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第2课时 等差数列的性质及应用
激趣诱思
知识点拨
《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种质量单位)
激趣诱思
知识点拨
一、等差数列与一次函数的关系
激趣诱思
知识点拨
微练习
若{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q为( )
A.p+q B.0
C.-(p+q)
解析:设图象过点(p,q)和(q,p)的一次函数为y=kx+b,则
所以图象过点(p,q)和(q,p)的一次函数为y=-x+(p+q),由等差数列和一次函数的关系可知an=-n+(p+q),所以ap+q=-(p+q)+(p+q)=0.
答案:B
激趣诱思
知识点拨
二、等差数列的常用性质
激趣诱思
知识点拨
名师点析(1)等差数列{an}中,若m+n=2p,则am+an=2ap(m,n,p∈N
).
(2)等差数列{an}中,若m+n+t=p+q+r,则am+an+at=ap+aq+ar(m,n,t,p,q,r∈N
).
(3)等差数列{an}中,
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)判断正误.
①在等差数列的通项公式中,an是关于n的一次函数.( )
②在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q.( )
③等差数列去掉前面连续的若干项后,剩下的项仍构成等差数列.( )
④摆动数列不可能是等差数列.( )
⑤在等差数列{an}中,若m+n=p,则am+an=ap.( )
⑥在等差数列{an}中,若m+n+p=3t,则am+an+ap=3at.( )
答案:①× ②× ③√ ④√ ⑤× ⑥√
激趣诱思
知识点拨
(2)在等差数列{an}中,若a5=7,a9=19,则a2+a12= ,a7= .?
解析:a2+a12=a5+a9=7+19=26.
因为a5+a9=2a7=26,所以a7=13.
答案:26 13
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等差数列性质的应用
例1(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值;
(2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值;
(3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.
分析:利用等差数列的性质解决各个问题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)(方法1)设{an}的公差为d,
(方法2)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40.
(方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.
(2)由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.
(3)令cn=an-bn,因为{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,设其公差为d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
反思感悟求等差数列基本运算的两种方法
一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算,这是最基本的方法;二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
延伸探究(1)已知数列{an}为等差数列,且a1+a6+a11=3,则a3+a9= .?
(2)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75= .?
解析:(1)因为数列{an}为等差数列,所以a1+a11=2a6,即3a6=3,解得a6=1,故a3+a9=2a6=2.
(2)因为{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,则a15为首项,a60为其第4项,所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4,所以a75=a60+d=20+4=24.
答案:(1)2 (2)24
探究一
探究二
探究三
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等差数列的综合问题
例2(1)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值;
(2)已知四个数依次成等差数列,且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.
分析:(1)利用等差数列的性质求解;(2)可设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d进行求解.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
解:(1)设{an}的公差为d,∵a1+a3=2a2,
∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5.
又a1a2a3=80,{an}是公差为正数的等差数列,
∴a1a3=(5-d)(5+d)=16,
解得d=3或d=-3(舍去),
∴a12=a2+10d=35,∴a11+a12+a13=3a12=105.
(2)设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则
探究一
探究二
探究三
素养形成
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反思感悟三个数或四个数成等差数列时,设未知量的技巧如下:
(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时,可先设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….
(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时,可先设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….这样可减少计算量.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
(2)已知三个数成等差数列,且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.
答案:A
探究一
探究二
探究三
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由①得a=6,代入②得d=±2.
∵该数列是递增的,∴d=-2舍去,∴d=2,∴这三个数分别为4,6,8.
探究一
探究二
探究三
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等差数列的实际应用
例3《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,最上面4节的容积共3升,最下面3节的容积共4升,则从上往下数,第5节的容积为( )
分析:设出等差数列的首项与公差,运用等差数列的知识解决.
探究一
探究二
探究三
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解析:设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则
答案:B
探究一
探究二
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反思感悟解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
1.解答数列实际应用问题的基本步骤:(1)审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;(2)建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;(3)判型,即判断该数列是否为等差数列;(4)求解,即求出该问题的数学解;(5)还原,即将所求结果还原到实际问题中.
