(共38张PPT)
5.1.2 导数的概念及其几何意义
激趣诱思
知识点拨
跳水运动员的跳台距水面高度分为5米、7.5米和10米3种,奥运会、世界锦标赛等限用10米跳台.跳台跳水根据起跳方向和动作结构分向前、向后、向内、反身、转体和臂立6组.比赛时,男子要完成
4个有难度系数限制的自选动作和6个无难度系数限制的自选动作,女子要完成4
个有难度系数限制的自选动作和4个无难度系数限制的自选动作.每个动作的最高得分为
10分,以全部动作完成后的得分总和评定成绩.
如下图,若表示跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象,根据图象,请描述比较曲线h(t)在t=t0,t1,t2附近的变化情况.
激趣诱思
知识点拨
一、函数的平均变化率
对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量Δx,y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的
平均变化率.
名师点析1.Δx是自变量的变化量,它可以为正,也可以为负,但不能等于零,而Δy是相应函数值的变化量,它可以为正,可以为负,也可以等于零.
2.函数平均变化率的物理意义:如果物体的运动规律是s=s(t),那么函数s(t)在t到t+Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速率,即
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)函数f(x)=8x-6在[m,n]上的平均变化率为 .
答案:8
答案:C
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知识点拨
二、导数的概念
名师点析对于导数的概念,注意以下几点:
(1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在;
(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关;
(3)导数的实质是一个极限值.
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知识点拨
微思考
Δx,Δy的值一定是正值吗?平均变化率是否一定为正值?
提示:Δx,Δy可正可负,Δy也可以为零,但Δx不能为零.平均变化率
可正、可负、可为零.
微练习
利用导数定义求函数f(x)=3x-2在x=5处的导数值.
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知识点拨
三、导数的几何意义
如图,在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.则割线P0P的斜率
激趣诱思
知识点拨
记Δx=x-x0,当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时,即当Δx→0时,k无限趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数.因此,函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0,即
这就是导数的几何意义.
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微练习
若函数f(x)在x=3处的导数f'(3)=
,则曲线f(x)在(3,f(3))处的切线的倾斜角θ= .?
答案:60°
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)如何求曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程?
提示:根据导数的几何意义,求出函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数,即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线方程的点斜式求出切线方程.
(2)曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过点(x0,y0)的切线有什么不同?
提示:曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点.
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知识点拨
(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?
提示:不一定.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线l与曲线y=f(x)的交点个数不一定只有一个,如图所示.
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知识点拨
四、导函数
对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个确定的数.当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即
名师点析导数与导函数之间既有区别又有联系,导数是对一个点而言的,它是一个确定的值,与给定的函数及x(或x0)的位置有关,而与Δx无关;导函数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,也与Δx无关.
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微练习
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
求函数的平均变化率
例1已知函数f(x)=
-x2,求它在下列区间上的平均变化率:
(1)[1,3];(2)[-4,-2];(3)[x0,x0+Δx].
分析:根据平均变化率的定义求解.
探究一
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反思感悟求函数平均变化率的步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x1)-f(x0);
(2)再计算自变量的改变量Δx=x1-x0;
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变式训练1函数f(x)=x2-1在x0到x0+Δx之间的平均变化率为( )
A.2x0-1
B.2x0+Δx
C.2x0Δx+(Δx)2
D.(Δx)2-Δx+1
答案:B
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利用导数的定义求函数的导数
例2(1)求函数y=x-
在x=-1处的导数;
(2)求函数f(x)=-x2+3x的导数.
分析:(1)可按照函数导数的定义分步求解;(2)可以直接利用函数在某一点处的导数的定义求解,也可先求出函数的导函数,再计算导函数在x=-1处的函数值.
探究一
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探究三
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探究三
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反思感悟1.利用定义求函数f(x)的导数的步骤:
(1)求函数值的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x);
2.求函数f(x)在某一点x0处的导数,通常可以有两种方法:一是直接利用函数在某一点x0处的导数的定义求解;二是先利用导数的定义求出函数的导函数,再计算导函数在x0处的函数值.
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变式训练2(1)已知f(x)=x2-3x,则f'(0)=( )
A.Δx-3
B.(Δx)2-3Δx
C.-3
D.0
答案:C
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导数定义式的理解与应用
A.f'(x0)
B.f'(-x0)
C.-f'(x0)
D.-f'(-x0)
分析:将所给极限式进行整理,构造出导数定义中的极限式进行求解.
答案:C
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反思感悟导数定义式的变形应用
在导数的定义式中,自变量的增量Δx可以有多种表达形式,但不论采用哪种形式,Δy中自变量的增量Δx都必须用相应的形式,如将Δx变为mