第四章数列
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
解析设{an}的公差为d,则解得所以a7=a1+6d=-3+6×2=9,故选D.
答案D
2.(多选)(2020山东高三月考)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则下列正确的是( )
A.a1=-2
B.a1=2
C.d=4
D.d=-4
解析因为所以
故选AC.
答案AC
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则an等于( )
A.n
B.n2
C.2n+1
D.2n-1
解析当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,且a1=1适合上式,故an=2n-1(n∈N
).
答案D
4.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:相逢时良马比驽马多行( )
A.1
125里
B.920里
C.820里
D.540里
解析设良马每天所行路程为{an},则{an}是以103为首项,以13为公差的等差数列,其前n项和为An,驽马每天所行路程为{bn},则{bn}是以97为首项,以-为公差的等差数列,其前n项和为Bn,设共用n天二马相逢,则An+Bn=2×1125,所以103n+×13+97n+=2250,
化简得n2+31n-360=0,解得n=9.
A9=103×9+×13=1395,
B9=2250-1395=855,A9-B9=1395-855=540.
答案D
5.已知数列{an}的通项公式为an=2n+1,令bn=(a1+a2+…+an),则数列{bn}的前10项和T10=( )
A.70
B.75
C.80
D.85
解析∵an=2n+1,
∴数列{an}是等差数列,首项a1=3,其前n项和Sn==n2+2n,∴bn=Sn=n+2,∴数列{bn}也是等差数列,首项b1=3,公差为1.
∴其前10项和T10=10×3+×1=75,故选B.
答案B
6.已知等差数列{an}中,a10=13,S9=27,则公差d= ,a100= .?
解析S9=9a5=27?a5=3,d==2,
∴a100=a10+90d=13+90×2=193.
答案2 193
7.(2019全国Ⅲ,理14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则= .?
解析设等差数列{an}的公差为d.
∵a1≠0,a2=3a1,
∴a1+d=3a1,即d=2a1.
∴=4.
答案4
8.已知数列{an}的前n项和为Sn=n·2n-1,则a3+a4+a5= .?
解析a3+a4+a5=S5-S2=(5×25-1)-(2×22-1)=152.
答案152
9.设数列{an}的前n项和为Sn,点(n∈N
)均在函数y=3x-2的图象上,求数列{an}的通项公式.
解依题意,得=3n-2,即Sn=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5.
因为a1=S1=1,满足an=6n-5,
所以an=6n-5(n∈N
).
10.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.
(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
解(1)∵an+2=2an+1-an+2,
∴an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.
又b1=a2-a1=2-1=1,
∴数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)可知,an+1-an=1+2(n-1)=2n-1,
∴an-an-1=2(n-1)-1,
an-1-an-2=2(n-2)-1,
……
a2-a1=2×1-1,
累加,得an-a1=2×-(n-1)=n2-2n+1,
∴an=a1+n2-2n+1=n2-2n+2,
∴数列{an}的通项公式为an=n2-2n+2.
能力提升练
1.在等差数列{an}中,2a4+a7=3,则数列{an}的前9项和S9等于( )
A.3
B.6
C.9
D.12
解析设等差数列{an}的公差为d,因为2a4+a7=3,
所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得a1+4d=1,
即a5=1,
所以S9==9a5=9.
答案C
2.若公差不为0的等差数列{an}的前21项的和等于前8项的和,且a8+ak=0,则正整数k的值为( )
A.20
B.21
C.22
D.23
解析设等差数列{an}的前n项和为Sn,由题意,得S21=S8,即a9+a10+…+a21=0.根据等差数列的性质,得13a15=0,即a15=0.故a8+a22=2a15=0,即k=22.故选C.
答案C
3.已知等差数列{an},a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列{bn}的前5项和等于( )
A.30
B.45
C.90
D.186
解析由等差数列{an}易得公差d1=3.又bn=a2n,所以{bn}也是等差数列,公差d2=6.故S5=b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=5×6+×6=90.
答案C
4.(2020河北正定中学高一月考)设等差数列{an}的前n项和是Sn,已知S14>0,S15<0,下列选项正确的是
( )
A.a1>0,d<0
B.a7+a8>0
C.S6与S7均为Sn的最大值
D.a8<0
解析根据题意,有S14==7(a1+a14)=7(a7+a8)>0,即a7+a8>0,S15==15a8<0,即a8<0,则a7>0;
故等差数列{an}的前7项为正数,从第8项开始为负数,
则a1>0,d<0.
