(共28张PPT)
5.1.1 变化率问题
激趣诱思
知识点拨
珠穆朗玛峰简称珠峰,高度8
844.43米,是世界第一高峰,是很多登山爱好者的终极之地.很多人为了征服这座山峰,每年都会向它发起挑战,但到现在为止能顺利登顶的人并不多。当山势的陡峭程度不同时,登山队员的感受也是不一样的,试想如何用数学知识来反映山势的陡峭程度呢?
激趣诱思
知识点拨
一、平均速度与瞬时速度
1.平均速度:物体的位移与所用时间的比值,通常指物体在某一时间段的速度.
若物体运动的位移与时间的关系式是s=f(t),函数f(t)在t0与t0+Δt之间的平均速度是
2.瞬时速度:在物理中,做变速运动的物体在不同的时刻,速度是不同的,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
激趣诱思
知识点拨
名师点析从物理的角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段[t,t+Δt]或者[t+Δt,t]中的时间间隔|Δt|无限趋近于0,此时时间段[t,t+Δt]或者[t+Δt,t]内的平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度.
激趣诱思
知识点拨
微练习
一物体按规律s(t)=2t2运动,则其在时间段[1,2]内的平均速度为 ,在t=3时的瞬时速度是 .?
答案:6 12
激趣诱思
知识点拨
微思考
平均速度与瞬时速度有什么不同?
提示:平均速度表示的是运动的物体在某或某一段时间内的快慢程度.瞬时速度反映的是物体在运动过程的某一时刻的运动情况,能精确表示任一时刻物体运动的快慢和方向.
激趣诱思
知识点拨
二、割线斜率与切线斜率
1.割线与切线的关系
如图所示,当点Pn(xn,f(xn))沿着曲线无限接近点P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置。这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线。
激趣诱思
知识点拨
2.割线斜率与切线斜率的关系
激趣诱思
知识点拨
微练习
过曲线y=f(x)=
图象上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线,则当Δx=0.5时割线的斜率为 ,在点(2,-2)处的切线斜率为 .?
激趣诱思
知识点拨
微点拨
(1)当Δx→0时,割线PPn的斜率称为曲线在点P处的切线的斜率.这样就提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法.
(2)曲线在某点处的切线:①与该点的位置有关.②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如割线有极限位置,则在此点有切线,且切线是唯一的;如割线不存在极限位置,则曲线在此点处无切线.③曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个交点.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
求物体运动的平均速度及瞬时速度
例1(2019大同煤矿第四中学高二月考)某质点沿曲线运动的方程为f(x)=-2x2+1(x表示时间,f(x)表示位移),则该质点从x=1到x=2的平均速度为( )
A.-4
B.-8
C.6
D.-6
解析:由题得该质点从x=1到x=2的平均速度为
故选D.
答案:D
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟求物体运动的平均速度的三个步骤
第一步,求时间的增量Δx=x2-x1;
第二步,求位移的增量Δy=f(x2)-f(x1);
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练1(2020定远县育才学校高二月考)质点的运动规律为s=t2+3(t表示时间,s表示位移),则在时间[3,3+Δt]中,质点的平均速度等于( )
答案:A
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
例2某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1
s时的瞬时速度.
分析:计算物体在[1,1+Δt](Δt>0)或[1+Δt,1](Δt<0)内的平均速度
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究1在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究2在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9
m/s.
则2t0+1=9,∴t0=4.
则物体在4
s时的瞬时速度为9
m/s.
反思感悟求运动物体在t=t0的瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
求解曲线在某点处的割线、切线斜率
例3设函数f(x)=x(x-6),则此函数图象在x=0处的切线斜率为( )
A.0
B.-1
C.3
D.-6
答案:D
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟求曲线上某点处的割线或切线的步骤
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
A.-1
B.0
C.1
D.2
答案:A
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
求解较为复杂函数图象在某点处的斜率问题
分析:利用立方和公式化简求解.
答案:B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟复杂函数在某点处的斜率求解
1.关键是利用公式进行合理准确的运算.
2.常见的公式有:
(1)平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2;
(2)完全平方和与完全平方差公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2;
(3)立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);
立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).
(4)完全立方差公式:
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
完全立方和公式:
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a的值是( )
A.9
B.6
C.-9
D.-6
=-4-2a=8.
故a=-6.
答案:D
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.(2020河北石家庄二中高二月考)函数f(x)=x2在区间[-1,2]上的平均变化率为( )
A.-1
B.1
C.2
D.3
解析:因为f(x)=x2,所以f(x)在区间[-1,2]上的平均变化率为
答案:B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.已知一直线运动的物体,当时间从t变到t+Δt时,物体的位移为
A.时间从t变到t+Δt时物体的速度
B.在t时刻该物体的瞬时速度
C.当时间为Δt时物体的速度
D.时间从t变到t+Δt时物体的平均速度
答案:B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
3.(2020陕西高二期末)某运动物体的位移s(单位:米)关于时间t(单位:秒)的函数关系式为s=2t+1,则该物体在t=1秒时的瞬时速度为( )
A.1米/秒
B.2米/秒
C.3米/秒
D.4米/秒
则物体在t=1秒时的瞬时速度为2米/秒.故选B.
答案:B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
4.(2019全国高一课时练习)过曲线y=x2上两点A(2,4)和B(2+Δx,4+Δy)作割线,当Δx=0.1时,割线AB的斜率为 .?
答案:4.1
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
5.函数f(x)=x2-2x+1在x=4处切线的斜率为 .?
答案:6第五章一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
课后篇巩固提升
基础达标练
1.质点运动规律S(t)=t2+3,则从3到3.3内,质点运动的平均速度为( )
A.6.3
B.36.3
C.3.3
D.9.3
解析S(3)=12,S(3.3)=13.89,
∴平均速度