2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.
探究一
探究二
探究三
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变式训练2第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,以后每4年举行一次,如因故不能举行,届数照算,那么2020年将在日本东京举行的奥运会是( )
A.第30届
B.第31届
C.第32届
D.第33届
解析:依题意知举行奥运会的年份构成以1
896为首项,4为公差的等差数列,通项公式为an=1
896+4(n-1),令2
020=1
896+4(n-1),解得n=32.
答案:C
探究一
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等差数列的探索性问题
(1)求证:数列{bn}为等差数列.
(2)设cn=
,试问数列{cn}中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,求出这三项;若不存在,说明理由.
分析:(1)证明(bn+1-bn)为常数;(2)假设存在三项成等差数列,利用等差中项的性质列式推出一个矛盾的结论.
探究一
探究二
探究三
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(2)解:假设数列{cn}中存在三项,它们可以构成等差数列.
不妨设为第p,r,q(p由(1)得bn=n,∴cn=2n,
∴2·2r=2p+2q,∴2r+1-p=1+2q-p.
又2r+1-p为偶数,1+2q-p为奇数,
故不存在这样的三项,满足条件.
方法点睛判断三个数能不能成等差数列,可先假设所证三个数成等差数列,利用等差数列的性质列式,推出矛盾结论.
探究一
探究二
探究三
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1.已知等差数列{an},a7+a19=19,a5=1,则a21的值为( )
A.20
B.18
C.15
D.17
解析:因为a7+a19=a5+a21,所以19=1+a21,解得a21=18.
答案:B
2.已知数列{an},{bn}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2an-3bn}的公差为( )
A.7
B.5
C.3
D.1
解析:2an+1-3bn+1-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=4-3=1.
答案:D
探究一
探究二
探究三
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3.已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,且a2+a6=a8.若p-q=10,则ap-aq= .?
解析:设等差数列{an}的公差为d>0.
∵a1=1,且a2+a6=a8,∴2+6d=1+7d,解得d=1.若p-q=10,
则ap-aq=10d=10.
答案:10
4.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度的比等于 .?
解析:设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a,a+d,根据勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,解得a=4d,于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5.
答案:3∶4∶5
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
5.某公司2017年经销一种数码产品,获利200万元,从2018年起,预计其利润每年比上一年减少20万元.按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将出现亏损?
解:记2017年为第1年,由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,……,则每年获利构成等差数列{an},且当an<0时,该公司经销此产品将亏损.
设第n年的利润为an,因为a1=200,公差d=-20,
所以an=a1+(n-1)d=220-20n.
由题意知,数列{an}为递减数列,令an<0,即an=220-20n<0,解得n>11,即从第12年起,也就是从2028年开始,该公司经销此产品将出现亏损.第四章数列
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念及通项公式
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为( )
A.an=3n-1
B.an=2n+1
C.an=2n+3
D.an=3n+2
解析an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.
答案A
2.若△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,则cos(A+C)=( )
A.
B.
C.-
D.-
解析因为A,B,C成等差数列,所以A+C=2B.又因为A+B+C=π,所以A+C=,故cos(A+C)=-.
答案C
3.在等差数列{an}中,已知a1=,a4+a5=,ak=33,则k=( )
A.50
B.49
C.48
D.47
解析设等差数列{an}的公差为d,∵a1=,a4+a5=,∴2a1+7d=,解得d=,则an=+(n-1)×,则ak==33,解得k=50.
答案A
4.在等差数列{an}中,a1=8,a5=2,若在相邻两项之间各插入一个数,使之成等差数列,则新等差数列的公差为
( )
A.
B.-
C.-
D.-1
解析设原等差数列的公差为d,则8+4d=2,
解得d=-,因此新等差数列的公差为-.
答案B
5.(多选)等差数列20,17,14,11,…中的负数项可以是
( )
A.第7项
B.第8项
C.第9项
D.第10项
解析∵a1=20,d=-3,
∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n,
∴a7=2>0,a8=-1<0.
故数列中的负数项是第8项及其之后的项,故选BCD.