则有S7为Sn的最大值.故A,B,D正确.
故选ABD.
答案ABD
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N
),则a5= .?
解析当n≥2时,由Sn=2an-1,得Sn-1=2an-1-1.两式相减,得an=2an-2an-1,所以an=2an-1.因为a1=2a1-1,所以a1=1,故a5=2a4=22a3=23a2=24a1=16.
答案16
6.(2019北京,理10)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,Sn的最小值为 .?
解析等差数列{an}中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0,由等差数列{an}的性质得当n≤5时,an≤0,当n≥6时,an大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为-10.
答案0 -10
7.已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=.
(1)求证:是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明∵-an=2SnSn-1(n≥2),∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2).又Sn≠0(n=1,2,3,…),
∴=2.
又=2,
∴是以2为首项,2为公差的等差数列.
(2)解由(1)可知=2+(n-1)·2=2n,∴Sn=.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1==-或当n≥2时,an=-2SnSn-1=-;
当n=1时,S1=a1=.
故an=
素养培优练
设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=λan-1(λ为常数,n=1,2,3,…).
(1)若a3=,求λ的值.
(2)是否存在实数λ,使得数列{an}是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
解(1)因为Sn=λan-1,
所以a1=λa1-1,a2+a1=λa2-1,a3+a2+a1=λa3-1.
由a1=λa1-1,可知λ≠1,
所以a1=,a2=,a3=.
因为a3=,所以,解得λ=0或λ=2.
(2)假设存在实数λ,使得数列{an}是等差数列,则2a2=a1+a3,
由(1)可得,
所以,即=0,显然不成立,所以不存在实数λ,使得数列{an}是等差数列.(共28张PPT)
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
激趣诱思
知识点拨
等差数列的前n项和公式是一个关于n的函数,那么这个函数和二次函数有什么关系呢?
等差数列的前n项和公式又具有什么独特的性质呢?
这一节课我们就来研究一下这些问题.
激趣诱思
知识点拨
一、等差数列前n项和的函数特征
激趣诱思
知识点拨
名师点析(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值.
(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最大值.
(3)特别地,若an>0,d>0,则S1是{Sn}的最小项;若an<0,d<0,则S1是{Sn}的最大项.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知在公差d<0的等差数列{an}中,S8=S18,则此数列的前多少项和最大?
因为S8=S18,d<0,所以抛物线f(x)的对称轴是直线x=13,且抛物线开口向下,故当n=13时,f(n)有最大值,即数列{an}的前13项和最大.
激趣诱思
知识点拨
二、等差数列前n项和的性质
(2)设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,
…仍构成等差数列,且公差为m2d.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
(2)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则S6= .?
解析:(1)设等差数列的公差为d,由题意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得d=3.
(2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,∴4+(S6-9)=2×5,解得S6=15.
答案:(1)C (2)15
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等差数列前n项和的性质及其应用
例1(1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m为 .?
分析:运用等差数列前n项和的性质解决问题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)方法一 在等差数列中,
∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
∴30,70,S3m-100成等差数列.
∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时,先利用已知条件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有时运算量大些).
(2)如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的性质,可简化运算,为最优解法.
(3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1(1)已知等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27,则公差d= .?
(2)一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项之和为 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:(1)5 (2)-110
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等差数列前n项和的最值问题
例2在等差数列{an}中,Sn为前n项和,且a1=25,S17=S9,请问数列{an}前多少项和最大?
分析:解答本题可用多种方法,根据S17=S9找出a1与d的关系,转化为Sn的二次函数求最值,也可以先用通项公式找到通项的变号点,再求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
=-(n-13)2+169.
故该数列的前13项之和最大,最大值是169.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解法三:∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0.
∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.
∵a1=25>0,
∴当n≤13时,an>0;当n≥14时,an<0.
∴S13最大.
