故选D.
答案D
7.数列,…中,有序数对(a,b)可以是 .?
解析由已知,各项可写为,…,
可得a=3×5=15,b=24+2=26,故数对(a,b)为(15,26).
答案(15,26)
8.数列-1,1,-2,2,-3,3,…的一个通项公式为 .?
解析注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得an=
答案an=
9.写出以下各数列的一个通项公式.
(1)1,-,-,…;
(2)10,9,8,7,6,…;
(3)2,5,10,17,26,…;
(4),…;
(5)3,33,333,3
333,….
解(1)an=(-1)n+1;
(2)an=11-n;
(3)an=n2+1;
(4)an=;
(5)an=(10n-1).
10.已知数列{an},an=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.
(1)求a5.
(2)判断150是不是该数列中的项?若是,是第几项?
解(1)由已知,得
解得所以an=n2-7n+6,
所以a5=52-7×5+6=-4.
(2)令an=n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.
能力提升练
1.(2019河南林州一中高二月考)已知数列,2,…,则2是这个数列的( )
A.第6项
B.第7项
C.第19项
D.第11项
解析数列可改写为,…,据此可得数列的通项公式为an=,
由=2,解得n=7,即2是这个数列的第7项.
答案B
2.数列,-,-,…的第10项是( )
A.-
B.-
C.-
D.-
解析由数列,-,-,…,
可知,奇数项的符号为正号,偶数项的符号为负号,
而分子为偶数2n(n为项数),分母比分子大1,
故可得到通项公式an=(-1)n+1·,
所以a10=(-1)11·=-.
答案C
3.(2019乌鲁木齐第四中学高二期中)数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于( )
A.28
B.32
C.33
D.27
解析因为数列的前几项为2,5,11,20,x,47,
其中5-2=1×3,11-5=2×3,20-11=3×3,
可得x-20=4×3,解得x=32,故选B.
答案B
4.(2019河南高三月考)正整数数列按如下规律分组:(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),(10,11,12,13,14,15,16),…,则第100组的第100个数字是( )
A.10
301
B.10
100
C.9
901
D.9
704
解析由题意可知第n组的最后一个数是n2,
∴第100组的第100个数字是992+100=9901.
答案C
5.(2019山西高二月考)将正整数排成下表:
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
…
则在表中数字2
019出现在( )
A.第44行第82列
B.第45行第82列
C.第44行第83列
D.第45行第83列
解析因为每行的最后一个数分别是1,4,9,16,…,
可归纳出第n行的最后一个数是n2,
因为442=1936,452=2025,
所以2019出现在第45行,又2019-1936=83,
所以2019出现在第45行第83列.
答案D
6.函数f(x)=x2-2x+n(n∈N
)的最小值记为an,设bn=f(an),则数列{an},{bn}的通项公式分别是an= ,bn= .?
解析当x=1时,f(x)min=f(1)=1-2+n=n-1,
即an=n-1;
将x=n-1代入f(x)得,bn=f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n2-3n+3.
答案n-1 n2-3n+3
7.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N
).
(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项?
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?
解(1)令an=0,得n2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{an}中的第21项.令an=1,得=1,
而该方程无正整数解,∴1不是数列{an}中的项.
(2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1,
则有an=an+1,即.
解得n=10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.
素养培优练
在数列{an}中,an=.
(1)求数列的第7项;
(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内;
(3)区间内有没有数列中的项?若有,有几项?
(1)解a7=.
(2)证明∵an==1-,
∴0
(3)解令,则,
故n=1,即在区间内有且只有1项a1.(共22张PPT)
第2课时 数列的递推公式
激趣诱思
知识点拨
斐波那契,意大利著名数学家.保存至今的斐波那契著作有5部,其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》.《算盘全书》中有一个著名的兔子繁殖问题:如果一对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄),而每一对子兔在出生后第三个月里又能生一对兔子.试问一对兔子50个月后会有多少对兔子?从第1个月开始,以后每个月的兔子总对数是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,这就是著名的斐波那契数列.这个数列的规律是递推关系:Fn=Fn-1+Fn-2(n>2),其中Fn表示第n个月的兔子的总对数.那么什么是递推关系呢?
激趣诱思
知识点拨
一、递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
名师点析通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.
激趣诱思
知识点拨
微练习
设数列{an}满足a1=1,
激趣诱思
知识点拨
二、数列的通项与前n项和
1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
名师点析(1)已知数列{an}的前n项和Sn,求an,一般使用公式
an=Sn-Sn-1(n≥2),但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N
).
(2)由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段表示,即
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求数列{an}的通项公式.
解:a1=S1=1+2=3,①
而n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2)-[(n-1)2+2]=2n-1.②
在②中,当n=1时,2×1-1=1,故a1不适合②式.∴数列{an}的通项公式为
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由递推公式求前若干项
分析:由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟由递推公式写出数列的项的方法
根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则此数列的第5项是( )
A.15
B.255
C.16
D.63
解析:因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由递推公式求数列的通项公式
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟由递推公式求通项公式常用的方法有两种:
(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由数列的前n项和求通项公式
例3若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式.
解:∵Sn=-2n2+10n,
∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),
∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).
当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12.
此时满足an=-4n+12,∴an=12-4n.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究试求本例中Sn的最大值.
又∵n∈N
,∴当n=2或n=3时,Sn最大,即S2或S3最大.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
函数思想在数列中的应用
典例在数列{an}中,an=3n2-14n-8,求该数列的最小项.
方法总结解决数列问题时,可以借鉴函数的方法,但必须注意数列相对函数的特殊性,尤其是数列中的项数n只能取正整数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.已知数列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于( )
A.0
B.
C.2
D.5
解析:由题意,得a2=ma3+1,
即3=5m+1,
答案:B
探究一
探究二
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素养形成
当堂检测
3.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是( )
A.第4项
B.第5项
C.第6项
D.第7项
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an+23,n∈N
,则数列{an}的通项公式an=( )
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.求三角形数数列1,3,6,10,…的通项公式.
解:用{an}表示该数列,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n(n≥2).
以上各式两边分别相加,得an-a1=2+3+4+…+n.
∵a1=1,第四章数列
4.1 数列的概念
第2课时 数列的递推公式
课后篇巩固提升
基础达标练
1.数列,…的递推公式可以是( )
A.an=(n∈N
)
B.an=(n∈N
)
C.an+1=an(n∈N
)
D.an+1=2an(n∈N
)
解析数列从第2项起,后一项是前一项的,故递推公式为an+1=an(n∈N
).
答案C
2.(多选)符合递推关系式an=an-1的数列是( )
A.1,2,3,4,…
B.1,,2,2,…
C.,2,2,4,…
D.0,,2,2,…
解析B与C中从第2项起,后一项是前一项的倍,符合递推公式an=an-1.
答案BC
3.在数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=
( )
A.-3
B.-11
C.-5
D.19
解析由an+1=an+2-an,得an+2=an+an+1,则a3=a1+a2=7,a4=a2+a3=12,a5=a3+a4=19.
答案D
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,则a2=
( )
A.4
B.2
C.1
D.-2
解析Sn=2an-2?a1=S1=2a1-2?a1=2?a1+a2=S2=2a2-2?a2=4.故选A.
答案A
5.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N
),则数列{an}的通项公式是( )
A.2n-1
B.
C.n2
D.n
解析法一:构造法.
由已知整理,得(n+1)an=nan+1,
∴,∴数列是常数列,
且=1,∴an=n.
法二:累乘法.
当n≥2时,,
…
,
两边分别相乘,得=n.∵a1=1,∴an=n.
答案D
6.在数列{an}中,若a1=2,an+1=an+n-1,则a4= .?
解析a2=a1+1-1=2,a3=a2+2-1=3,a4=a3+3-1=5.
答案5
7.(2020潍坊高三检测)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5解析∵an=
∴an=2n-10.
由5<2k-10<8,得7.5答案8
8.若数列{an}满足an+1=2an-1,且a8=16,则a6= .?
解析∵an+1=2an-1,∴a8=2a7-1=16,
解得a7=,又a7=2a6-1=,解得a6=.
答案
9.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,求an.
解由题意,得an+1-an=ln,
∴an-an-1=ln(n≥2),
an-1-an-2=ln,
…
a2-a1=ln,
∴当n≥2时,an-a1=ln·…·=lnn,∴an=2+lnn(n≥2).
