第四章数列
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念及通项公式
课后篇巩固提升
基础达标练
1.等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,则公比q等于
( )
A.2
B.3
C.
D.2
解析等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,
∴=q3=8,则公比q=2,故选A.
答案A
2.(多选)(2020福建厦门一中高一月考)设{an}为等比数列,给出四个数列:①{2an};②{};③{};④{log2|an|},其中一定为等比数列的是( )
A.①
B.②
C.③
D.④
解析设等比数列{an}的公比为q,
则=q,故{2an}是等比数列;
=q2,
故{}是等比数列;
取等比数列an=(-1)n,则{}的前三项为,2,,不成等比数列;此时log2|an|=0,{log2|an|}不成等比数列.
故选AB.
答案AB
3.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=( )
A.16
B.8
C.4
D.2
解析设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a1>0且q>0,则可得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,
即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.
答案C
4.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=( )
A.-4
B.-6
C.-8
D.-10
解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,
∴=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),
解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.
答案B
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( )
A.2n-1
B.
C.
D.
解析由Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,.又S1=a1=1,所以Sn=,故选B.
答案B
6.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为 .?
解析设这6个数所成等比数列的公比为q,
则5=160q5,∴q5=,∴q=.
∴这4个数依次为80,40,20,10.
答案80,40,20,10
7.在数列{an}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2an+1-an=0,则an= .?
解析由2an+1-an=0,得,所以数列{an}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以an=3·.
答案3·
8.在等比数列{an}中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是 .?
解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.
答案±4
9.已知数列{an}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2bn=an.
(1)求证:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.
(1)证明由log2bn=an,得bn=.
因为数列{an}是等差数列,不妨设公差为d,
则=2d(n≥2),2d是与n无关的常数,所以数列{bn}是等比数列.
(2)解由已知,得
解得于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列{bn}的通项公式bn=·16n-1.
10.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.
(1)证明:数列{an+1}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1).
由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠0.
∴=2(n∈N
).
∴数列{an+1}是等比数列.
(2)解由(1)知{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.∴an+1=2·2n-1=2n.即an=2n-1.
能力提升练
1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为( )
A.16
B.15
C.14
D.12
解析依题意,得解得
答案D
2.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m等于( )
A.9
B.10
C.11
D.12
解析∵am=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,
∴m=11.
答案C
3.(多选)(2019山东滕州第一中学新校高二月考)已知数列{an},{bn}是等比数列,那么下列一定是等比数列的是
( )
A.{k·an}
B.
C.{an+bn}
D.{an·bn}
解析由题意,可设等比数列{an}的公比为q1(q1≠0),则an=a1·,等比数列{bn}的公比为q2(q2≠0),则bn=b1·,
对于A,当k=0时,{k·an}显然不是等比数列,故A错误;
对于B,,
∴数列是一个以为首项,为公比的等比数列,故B正确;
对于C,举出反例,当an=1,bn=-1时,数列{an+bn}不是等比数列,故C错误;
对于D,an·bn=a1·b1(q1·q2)n-1,
∴数列{an·bn}是一个以a1b1为首项,q1q2为公比的等比数列,故D正确.
故选BD.
答案BD
4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则= .?
解析由题意,得a2-a1==2,=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以=-1.
答案-1
5.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q= .?
解析依题意,得an=an+1+an+2,
所以an=anq+anq2.因为an>0,所以q2+q-1=0,
解得q=.
答案
6.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5= .?
解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.
答案32
7.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
解(1)由题意可得a2=,a3=.
(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项都为正数,所以.故{an}是首项为1,公比为的等比数列,
因此an=,n∈N
.
8.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,
(1)求证{an}是等比数列,并求出其通项公式;
(2)设bn=an+1+2an,求证:数列{bn}是等比数列.
证明(1)∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,
∴an+1=2an.由已知及上式可知an≠0.
∴由=2知{an}是等比数列.
由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴an=-2n-1.
(2)由(1)知,an=-2n-1,∴bn=an+1+2an=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.
=2.∴数列{bn}是等比数列.
素养培优练
已知数列{cn},其中cn=2n+3n,数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p.
解因为数列{cn+1-pcn}为等比数列,
所以(cn+1-pcn)2=(cn-pcn-1)(cn+2-pcn+1),
将cn=2n+3n代入上式得,[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n-1+3n-1)],整理得(2-p)(3-p)·2n·3n=0,
解得p=2或p=3.(共28张PPT)
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念及通项公式
激趣诱思
知识点拨
从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩,增产稻谷3
500亿千克,年增稻谷可养活6
000万人口.这一切都归功于一个人——“杂交水稻之父”袁隆平,西方世界称他的杂交水稻是“东方魔稻”,并被认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝.袁隆平在培育某水稻新品种时,培育出第一代120粒种子,并且从第一代起,由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子,那么到第5代时大约可以得到这个新品种的多少粒种子?学习了本节内容之后,你就能得到这个问题的答案了.