故当n=13时,Sn有最大值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟一般地,在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则其前n项和Sn有最大值;若a1<0,d>0,则其前n项和Sn有最小值,具体求解方法如下:
(2)利用等差数列的性质,找出数列{an}中正、负项的分界项.当a1>0,d<0时,前n项和Sn有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项和Sn有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2已知{an}为等差数列,a3=7,a1+a7=10,Sn为其前n项和,则使Sn取得最大值的n等于 .?
答案:6
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求数列{|an|}的前n项和问题
分析:先求出通项an,再确定数列中项的正负,最后利用Sn求解.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104.
∵n=1也适合上式,
∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N
).
即当n≤34时,an>0;
当n≥35时,an<0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)当n≥35时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|
=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)
=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)
=2S34-Sn
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤
1.确定通项公式an;
2.根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先正后负;
3.去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式;
4.将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究在本例中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,求数列{|an|}的前n项和.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等差数列前n项和性质的灵活应用
典例项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.
分析:由于本题涉及等差数列的奇数项和及偶数项和,因此可以利用与奇、偶数项和有关的性质解题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解法一:设此等差数列为{an},公差为d,Sn为其前n项和,S奇、S偶分别表示奇数项之和与偶数项之和.
由题意知项数为奇数,可设为(2n+1)项,则奇数项为(n+1)项,偶数项为n项,an+1为中间项.
由性质知S奇-S偶=an+1,∴an+1=11.
又S2n+1=S奇+S偶=44+33=77,
∴(2n+1)(a1+nd)=77.
又a1+nd=an+1=11,∴2n+1=7.
故这个数列的中间项为11,项数为7.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
∴项数为2n+1=7.
又由S奇-S偶=a中,得a中=44-33=11.
故中间项为11,项数为7.
方法点睛本题两种解法均使用性质“等差数列项数为2n+1时,
S奇-S偶=a中”,从而求得中间项.求项数时,解法一用
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为( )
A.9
B.10
C.11
D.12
解析:∵等差数列有2n+1项,S奇-S偶=a中,∴a中=15.
又S2n+1=(2n+1)a中,∴165+150=(2n+1)×15,
∴n=10.
答案:B
2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且Sn=20,S2n=80,则S3n=( )
A.130
B.180
C.210
D.260
解析:因为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍然构成等差数列,所以20,60,S3n-80成等差数列,所以2×60=20+S3n-80,解得S3n=180.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.在数列{an}中,a1=32,an+1=an-4,则当n= 时,前n项和Sn取得最大值,最大值是 .?
解析:由an+1=an-4,得{an}为等差数列,且公差d=an+1-an=-4,故an=-4n+36.
令an=-4n+36≥0,得n≤9,
故当n=8或n=9时,Sn最大,且S8=S9=144.
答案:8或9 144
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.在等差数列{an}中,Sn为其前n项和.若S2=16,S4=24,求数列{|an|}的前n项和Tn.
解:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
所以等差数列{an}的通项公式为an=11-2n(n∈N
).
①当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=-n2+10n;
②当n≥6时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an
=2S5-Sn=2×(-52+10×5)-(-n2+10n)=n2-10n+50.第四章数列
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,a1=-11,=2,则S11=( )
A.-11
B.11
C.10
D.-10
解析∵{an}为等差数列,∴为等差数列,首项=a1=-11,设的公差为d,则=2d=2,
∴d=1,
∴=-11+10d=-1,∴S11=-11.
答案A
2.某等差数列共有13项,其中偶数项之和为30,则奇数项之和为( )
A.34
B.35
C.36
D.不能确定
解析由题意可得,偶数项的S偶=a2+a4+…+a12=30,由等差数列的性质可知,6a7=30,即a7=5,因为共有13项,∴S奇=S偶+a7=35.
答案B
3.若Sn表示等差数列{an}的前n项和,,则=( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意,得S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等差数列.∵,∴S10=3S5,
∴S15=6S5,S20=10S5,∴.
答案C
4.(多选)(2019山东莱州一中高三月考)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有( )
A.a10=0
B.S7=S12
C.S10最小
D.S20=0
解析因为{an}是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确,
又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即选项B正确,
当d>0时,则S9或S10最小,当d<0时,则S9或S10最大,即选项C错误,
又S19=19a10=0,a20≠0,所以S20≠0,即选项D错误,故选AB.
答案AB
5.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若,则=( )
A.
B.
C.
D.