当n=1时,a1=2+ln1=2,符合上式,
∴an=2+lnn(n∈N
).
10.已知各项均不为0的数列{an}满足a1=,anan-1=an-1-an(n≥2,n∈N
),求数列{an}的通项公式.
解∵anan-1=an-1-an,且各项均不为0,
∴=1.∴当n≥2时,+…+
=2+=n+1.
∴=n+1,
∴当n≥2时,an=.
∵a1=也符合上式,∴an=.
能力提升练
1.已知数列{an},a1=2,a2=1,an+2=3an+1-an,则a6+a4-3a5的值为( )
A.3
B.-2
C.-1
D.0
解析∵an+2=3an+1-an,∴an+2+an=3an+1.
令n=4,得a6+a4=3a5,∴a6+a4-3a5=0.
答案D
2.已知数列{an},an+1=,a1=3,则a2
019=( )
A.
B.3
C.-
D.
解析由题意,可知:a1=3,
a2==-,
a3=,
a4==3,
a5==-,
…
∴数列{an}是一个以3为最小正周期的周期数列.
∵2019÷3=673,∴a2019=a3=.
答案A
3.已知数列{an},a1=1,ln
an+1-ln
an=1,则数列{an}的通项公式是( )
A.an=n
B.an=
C.an=en-1
D.an=
解析∵lnan+1-lnan=1,∴ln=1.∴=e.
由累乘法可得an=en-1.
答案C
4.在数列{an}中,a1=1,an+1=-1,则此数列的前4项和为 .?
解析∵a1=1,an+1=-1,∴a2=12-1=0,a3=02-1=-1,a4=(-1)2-1=0,故前4项和a1+a2+a3+a4=0.
答案0
5.(2019浙江期末)已知数列{an}满足:a1=2,an=(n∈N
).设Sn为数列{an}的前n项和,则a2= ,S2
019= .?
解析由题意知a2==3,又a3==2=a1,…,∴数列{an}是周期数列,周期为2,∴S2019=(2+3)×1009+2=5047.
答案3 5
047
6.已知在数列{an}中,an+1=对任意正自然数n都成立,且a7=,则a5= .?
解析由已知a7=,解得a6=.
又因为a6=,解得a5=1.
答案1
7.在数列{an}中,已知a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n≥1),写出此数列的前6项.
解a1=2,a2=3,
a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5,
a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9,
a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17,
a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33.
8.已知数列{an}满足an+1=
若a1=,试求a2
018+a2
019.
解∵a1=,
∴a2=2a1-1=,
∴a3=2a2-1=,∴a4=2a3=.
∴数列{an}是周期数列,且周期为3.
∴a2018+a2019=a672×3+2+a673×3
=a2+a3=.
素养培优练
已知数列a1=1,a2,a3,…,an(n∈N
)的法则如下:若an为自然数,则an+1=an-2,否则an+1=an+3,则a6= .?
解析∵a1=1是自然数,
∴a2=a1-2=1-2=-1.
∵a2=-1不是自然数,
∴a3=a2+3=-1+3=2.
∵a3=2是自然数,∴a4=a3-2=2-2=0.
∵a4=0是自然数,∴a5=a4-2=0-2=-2.
∵a5=-2不是自然数,
∴a6=a5+3=-2+3=1.
答案1(共37张PPT)
4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念与简单表示
激趣诱思
知识点拨
古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长;辍学如磨刀之石,不见其损,日有所亏.”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列.同样,对“磨刀之石”用精密仪器度量,则每日的质量按日期排在一起,也可以组成一个数列.那么什么叫数列呢?
激趣诱思
知识点拨
一、数列
1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.
3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.
名师点析(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.
(2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.
激趣诱思
知识点拨
微思考
数列与集合之间有怎样的区别与联系?
提示:(1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列中的项具有确定性、有序性、可重复性;
(2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但数列中的每一项必须是数;
(3)数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号,{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an表示数列的第n项.
激趣诱思
知识点拨
二、数列的分类
?
类别
含义
按项的
个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项
小于它的前一项的数列
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列叙述正确的是( )
A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类
B.数列中的数由它的位置序号唯一确定
C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
D.同一个数在数列中不可能重复出现
解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.