激趣诱思
知识点拨
一、等比数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.
名师点析对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
(5)等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零.
激趣诱思
知识点拨
微练习
判断下列数列是不是等比数列.如果是,写出其公比q.
④1,0,1,0,1,0,…;
⑤1,-4,16,-64,256,….
解:①不是等比数列;②是等比数列,公比为1;③是等比数列,公比为
;④不是等比数列;⑤是等比数列,公比为-4.
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知识点拨
二、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时G2=ab.
名师点析等比中项概念的理解
(1)只有同号的两个实数才有等比中项.
(2)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
A.1 B.-1 C.±1 D.2
答案:C
激趣诱思
知识点拨
三、等比数列的通项公式
首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1.
名师点析已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得第四个量.
微拓展
(1)通项公式an=a1qn-1,q的次数比等号前的项数小1,不能记错.此公式中q的次数可以这样记:次数为等号前面的项an的项数n减去等号后的项a1的项数1.
(2)变形公式an=amqn-m,此公式中q的次数也可以这样记:次数为等号前面的项an的项数n减去等号后的项am的项数m.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等比数列通项公式的应用
例1在等比数列{an}中,求解下列问题:
(1)若a2=3,a5=
,求{an}的通项公式;
(2)若a2=4,q=2,an=128,求n;
(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.
分析:先根据等比数列的通项公式,结合条件列出方程(组)求得a1,q,再解决其他问题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟等比数列的计算
(1)等比数列的基本量是a1和q,很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题.解决这类问题时,最核心的思想方法是解方程(组)的方法,即依据题目条件,先根据等比数列的通项公式建立关于a1和q的方程(组),再解方程(组),求得a1和q的值,最后解决其他问题.
(2)在等比数列的基本量运算问题中,建立方程(组)进行求解时,要注意运算的技巧性,特别注意整体思想的应用.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1在等比数列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等比中项及其应用
例2(1)已知等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,求实数x的值.
(2)已知等比数列{an},a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1和a5的等比中项.
分析:(1)可由等比中项的定义建立关于x的方程求解:(2)先求出a1和a5的值,再根据等比中项的定义求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)因为等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,所以x(3x+3)=(2x+2)2,解得x=-1或x=-4.
又因为当x=-1时,2x+2=3x+3=0不合题意,所以实数x的值为-4.
所以a5=a1q4=16.
设a1和a5的等比中项为G,则G2=a1a5=16,所以G=±4,故a1和a5的等比中项是±4.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟等比中项的求解策略
1.任意两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.与等差中项不同,只有同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.
2.若a,b,c成等比数列,则必有b2=ac;但若b2=ac,a,b,c不一定成等比数列.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2在等差数列{an}中,a1=9,公差d=1.若ak是a1和a2k的等比中项,则k=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:依题意,得
=a1a2k,即[9+(k-1)]2=9[9+(2k-1)],整理,
得k2-2k-8=0,解得k=4(k=-2舍去).
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等比数列的判断与证明
例3(1)判断下列数列是否为等比数列.
①1,3,32,33,…,3n-1,…;
②-1,1,2,4,8,…;
③a1,a2,a3,…,an,….
(2)已知数列{an}满足a1=5,an=
an-1+1(n≥2),bn=an-3.
①求证:{bn}为等比数列;
②求{an}的通项公式.
分析:(1)判定等比数列,要抓住3个要点:①从第二项起.②要判定每一项,不能有例外.③每一项与前一项的比是同一个常数,且不能为0.
(2)①先对给出的等式an=
an-1+1进行转化变形,与bn=an-3相结合,得出bn与bn-1的关系,从而判断数列{bn}是否为等比数列;②由{bn}为等比数列,先求出bn,再根据bn=an-3求出an.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)解:①记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,….
∴数列为等比数列,且公比为3.
②记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…,
③当a=0时,数列为0,0,0,…是常数列,不是等比数列;
当a≠0时,数列为a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
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素养形成
当堂检测
延伸探究在本例(2)中,若将条件改为“数列{an}的前n项和Sn满足Sn=
an+1(n∈N
)”,再求{an}的通项公式.
