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4.4 数学归纳法
激趣诱思
知识点拨
平面内有n(n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一
激趣诱思
知识点拨
数学归纳法的定义
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
归纳奠基→证明当n取第一个值n0(n0∈N
)时命题成立
归纳递推→以当“n=k(k≥n0,k∈N
)时命题成立”为条件,
推出“当n=k+1时命题也成立”
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
微思考
数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
提示:不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第一个值n0=3.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
用数学归纳法证明等式
例1(1)用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N
),“从k到k+1”左端增乘的代数式为 .?
(1)解析:令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),
则f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),
答案:2(2k+1)
探究一
探究二
探究三
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即当n=k+1时等式也成立.
由①②可得对于任意的n∈N
等式都成立.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;
(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;
(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
探究一
探究二
探究三
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综上所述,对于任何n∈N
,等式都成立.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
归纳—猜想—证明
计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.
探究一
探究二
探究三
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下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
所以,当n=k+1时猜想也成立.
根据(1)和(2),可知猜想对任何n∈N
都成立.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节
(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型
①已知数列的递推公式,求通项或前n项和.
②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.
③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
探究一
探究二
探究三
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变式训练2数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明.
探究一
探究二
探究三
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下面证明猜想正确:
(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.
(2)假设当n=k时猜想成立,
探究一
探究二
探究三
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用数学归纳法证明不等式
分析:按照数学归纳法的步骤证明,由n=k到n=k+1的推证过程可应用放缩技巧,使问题简单化.
探究一
探究二
探究三
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即当n=k+1时,命题成立.
由(1)和(2)可知,命题对所有的n∈N
都成立.
探究一
探究二
探究三
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由(1)和(2)知原不等式在n≥2,n∈N
时均成立.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟用数学归纳法证明不等式的关键点
(1)先凑假设,作等价变换;
(2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地放缩、分析直到凑出结论.
探究一
探究二
探究三
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用数学归纳法比较大小
解:(1)当n=1或n=2时,Pn=Qn.
(2)当n≥3时(以下再对x进行分类).
①若x∈(0,+∞),显然有Pn>Qn.
②若x=0,则Pn=Qn.
③若x∈(-1,0),
则P3-Q3=x3<0,所以P3P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以P4猜想n≥3时,P3探究一
探究二
探究三
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证明:(ⅰ)当n=3时,已经证明了P3(ⅱ)假设Pk则Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk
即当n=k+1时,不等式成立.
所以当n≥3,且x∈(-1,0)时,Pn探究一
探究二
探究三
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方法点睛(1)利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.
(2)本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化,变量x也影响Pn与Qn的大小关系,这就要求我们在探索大小关系时,不能只顾“n”,而忽视其他变量(参数)的作用.
探究一
探究二
探究三
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n=1成立时,左边计算所得的项是( )
A.1
B.1+a
C.1+a+a2
D.1+a+a2+a3
解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.
答案:C
探究一
探究二
探究三
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2.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是( )
A.(2k+1)+(2k+2)
B.(2k-1)+(2k+1)
C.(2k+2)+(2k+3)
D.(2k+2)+(2k+4)
解析:当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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∴当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N
,等式都成立.第四章数列
4.4
数学归纳法
课后篇巩固提升
基础达标练
1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N
),第一步验证
( )
A.n=1
B.n=2
C.n=3
D.n=4
解析由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3时不等式是否成立.
答案C
2.利用数学归纳法证明不等式1++…+)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左边增加了( )
A.1项
B.k项
C.2k-1项
D.2k项
解析当n=k时,不等式左边的最后一项为,而当n=k+1时,最后一项为,并且不等式左边和式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2k项.
答案D
3.(多选)对于不等式≤n+1(n∈N
),某学生的证明过程如下:
①当n=1时,≤1+1,不等式成立.
②假设n=k(k∈N
)时,不等式成立,即∴当n=k+1时,不等式成立,关于上述证明过程的说法正确的是( )
A.证明过程全都正确
B.当n=1时的验证正确
C.归纳假设正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
解析n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD.
答案BCD
4.(多选)一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则下列说法正确的是( )
A.该命题对于n=6时命题成立
B.该命题对于所有的正偶数都成立
C.该命题何时成立与k取值无关
D.以上答案都不对
解析由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立,且n=2时,命题成立,故对所有的正偶数都成立.故选AB.
答案AB
5.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N
)”时,第一步的验证为 .?
答案当n=1时,左边=4,右边=4,不等式成立
6.用数学归纳法证明1-+…++…+时,第一步应验证的等式是 ;从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的等式是 .?
解析当n=1时,应当验证的第一个式子是1-,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的式子是.
答案1-
7.数列{an}中,已知a1=2,an+1=(n∈N
),依次计算出a2,a3,a4后,归纳、猜测得出an的表达式为 .?
解析a1=2,a2=,a3=,a4=,猜测an=.
答案an=
8.(1)用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·(n∈N
).
(2)求证:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N
).
证明(1)①当n=1时,左边=12=1,
右边=(-1)0×=1,
左边=右边,等式成立.
②假设n=k(k∈N
)时,等式成立,
即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·.
则当n=k+1时,
12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2
=(-1)k-1·+(-1)k(k+1)2
=(-1)k(k+1)·(k+1)-
=(-1)k·.
∴当n=k+1时,等式也成立,
根据①②可知,对于任何n∈N
等式成立.
(2)①n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立.
②假设n=k时,等式成立,
即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1).
当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],所以n=k+1时,等式也成立.
由①②得,等式对任何n∈N
都成立.
能力提升练
1.设Sk=+…+,则Sk+1为
( )
A.Sk+
B.Sk+
C.Sk+
D.Sk+
解析式子右边各分数的分母是连续正整数,
则由Sk=+…+,
①
得Sk+1=+…+.
②
由②-①,得Sk+1-Sk=.故Sk+1=Sk+.
答案C
2.某命题与自然数有关,如果当n=k(k∈N
)时该命题成立,则可推得n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,则可推得( )
A.当n=6时,该命题不成立
B.当n=6时,该命题成立
C.当n=4时,该命题不成立
D.当n=4时,该命题成立
解析若n=4时,该命题成立,由条件可推得n=5命题成立.
所以若n=5该命题不成立,则n=4时该命题也不成立.
答案C
3.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+ .?
解析由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形图形,故f(k+1)=f(k)+π.
答案π
4.是否存在a,b,c使等式+…+对一切n∈N
都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.
解取n=1,2,3可得
解得a=,b=,c=.
下面用数学归纳法证明+…+.
即证12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1),
①n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;
②假设n=k时等式成立,
即12+22+…+k2=k(k+1)(2k+1)成立,
则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2
=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2
=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]
=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3),
∴当n=k+1时等式成立;
由数学归纳法,综合①②当n∈N
等式成立,
故存在a=,b=,c=使已知等式成立.
5.已知{fn(x)}满足f1(x)=(x>0),fn+1(x)=f1(fn(x)).
(1)求f2(x),f3(x),并猜想fn(x)的表达式;
(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想.
解(1)f2(x)=f1[f1(x)]=,
f3(x)=f1[f2(x)]=.
猜想:fn(x)=(n∈N
).
(2)下面用数学归纳法证明fn(x)=(n∈N
),
①当n=1时,f1(x)=,显然成立;
②假设当n=k(k∈N
)时,猜想成立,即fk(x)=,
则当n=k+1时,fk+1=f1[fk(x)]=,即对n=k+1时,猜想也成立;
结合①②可知,猜想fn(x)=对一切n∈N
都成立.
素养培优练
已知数列{an}满足a1=2,an+1=-nan+1(n∈N
).
(1)求a2,a3,a4,并由此猜想出{an}的一个通项公式并用数学归纳法证明;
(2)用数学归纳法证明:当n>1时,+…+.
(1)解由a1=2,得a2=-a1+1=3;
由a2=3,得a3=-2a2+1=4;
由a3=4,得a4=-3a3+1=5;
由此猜想an的一个通项公式为an=n+1.
下面证明an=n+1.
当n=1时,a2=2=1+1,成立.
假设当n=k(k≥2)时成立.即ak=k+1,
那么当n=k+1时,ak+1=-kak+1=(k+1)2-k(k+1)+1=k+2=(k+1)+1,
即当n=k+1时也成立.
所以an=n+1.
(2)证明①当n=2时,=1,不等式成立,
②假设当n=k(k∈N
,k≥2)时结论成立,即+…+,
当n=k+1时,+…+,
而<0,
所以+…+,
即n=k+1时,结论也成立.
由①和②可知,当n>1时,+…+.