答案BCD
6.已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3= .?
解析∵{an}为等差数列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,
∴a1+d=2(a1+2d)+1,a1+3d=2(a1+2d)+7,
解得a1=-10,d=3,
∴a3=a1+2d=-10+6=-4.
答案-4
7.已知a>0,b>0,2a=3b=m,且a,ab,b成等差数列,则m= .?
解析∵a>0,b>0,2a=3b=m≠1,∴a=,b=.
∵a,ab,b成等差数列,∴2ab=a+b,
∴2×.
∴lgm=(lg2+lg3)=lg6=lg.则m=.
答案
8.正项数列{an}满足a1=1,a2=2,2(n∈N
,n≥2),则a7= .?
解析因为2(n∈N
,n≥2),
所以数列{}是以=1为首项,以d==4-1=3为公差的等差数列,
所以=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=,n≥1.
所以a7=.
答案
9.已知x,y,z成等差数列,求证:x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.
证明因为x,y,z成等差数列,所以2y=x+z,
而x2(y+z)+z2(y+x)=x2y+x2z+z2y+z2x
=x2y+z2y+xz(x+z)=x2y+z2y+2xyz=y(x+z)2=2y2(x+z),
故x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.
10.已知数列{an},a1=1,an+1=2an+2n.
(1)设bn=,证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
解(1)因为an+1=2an+2n,
所以+1,
所以=1,n∈N
.
又因为bn=,所以bn+1-bn=1.所以数列{bn}是等差数列,其首项b1=a1=1,公差为1.
(2)由(1)知bn=1+(n-1)×1=n,
所以an=2n-1bn=n·2n-1.
能力提升练
1.已知等差数列的前4项分别是a,x,b,2x,则等于
( )
A.
B.
C.
D.
解析依题意,得解得.
答案C
2.下列命题正确的是( )
A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列
B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列
C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列
D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列
解析因为a,b,c为等差数列,所以2b=a+c,
所以2(b+2)=(a+2)+(c+2),故a+2,b+2,c+2成等差数列,即C项正确.ABD三项通过举反例易知不正确.
答案C
3.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是( )
A.a6
B.a8
C.a10
D.a12
解析设等差数列{an}的公差为d.
∵4a3=3a2,∴4(a1+2d)=3(a1+d),可得a1+5d=0,
∴a6=0,则{an}中一定为零的项是a6.
答案A
4.已知{an}是公差为d的等差数列,若3a6=a3+a4+a5+12,则d= .?
解析3a6=a3+a4+a5+12?3(a1+5d)=a1+2d+a1+3d+a1+4d+12?6d=12,解得d=2.
答案2
5.已知数列{an}与均为等差数列(n∈N
),且a1=1,则a10= .?
解析设等差数列{an}的公差为d,
则an=1+(n-1)d=dn+1-d,
∴=d2n+2d(1-d)+为等差数列,
根据等差数列的性质可知=0,
即d=1,∴a10=10.
答案10
6.已知数列{an},a1=1,a2=,且(n≥2),则an= .?
解析∵,
∴数列是等差数列,公差d=.
∴+(n-1)d=1+(n-1)=.
∴an=.
答案
7.已知等差数列{an}:3,7,11,15,….
(1)求等差数列{an}的通项公式.
(2)135,4b+19(b∈N
)是数列{an}中的项吗?若是,是第几项?
(3)若am,at(m,t∈N
)是数列{an}中的项,则2am+3at是数列{an}中的项吗?若是,是第几项?
解(1)设等差数列{an}的公差为d.
依题意,得a1=3,d=7-3=4,
故an=3+4(n-1)=4n-1.
(2)令an=4n-1=135,解得n=34,
故135是数列{an}的第34项.∵4b+19=4(b+5)-1,且b∈N
,∴4b+19是数列{an}的第(b+5)项.
(3)∵am,at是数列{an}中的项,∴am=4m-1,at=4t-1,
∴2am+3at=2(4m-1)+3(4t-1)=4(2m+3t-1)-1.