探究一
探究二
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通项法证明等比数列
典例已知数列{an}是各项均为正数的等差数列,且lg
a1,lg
a2,lg
a4成等差数列,又bn=
,n=1,2,3,…,则数列{bn}是否为等比数列?
分析:先求出数列{an}的通项公式,再求出数列{bn}的通项公式,从而判断{bn}是否为等比数列.
探究一
探究二
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当堂检测
解:因为lg
a1,lg
a2,lg
a4成等差数列,
所以2lg
a2=lg
a1+lg
a4,即
=a1·a4,
设{an}的公差为d,
所以(a1+d)2=a1·(a1+3d)?d2=a1d?d=0或d=a1.
①当d=0时,{an}为常数列且各项均为正数,
所以{bn}也为常数列且各项均为正数.
所以{bn}为等比数列.
②当d=a1≠0时,
=a1+(2n-1)d=d+2nd-d=2nd=(2d)·2n-1,即bn=(2d)·2n-1,所以{bn}为等比数列.
综合①②可知{bn}为等比数列.
方法点睛用通项公式证明一个数列为等比数列时,关键是求出an=a1qn-1这个形式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.下列数列为等比数列的是( )
A.0,1,2,4,…
B.22,42,62,82,…
C.q-1,(q-1)2,(q-1)3,(q-1)4,…
答案:D
探究一
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当堂检测
2.在等比数列{an}中,已知a5+a1=34,a5-a1=30,则a3=( )
A.8
B.-8
C.±8
D.16
解析:由a5+a1=34,a5-a1=30,得a1=2,a5=32,所以公比q4=
=16,所以q2=4,所以a3=a1q2=2×4=8.
答案:A
3.若等比数列的首项为4,公比为2,则数列中第3项与第5项的等比中项为 .?
解析:∵a3=4×22=16,a5=4×24=64,
答案:±32
探究一
探究二
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当堂检测
4.若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=4an+1(n∈N
),则数列{an}的通项公式为 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.若等比数列{an}的各项均为正数,且前3项依次为1,a+1,2a+5.
(1)求该数列的通项公式;
(2)判断728是不是该数列中的项.
解:(1)依题意,得(a+1)2=2a+5,解得a=2(a=-2舍去).
(2)令3n-1=728,解得n=log3
728+1,但log3
728+1?N
,
所以728不是该数列中的项.第四章数列
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第2课时 等比数列的性质及应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.在等比数列{an}中,a2=27,q=-,则a5=( )
A.-3
B.3
C.-1
D.1
解析等比数列{an}中,a2=27,q=-,
则a5=a2·q3=-1,故选C.
答案C
2.已知等比数列{an}中,a3=4,a7=9,则a5=( )
A.6
B.-6
C.6.5
D.±6
解析由等比数列的性质可得:奇数项的符号相同,
∴a5==6.
答案A
3.已知公比不为1的等比数列{an}满足a15a5+a14a6=20,若=10,则m=( )
A.9
B.10
C.11
D.12
解析依题意,数列{an}是等比数列,且a15a5+a14a6=2=20,所以=10,所以m=10.故选B.
答案B
4.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=( )
A.12
B.10
C.1+log35
D.2+log35
解析因为{an}是等比数列,所以a5a6=a4a7=9,于是log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)5=log395=10.
答案B
5.在等比数列{an}中,若a7=-2,则该数列的前13项的乘积等于( )
A.-213
B.213
C.26
D.-26
解析因为{an}是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=,于是该数列的前13项的乘积为a1a2…a13==(-2)13=-213.
答案A
6.(多选)已知数列{an}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8的值可能为( )
A.-36
B.36
C.-36
D.36
解析设{an}的公比为q,则a9+a11=q6(a3+a5),于是q6==8,因此q3=±2,所以a6+a8=q3(a3+a5)=±36.故选CD.
答案CD
7.在正项等比数列{an}中,a1a3=9,a5=24,则公比q= .?
解析在正项等比数列{an}中,a1a3=9,a5=24,可得=9,a2=3,得q3==8,解得q=2.
答案2
8.在《九章算术》中,“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为 .?
解析设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得石,28石,28q石,∴+28+28q=98,∴q=2或.
又0答案
9.等比数列{an}同时满足下列三个条件:①a1+a6=11,②a3·a4=,③三个数a2,,a4+依次成等差数列.试求数列{an}的通项公式.
解由等比数列的性质知a1a6=a3a4=,所以解得时,q=2,所以an=·2n-1,
这时a2+a4+,2,所以a2,,a4+成等差数列,故an=·2n-1.
当时,q=,an=·26-n,a2+a4+≠2,不符合题意.故通项公式an=·2n-1.