解析∵,则根据等差数列的性质可知.
答案D
6.已知等差数列{an},Sn为其前n项和,S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6= .?
解析∵S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,而S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,∴S9-S6=5.
答案5
7.已知等差数列{an},|a5|=|a9|,公差d>0,则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是 .?
解析由|a5|=|a9|,且d>0,得a5<0,a9>0,且a5+a9=0,即2a1+12d=0,即a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且为最小值.
答案6或7
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0,n∈N
,若S12>0,S13<0,则数列{|an|}的最小项是 .?
解析设等差数列{an}的公差为d.
∵a1>0,n∈N
,S12>0,S13<0,
∴6(a6+a7)>0,13a7<0.
∴a6>0,a7<0,且a6>-a7>0.
而-a7<-a8<…,则数列{|an|}的最小项是a7.
答案a7
9.已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4.
(1)求数列{an}的前n项和Sn;
(2)求数列的前n项和Tn.
解(1)设{an}的公差为d,
由题意,得
即解得
所以Sn=3n+×(-1)=-n2+n.
(2)由(1),得=-n+,
所以=-(n+1)+=-,
即数列是首项为=3,公差为-的等差数列,故Tn=3n+=-n2+n.
10.在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.
解等差数列{an}的公差d==3,
故an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.
由an<0,得3n-63<0,即n<21.
故数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.
设Sn,S'n分别表示数列{an},{|an|}的前n项和,
当n≤20时,S'n=-Sn
=-=-n2+n;
当n≥21时,S'n=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+×3-2×
=n2-n+1260.故数列{|an|}的前n项和为S'n=
能力提升练
1.在数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则这个数列前30项的绝对值之和为( )
A.495
B.765
C.46
D.76
解析由已知可以判断数列{an}是以-60为首项,3为公差的等差数列,因此an=3n-63.
∵a1<0,d>0,a21=0,a22>0,
∴数列前30项的绝对值之和为S30-2S21=30×(-60)+×3-2×=765.
答案B
2.(多选)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且,则使得为整数的正整数n可以是( )
A.1
B.2
C.3
D.6
解析=7+.
当n=1,2,3,5,11时,为整数,即当n=1,2,3,5,11时,为整数.故选ABC.
答案ABC
3.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,nSn+1>(n+1)Sn(n∈N
),且<-1,则在Sn中( )
A.最小值是S7
B.最小值是S8
C.最大值是S8
D.最大值是S7
解析由nSn+1>(n+1)Sn,得,即>0.而,所以d>0.因为<-1,所以<0,即a7(a7+a8)<0.由于d>0,因此数列{an}是递增数列,所以a7<0,a7+a8>0,所以a7<0,a8>0,所以在Sn中最小值是S7.
答案A
4.设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a4和a5是方程x2-20x+99=0的两个根,若对任意n∈N
都有Sn≤Sk成立,则k的值为 .?
解析∵a4和a5是方程x2-20x+99=0的两个根,
∴a4+a5=20,a4·a5=99.
∵对任意n∈N
都有Sn≤Sk成立,即Sk是和的最大值,从而d<0,∴a4=11,a5=9,d=-2,an=a4+(n-4)×(-2)=19-2n,
当n≤9时,an>0,当n>9时,an<0,
若对任意n∈N
都有Sn≤Sk成立,则k=9.
答案9
5.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且S2
011=S2
014,Sk=S2
009,则正整数k为 .?
解析因为等差数列{an}的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数,所以由二次函数图象的对称性及S2011=S2014,Sk=S2009,可得,解得k=2016.
答案2
016
6.已知数列{an}是以3为公差的等差数列,Sn是其前n项和,若S10是数列{Sn}中的唯一最小项,则数列{an}的首项a1的取值范围是 .?
解析依题意,得解得-30
答案(-30,-27)
7.设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N
,Sn是和an的等差中项.
(1)证明:数列{an}为等差数列,并求an;
(2)若bn=-n+5,求{an·bn}的最大值,并求出取最大值时n的值.
(1)证明由已知,得2Sn=+an,且an>0.
当n=1时,2a1=+a1,解得a1=1.
当n≥2时,2Sn-1=+an-1.
所以2Sn-2Sn-1=+an-an-1,即2an=+an-an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.