∵2m+3t-1∈N
,
∴2am+3at是数列{an}的第(2m+3t-1)项.
8.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N
).
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若λan+≥λ对任意的n≥2恒成立,求实数λ的取值范围.
(1)证明由3anan-1+an-an-1=0(n≥2),
整理得=3(n≥2),
所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列.
(2)解由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=.
(3)解λan+≥λ对任意的n≥2恒成立,
即+3n-2≥λ对任意的n≥2恒成立,
整理,得λ≤对任意的n≥2恒成立.
令f(n)=,
则f(n+1)-f(n)==3-.
因为n≥2,所以f(n+1)-f(n)>0,
即f(2)又f(2)=,所以λ≤,
所以实数λ的取值范围为.
素养培优练
数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.
解(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1,
所以当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3.
从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)数列{an}不可能为等差数列,
证明如下:
由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,
得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.
于是a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
这与{an}为等差数列矛盾,所以不存在λ使{an}是等差数列.第四章数列
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第2课时 等差数列的性质及应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=π,则cos
a3=( )
A.
B.
C.-
D.
解析因为{an}是等差数列,所以a1+a3+a5=(a1+a5)+a3=3a3=π,所以a3=,故cosa3=cos.
答案D
2.如果在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( )
A.14
B.21
C.28
D.35
解析∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12,a4=4.
又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,
故a1+a2+…+a7=7a4=28.
答案C
3.已知数列是等差数列,且a3=2,a15=30,则a9等于
( )
A.12
B.24
C.16
D.32
解析令bn=,由题意可知b3=,b15==2,则等差数列{bn}的公差d=,则b9=b3+(9-3)d=,所以a9=9b9=12,故选A.
答案A
4.已知等差数列{an}满足am-1+am+1--1=0,且m>1,则a1+a2m-1=( )
A.10
B.9
C.3
D.2
解析由等差数列的性质知,am-1+am+1=2am,则2am--1=0,即(am-1)2=0,解得am=1.所以a1+a2m-1=2am=2,故选D.
答案D
5.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题:“今有白米一百八十石,令三人从上及和减率分之,只云甲多丙米三十六石,问:各该若干?”其意思为:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三人来分,他们分得的白米数构成等差数列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少白米?”请问甲应该分得白米为( )
A.96石
B.78石
C.60石
D.42石
解析依题意,设甲、乙、丙分得的米重量分别为a1,a2,a3,则a1+a2+a3=3a2=180,且a1-a3=-2d=36,解得a2=60,d=-18,所以a1=a2-d=60+18=78,故选B.
答案B
6.在等差数列{an}中,a3,a8是方程x2-3x-5=0的两个根,则a1+a10= .?
解析依题意,得a3+a8=3,所以a1+a10=a3+a8=3.
答案3
7.已知等差数列{an}共有10项,其奇数项之和为10,偶数项之和为30,则公差是 .?
答案4
8.在等差数列{an}中,已知a1+2a8+a15=96,则a8= ,2a9-a10= .?
解析∵a1+2a8+a15=4a8=96,∴a8=24.
∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.
答案24 24
9.在等差数列{an}中,已知am=n,an=m,m,n∈N
,则am+n的值为 .?
解析设等差数列的公差为d,则d==-1,从而am+n=am+(m+n-m)d=n+n·(-1)=0.
答案0
10.在等差数列{an}中,
(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d.
解(方法一)(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48,
得4a13=48,∴a13=12.
(2)由a2+a3+a4+a5=34,
得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17,
解∴d==3或d==-3.
(方法二)(1)直接化成a1和d的方程如下:
(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,即4(a1+12d)=48,∴4a13=48,∴a13=12.
(2)直接化成a1和d的方程如下:
解得∴d=3或-3.
能力提升练
1.(多选)已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有( )
A.a1+a101>0
B.a2+a100<0
C.a3+a99=0
D.a51=0
解析根据性质得:a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,由于a1+a2+a3+…+a101=0,∴101a51=0,
∴a51=0,又因为a3+a99=2a51,∴a3+a99=0.