10.设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求an.
解设数列{an}的首项为a1,公比为q,
∵b1+b2+b3=3,∴log2a1+log2a2+log2a3=3,
∴log2(a1a2a3)=3,∴a1a2a3=8,∴a2=2.
∵b1b2b3=-3,∴log2a1·log2a2·log2a3=-3,
∴log2a1·log2a3=-3,∴log2·log2a2q=-3,
即(log2a2-log2q)·(log2a2+log2q)=-3,
即(1-log2q)·(1+log2q)=-3,
解得log2q=±2.
当log2q=2时,q=4,a1=,
所以an=×4n-1=22n-3;
当log2q=-2时,q=,a1==8,
所以an=8×=25-2n.
能力提升练
1.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N
),且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值为( )
A.-5
B.-
C.5
D.
解析∵log3an+1=log3an+1,∴=3,
∴数列{an}是等比数列,公比q=3,∴lo(a5+a7+a9)=lo(a2q3+a4q3+a6q3)=lo[(a2+a4+a6)q3]=lo(9×33)=-5.
答案A
2.某工厂去年产值为a,计划10年内每年比上一年产值增长10%,那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a
( )
A.6
B.7
C.8
D.9
解析设从今年起第n年这个工厂的产值为an,则a1=1.1a,a2=1.12a,…,an=1.1na.依题意,得1.1na>2a,即1.1n>2,解得n≥8.
答案C
3.在正项等比数列{an}中,a3=2,16=a2a6,则数列{an}的前n项积Tn中最大的值是( )
A.T3
B.T4
C.T5
D.T6
解析依题意,数列{an}是等比数列,所以16=a2a6=,所以q2=.又因为数列{an}为正项等比数列,所以q=,所以an=a3·qn-3=2·43-n=27-2n,令an>1,即27-2n>1,得n<,因为n∈N
,所以n≤3,数列{an}的前n项积Tn中T3最大,故选A.
答案A
4.等比数列{an}中,若a12=4,a18=8,则a36的值为 .?
解析由等比数列的性质可知,a12,a18,a24,a30,a36成等比数列,且=2,故a36=4×24=64.
答案64
5.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n= .?
解析设数列{an}的公比为q,
由a1a2a3==4与a4a5a6==12可得=(q3)3,q9=3.
又an-1anan+1==(a2qn-2)3=324,
因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14.
答案14
6.在公差不为零的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则a7= ,b6b8= .?
解析∵2a3-+2a11=2(a3+a11)-=4a7-=0,
又b7=a7≠0,
∴b7=a7=4.∴b6b8==16.
答案4 16
7.等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10.
(1)求实数a1和d的值.
(2)b16是不是{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.
解(1)设数列{an},{bn}的通项公式分别为an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1=a1dn-1.
由
即3d=a1(d3-1),9d=a1(d9-1).
以上两式相除,整理得d6+d3-2=0.
解得d3=1或d3=-2.
∵d≠1,∴d3=-2.
∴d=-.
代入原方程中,解得a1=.故a1=,d=-.
(2)由(1)得,数列{an},{bn}的通项公式分别为an=(2-n)·,bn=-(-)n.
故b16=-(-)16=-32.
由(2-n)=-32,解得n=34.
故b16为an的第34项.
素养培优练
某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每天上午8时和晚上20时各服一片.现知该药片每片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,该药物在人体内的残留量超过380毫克,就将产生副作用.
(1)某人上午8时第一次服药,问到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留多少?
(2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用?说明理由.
解(1)设人第n次服药后,药在体内的残留量为an毫克,
则a1=220,
a2=220+a1×(1-60%)=220×1.4=308,
a3=220+a2×(1-60%)=343.2,
即到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留343.2毫克.
(2)由题意,得an+1=220+an,
∴an+1-,
∴是以a1-=-为首项,为公比的等比数列,
∴an-=-,
∵-<0,∴an<=366,
∴an<380.故若人长期服用这种药,这种药不会对人体产生副作用.(共25张PPT)
第2课时 等比数列的性质及应用
激趣诱思
知识点拨
就任一等差数列{an},计算a7+a10和a8+a9,a10+a40和a20+a30时你发现了什么规律?能把你发现的规律作一般化推广吗?在等比数列中有类似的结论吗?
激趣诱思
知识点拨
等比数列{an}的常用性质
1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N
),则am·an=ap·aq.
特例:若m+n=2p(m,n,p∈N
),则am·an=
.
2.an=am·qn-m(m,n∈N
).
3.在等比数列{an}中,每隔k项取出一项,取出的项按原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列,公比为qk+1.