答案:B
激趣诱思
知识点拨
三、数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
名师点析(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N
(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.
(2)并不是所有的数列都有通项公式.
(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列
-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos
nπ等.
激趣诱思
知识点拨
微练习
若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10= ,224是该数列的第 项.?
解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.
答案:99 15
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数列的概念及分类
例1给出下列说法:
①数列中的项数一定是无限的;②数列1,3,2,6,3,9,…是递增的无穷数列;③数列
,…是递减的无穷数列;④数列0,1,4,9,16,…的通项公式是an=n2;⑤数列1,5,2,10,3,15,…没有通项公式;⑥摆动数列也可能有通项公式.
其中正确说法的序号是 .?
分析:根据数列的定义、分类以及通项公式的概念进行判断.
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解析:对于①,错误,数列中的项数可以是有限项或无限项;
对于②,错误,该数列是无穷数列,但不是递增数列;
对于③,正确;
对于④,错误,该数列的通项公式是an=(n-1)2;
对于⑥,正确.
答案:③⑥
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反思感悟数列类型的判断
在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析;而是有穷还是无穷数列则看项的个数是有限还是无限.
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变式训练1下列正确说法的序号是 .?
①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列;
②按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列;
③-2,-1,1,3,-2,4,3是一个项数为5的数列;
④数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.
解析:紧扣数列的有关概念,验证每一个说法是否正确.{0,1,2,3,4,5}是集合,而不是数列,故①错误;按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列,故②正确;同一个数在数列中可以重复出现,故此数列共有7项,故③错误;数列1,2,3,4,…,2n,共有2n项,是有穷数列,故④错误.
答案:②
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根据数列的前几项求通项公式
例2写出下列数列的一个通项公式:
分析:观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系.
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(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).
(3)各项加1后,分别变为10,100,1
000,10
000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综
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(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是
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反思感悟1.根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:
(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.
(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.
(4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.
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2.常见数列的通项公式
(1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.
(2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.
(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.
(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.
(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.
(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.
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变式训练2写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
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数列通项公式的应用
分析:数列的前3项已知,由此代入通项公式,可得到关于a,b,c的方程组,解方程组即得a,b,c的值,从而求出数列的通项公式,再求a4,a5;
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反思感悟数列中项的判定方法
判断给定的项是不是数列中的项,实质就是一个解方程的过程.若解得的n是正整数,则该项是此数列中的项;否则,就不是该数列中的项.
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数列的单调性及其应用
(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;
(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.
分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;对于(2),可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.
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反思感悟判断数列的增减性,一般是将其转化为比较相邻两项的大小,常用的方法有作差法、作商法.作差法判断数列增减性的步骤为先作差,再变形、定号,最后下结论.作商法适用于各项都是同号的数列,且应比较比值与1的大小关系.
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A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
答案:B
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例5(1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N
.
①数列中有哪些项是负数?
②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.
分析:(1)①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.
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(1)解:①an=n2-5n-6<0,解得0∵n∈N
,∴数列中第1,2,3,4,5项为负数,
即-10,-12,-12,-10,-6.
∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1故a1a11>a12>…,
∴数列中有最大项,最大项为第9,10项,
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解法二:设ak是数列{an}的最大项,
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反思感悟求数列的最大(小)项的两种方法
(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.
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归纳法求数列的通项公式
典例观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有 小圆圈.?
分析:仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.
解析:观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.
答案:n2-n+1
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反思感悟归纳是逻辑推理的一类,可以发现新命题.本例完美诠释了“观察现象,归纳规律,大胆猜想,小心求证”这一认识发展规律.
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1.下列各项表示数列的是( )
A.△,○,☆,□
B.2
008,2
009,2
010,…,2
017
C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
D.a+b,a-b,ab,λa
解析:数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合.
答案:B
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2.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是( )
A.1,2,3,…,20
B.-1,-2,-3,…,-n,…
C.1,2,3,2,5,6,…
D.-1,0,1,2,…,100,…
解析:由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.
答案:D
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3.已知数列{an}的通项公式为an=log3(2n+1),则a3= .?
解析:∵an=log3(2n+1),∴a3=log3(23+1)=log39=2.
答案:2
答案:19
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