因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).
故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,且an=n.
(2)解由(1)可知an=n.设cn=an·bn,
则cn=n(-n+5)=-n2+5n=-.
∵n∈N
,∴当n=2或n=3时,{cn}的最大项为6.
故{an·bn}的最大值为6,此时n=2或n=3.
素养培优练
在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22.
(1)数列{an}的前多少项和最大?
(2)求数列{|an|}的前n项和Sn.
解(1)设{an}的公差为d,由a10=23,a25=-22,得解得
所以an=a1+(n-1)d=-3n+53.
令an>0,得n<,所以当n≤17,n∈N
时,an>0;当n≥18,n∈N
时,an<0,故数列{an}的前17项和最大.
(2)当n≤17,n∈N
时,|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=-n2+n;
当n≥18,n∈N
时,|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a17-a18-a19-…-an=2(a1+a2+…+a17)-(a1+a2+…+an)=n2-n+884.
故Sn=(共29张PPT)
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和
激趣诱思
知识点拨
高斯是伟大的数学家、天文学家.高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目,1+2+…+100的和是多少?”
过了两分钟,正当大家在对1+2=3,3+3=6,4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说:“1+2+3+…+100=5
050.”
老师问:“你是如何算出答案的?”
高斯回答说:“因为1+100=101,2+99=101,…,50+51=101,所以101×50=5
050.”
这个故事告诉我们要像数学王子高斯一样善于观察,敢于思考,从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.
这个小故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法——“倒序相加”法.
激趣诱思
知识点拨
等差数列的前n项和公式及其推导
等差数列的前n项和公式
推导方法
倒序相加法.
推导过程
设等差数列的前n项分别为a1,a2,a3,…,an-2,an-1,an,
Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,依等差数列的通项公式,得:
Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d].①
再把项的次序反过来,Sn又可以写成:
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d].②
①②两边分别相加,得:
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an),
∴Sn=
.
激趣诱思
知识点拨
名师点析(1)两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一.
激趣诱思
知识点拨
微拓展
从函数角度认识等差数列的前n项和公式:
(1)公式的变形
(2)从函数角度认识公式
①当d≠0时,Sn是项数n的二次函数,且不含常数项;
②当d=0时,Sn=na1,Sn不是项数n的二次函数.
(3)结论及其应用
已知数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn+C,
若C=0,则数列{an}为等差数列;
若C≠0,则数列{an}不是等差数列.
激趣诱思
知识点拨
微练习
记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7= .
解析:设等差数列{an}的公差为d,因为a3=0,a6+a7=14,所以
答案:14
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等差数列前n项和公式及其应用
例1(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和,且a1=1,a4=7,则S9= .?
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9= .?
(3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1
022,则公差d= .?
分析:利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.
解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,
即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.
答案:(1)81 (2)15 (3)-171
探究一
探究二
探究三
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反思感悟a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中,可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.
探究一
探究二
探究三
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变式训练1(1)设等差数列{an}的前n项之和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5等于( )
A.15 B.20 C.25 D.30
(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( )
A.12
B.13
C.14
D.15
(3)已知Sn为等差数列{an}的前n项的和,若a3=16,S20=20,Sn=110,则n= .?
探究一
探究二
探究三
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答案:(1)C (2)B (3)10或11
探究一
探究二
探究三
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利用an与Sn的关系解决问题
例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn=5n-1,求数列{an}的通项公式;
(2)已知数列{an}的前n项和Sn=
,求数列{an}的通项公式.
分析:利用an与Sn的关系求通项公式,注意对首项的检验.
解:(1)当n=1时,a1=S1=51-1=4.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=4·5n-1.由于a1=4也适合an=4·5n-1,因此数列{an}的通项公式是an=4·5n-1(n∈N
).
探究一
探究二
探究三
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反思感悟已知数列{an}的前n项和Sn,求通项公式an的步骤
1.当n=1时,a1=S1.
2.当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1.
3.如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;
如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通
探究一
探究二
探究三
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变式训练2已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5A.9
B.8
C.7
D.6
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2+9(n-1)=2n-10.当n=1时,a1=S1=-8也适合,所以an=2n-10.因为5答案:B
探究一
探究二
探究三
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例3已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足
(1)求证:{an}为等差数列;
(2)求出{an}的通项公式.