答案CD
2.已知等差数列{an},a2=2,a4=8,若=3n-1,则b2
017=( )
A.2
016
B.2
017
C.2
018
D.0
解析由a2=2,a4=8,得数列{an}的公差d==3,所以an=2+(n-2)×3=3n-4,所以an+1=3n-1.又数列{an}的公差不为0,所以数列{an}为单调数列,所以结合=3n-1,可得bn=n+1,故b2017=2018.故选C.
答案C
3.设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列,则( )
A.d>0
B.d<0
C.a1d>0
D.a1d<0
解析设bn=,则bn+1=,由于{}是递减数列,因此bn>bn+1,即.∵y=2x是单调增函数,∴a1an>a1an+1,∴a1an-a1(an+d)>0,∴a1(an-an-d)>0,即a1(-d)>0,∴a1d<0.
答案D
4.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为 .?
解析不妨设角A=120°,c于是cos120°==-,
解得b=10,所以a=14,c=6.
所以S△ABC=bcsin120°=15.
答案15
5.若x≠y,数列x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自成等差数列,则= .?
解析由题意,得a1-a2=,b1-b2=,
所以.
答案
6.已知中位数为1
010的一组数构成等差数列,其末项为2
017,则该数列的首项为 .?
解析设等差数列为{an},若这组数有(2m+1)个,则am+1=1010,a2m+1=2017.又a1+a2m+1=2am+1,即a1+2017=2×1010,所以a1=3;若这组数有2m个,则am+am+1=1010×2=2020,a2m=2017.又a1+a2m=am+am+1,即a1+2017=2020,所以a1=3.综上,该数列的首项为3.
答案3
7.古代中国数学辉煌灿烂,在《张丘建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给.问:各得金几何及未到三人复应得金几何?”求该问题中未到三人共得金多少斤.
解由题意,得{an}为等差数列,
则
解得所以a4+a5+a6=a1+a2+a3+9d=4+9×.故未到三人共得金斤.
8.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
解∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5.
又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9,
即(a4-2d)(a4+2d)=9,(5-2d)(5+2d)=9.
解得d=±2.
若d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3;
若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n.
素养培优练
已知{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若从数列{an}中,依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试求出{bn}的通项公式.
解(1)∵a1+a2+a3=12,∴a2=4.
∵a8=a2+(8-2)d,∴16=4+6d,∴d=2,
∴an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.
(2)a2=4,a4=8,a6=12,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.
当n>1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.
∴{bn}是以4为首项,4为公差的等差数列.
∴bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.(共30张PPT)
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念及通项公式
激趣诱思
知识点拨
姚明是大家都熟悉的篮球运动员,下面是姚明刚进NBA一周训练时投球的个数:
第一天6
000,第二天6
500,第三天7
000,第四天7
500,第五天8
000,第六天8
500,第七天9
000.
得到数列:6
000,6
500,7
000,7
500,8
000,8
500,9
000.
你发现这个数列有什么特点了吗?
激趣诱思
知识点拨
一、等差数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
名师点析等差数列概念的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征).
(3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒.
(4)公差可以是正数、负数、零.
(5)等差数列的增减性与公差d的关系:当d>0时,是递增数列;当d<0时,是递减数列;当d=0时,是常数列.
激趣诱思
知识点拨
微练习
判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d.
①1,3,5,7,9,…;
②9,6,3,0,-3,…;
③1,3,4,5,6,…;
④7,7,7,7,7,…;
解:①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.
激趣诱思
知识点拨
二、等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.这三个数满足关系式2A=a+b.
微练习
若a,b是方程x2-2x-3=0的两根,则a,b的等差中项为( )
答案:C
激趣诱思
知识点拨
三、等差数列的通项公式
首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.
名师点析(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1,d和n的表达式,所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.
(2)等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)等差数列{an}:5,0,-5,-10,…的通项公式是 .?
(2)若等差数列{an}的通项公式是an=4n-1,则其公差d= .?
解析:(1)易知a1=5,d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n.
(2)公差d=an-an-1=(4n-1)-[4(n-1)-1]=4.