5.a1an=a2an-1=…=aman-m+1.
激趣诱思
知识点拨
名师点析等比数列{an}的增减性
(1)当q>1,a1>0或0(2)当q>1,a1<0或00时,{an}是递减数列.
(3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)在等比数列{an}中,a2a6a10=1,则a3a9= .?
(2)在等比数列{an}中,a4=7,a6=21,则a12= .
故a12=a4·q8=7×34=567.
答案:(1)1 (2)567
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等比数列性质的应用
探究一
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探究三
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反思感悟应用等比数列性质的解题策略
1.等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题.
2.应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系,充分利用①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N
),则aman=apaq;②若m+n=2t(m,n,t∈N
),则
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变式训练1(1)在等比数列{an}中,a1,a99是方程x2-10x+16=0的两个根,则a50的值为( )
A.10
B.16
C.±4
D.4
(2)在等比数列{an}中,a1a2=1,a5a6=9,则a3a4=( )
(2)在等比数列{an}中,a1a2=1,a5a6=9,
所以a1a2a5a6=9.又a3a4=a1a6=a2a5,所以(a3a4)2=9.
又a3a4与a1a2的符号相同,故a3a4=3.
答案:(1)C (2)A
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等比数列的综合问题
例2有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数和第四个数的和是16,中间两个数的和是12.求这四个数.
分析:根据条件,用两个未知数表示这四个数.
所以,当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16;
当a=9,d=-6时,所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
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反思感悟等比数列的项的巧妙设法
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延伸探究将本例中的条件改为“有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等差数列,它们的积为-80”,再求这四个数.
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等比数列的实际应用
例3为了治理“沙尘暴”,西部某地区政府经过多年努力,到2016年底,将当地沙漠绿化了40%.从2017年开始,每年将出现这种现象:原有沙漠面积的12%被绿化,即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲),同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠.问至少经过几年的绿化,才能使该地区的绿洲面积超过50%?(可参考数据lg
2≈0.3,最后结果精确到整数)
分析:依题意,每年的沙漠面积与绿洲面积之和是确定的,另外需根据题意建立前后两年绿洲面积之间的关系,由此构造等比数列解决问题.
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解:设该地区总面积为1,2016年底绿洲面积为a1=40%=
,经过n年后绿洲面积为an+1,设2016年底沙漠面积为b1,经过n年后沙漠面积为bn+1,则a1+b1=1,an+bn=1.
依题意,an+1由两部分组成:一部分是原有绿洲面积an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an,另一部分是新绿化的12%·bn,所以
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反思感悟等比数列实际应用的求解策略
1.一般地,产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题,往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解.
2.建立等比数列模型进行运算时,往往涉及指数、对数方程或不等式的问题,要注意运算的正确性,还要善于进行估算,对于近似计算问题,答案要符合实际问题的需要.
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变式训练2一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2
KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后 分钟,该病毒占据内存64
MB(1
MB=210
KB).?
解析:由题意,得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据64
MB时自身复制了n次,即2×2n=64×210=216,解得n=15,从而复制的时间为15×3=45(分钟).
答案:45
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等比数列性质的活用
典例在等比数列{an}中,a2=2,a6=162.试求a10.
分析:利用等比数列的通项公式或项的性质求解.
解法一:设等比数列{an}的公比为q.由an=am·qn-m,∴a6=a2·q4,即162=2·q4,得q4=81,∴a10=a6·q4=162×81=13
122.
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方法点睛本题三种解法均使用了等比数列的性质,其中解法一使用了公式an=am·qn-m求出q;解法二使用了等比数列中a2,a6,a10成等比数列,即
=a2·a10;解法二与解法三使用的性质相同,但解法不同.
探究一
探究二
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1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
解析:根据等比数列的性质,若m+n=2k(m,n,k∈N
),则am,ak,an成等比数列.
即a3,a6,a9成等比数列.故选D.
答案:D
2.在等比数列{an}中,若a2=8,a5=64,则公比q为( )
A.2
B.3
C.4
D.8
解析:由a5=a2q3,得q3=8,所以q=2.
答案:A
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3.一张报纸的厚度为a,面积为b,现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次,这时报纸的厚度和面积分别为( )
答案:C
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4.在等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6= .?
解析:根据等比数列的性质可知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列,即(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),
答案:480
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5.已知数列{an}为等比数列.
(1)若a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求an;
(2)若a3a5=18,a4a8=72,求公比q.
又a1+a3=21-a2=15,
∴a1,a3是方程x2-15x+36=0的两根3和12.