相减,利用an与Sn的关系可消去Sn,得到an与an-1的关系,从而可判断数列{an}是不是等差数列,再根据a1=S1可求出a1的值,即得{an}的通项公式.
探究一
探究二
探究三
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若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾;
若an-1=an-1,即an-an-1=1,因此{an}为等差数列.
(2)由(1)知,{an}为等差数列,且a1=3,公差d=1,所以an=3+(n-1)=n+2,故{an}的通项公式为an=n+2.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟利用an与Sn的关系式求数列{an}的通项公式.
已知an与Sn的关系式求an时,可根据已给出的关系式,令n取n+1或n取n-1,再写出一个关系式,将两式相减,消去Sn,得到an与an+1或an与an-1的关系,从而确定数列{an}是等差数列或其他数列,求出其通项公式.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究在本例中,若将条件变为“数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足8Sn=(an+2)2”,求数列{an}的通项公式.
解:当n=1时,8a1=(a1+2)2,解得a1=2.
当n≥2时,8Sn-1=(an-1+2)2,
即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.
因为数列{an}的各项均为正数,所以an+an-1>0,
所以an-an-1-4=0,即an-an-1=4,所以数列{an}为首项为2,公差为4的等差数列,
故an=2+4(n-1)=4n-2.
探究一
探究二
探究三
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等差数列在实际生活中的应用
例4
某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1
150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱?
探究一
探究二
探究三
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解:设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20,
则a1=50+1
000×1%=60,
a2=50+(1
000-50)×1%=59.5,
…
a10=50+(1
000-9×50)×1%=55.5,
即第10个月应付款55.5元.
由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列,所以有
即全部付清后实际付款1
105+150=1
255(元).
反思感悟等差数列的实际应用的解题策略
建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.
探究一
探究二
探究三
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变式训练3甲、乙两物体分别从相距70
m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2
m,以后每分钟比前1分钟多走1
m,乙每分钟走5
m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1
m,乙继续每分钟走5
m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?
探究一
探究二
探究三
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整理得n2+13n-140=0.解得n=7,n=-20(舍去).
所以第1次相遇是在开始运动后7分钟.
(2)设n分钟后第2次相遇,由题意,
整理得n2+13n-420=0.
解得n=15,n=-28(舍去).
所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.
探究一
探究二
探究三
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由an与Sn的关系求通项
典例已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求此数列的通项公式.
解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1;当n=1时,a1=S1=12+2=3,不适合上式,
方法点睛已知数列{an}的前n项和公式Sn,求an时应分三步.第一步,利用a1=S1求a1.第二步,当n≥2时,求an=Sn-Sn-1.第三步,检验a1是否适合当n≥2时得到的an.若适合,则an即为所求;若不适合,将an用分段函数表示.
探究一
探究二
探究三
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1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,公差d=-2,若S10=S11,则a1=( )
A.18
B.20
C.22
D.24
答案:B
2.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+3n,若ak+1=-16,则k的值等于( )
A.9
B.8
C.7
D.6
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+3n+(n-1)2-3(n-1)=-2n+4.又a1=S1=2也适合上式,所以an=-2n+4(n∈N
),由ak+1=-16,得-2(k+1)+4=-16,解得k=9.
答案:A
探究一
探究二
探究三
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3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则{an}的通项an= .?
解析:设{an}的公差为d,
故an=2+(n-1)×2=2n.
答案:2n
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4.某电影院中,从第2排开始,每一排的座位数比前一排多两个座位,第1排有18个座位,最后一排有36个座位,则该电影院共有 个座位.?
解析:从第1排开始每排座位数形成等差数列{an},其中a1=18,an=36.公差为d=2,则36=18+2(n-1),解得n=10.
答案:270
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5.已知数列{an}的前n项和为Sn=-2n2+3n+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}是否为等差数列?
解:(1)当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(-2n2+3n+1)-[-2(n-1)2+3(n-1)+1]=-4n+5.
又当n=1时,a1=2不满足上式,所以数列{an}的通项公式为
(2)由(1)知,当n≥2时,an+1-an=-4(n+1)+5-(-4n+5)=-4,
但a2-a1=-3-2=-5,所以数列{an}不是等差数列.