答案:(1)an=10-5n (2)4
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等差数列的通项公式及其应用
例1(1)已知数列{an}是首项为2,公差为4的等差数列,若an=2
022,则n=( )
A.504
B.505
C.506
D.507
(2)在等差数列40,37,34,…中,第一个负数项是( )
A.第13项
B.第14项
C.第15项
D.第16项
(3)在等差数列{an}中,若a3=12,a6=27,则其通项公式为 .?
分析:(1)与(2)均可先求通项公式,再利用通项公式解决相应问题;(3)可根据已知条件建立关于a1和d的方程组,求得a1和d即可得到通项公式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)根据题意,数列{an}是首项为2,公差为4的等差数列,则an=a1+(n-1)d=4n-2,若an=2
022,则有4n-2=2
022,解得n=506.
(2)首项a1=40,公差d=-3,
所以an=40-3(n-1)=43-3n.
答案:(1)C (2)C (3)an=5n-3
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧
1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差.
2.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.
3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量为n的一次函数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1在等差数列{an}中,求解下列各题:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等差中项及其应用
例2(1)若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2
020项;
(2)在-1和7之间插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求这三个数.
分析:(1)先根据条件求出通项公式,再代入求解;(2)先根据等差中项求出b,再依次利用等差中项求出a,c.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟等差中项的应用策略
1.求两个数x,y的等差中项,根据等差中项的定义得
2.证明三项成等差数列,只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等差数列的判断与证明
例3判断下列数列是否为等差数列.
(1)在数列{an}中,an=3n+2;
(2)在数列{an}中,an=n2+n.
分析:根据等差数列的定义,判断an+1-an是否为常数.
解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N
),故该数列为等差数列.
(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟用定义法判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本步骤为:
(1)作差an+1-an.
(2)对差式进行变形.
(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3已知数列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).
(1)判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由;
(2)求{an}的通项公式.
解:(1)当n≥3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,
而a2-a1=0不满足an-an-1=2(n≥3),
∴{an}不是等差数列.
(2)当n≥2时,an是等差数列,公差为2.
当n≥2时,an=1+2(n-2)=2n-3,
又a1=1不适合上式,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
分析:先用an表示bn+1,bn,再验证bn+1-bn为常数,最后可求出数列{an}的通项公式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟判断等差数列的方法
(1)定义法:an+1-an=d(n∈N
)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N
)?数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N
)?{an}为等差数列.
(3)通项公式法:数列{an}的通项公式an=pn+q(p,q为常数)?数列{an}为等差数列.
注意:(1)通项公式法不能作为证明方法.(2)若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差;若an+1-an=an-an-1(n≥2,且n∈N
)成立,则无法确定等差数列{an}的公差.(3)若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.
(4)已知数列的递推公式求数列的通项时,要通过对递推公式进行合理变形,构造出等差数列求通项.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
对称法设项
典例成等差数列的四个数之和为26,第2个数和第3个数之积为40,求这四个数.
方法点睛题中是已知四个数成等差数列,则采用“对称法”设项,这样可以减少计算量,因此要记住奇数个数或偶数个数成等差数列的“对称法设项”的方法,以达到快速求解的目的.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.已知数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列( )
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
解析:∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,
∴数列{an}是公差为2的等差数列.
答案:A
探究一
探究二
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素养形成
当堂检测
答案:D
3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2,则a20=( )
A.38
B.40
C.-36
D.-38
解析:∵an+1=an+2,∴an+1-an=2,∴数列{an}是公差为2的等差数列.∵a1=2,∴a20=2+(20-1)×2=40.
答案:B
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素养形成
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4.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m和n的等差中项为 .?
解析:由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.
又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.
两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6.
答案:3
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探究二
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素养形成
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5.在等差数列{an}中,a1=23,公差d为整数,若a6>0,a7<0.
(1)求公差d的值;
(2)求通项an.
又公差d为整数,所以d=-4.
(2)因为等差数列{an}的首项为23,公差为-4,
所以通项an=23-4(n-1)=-4n+27.
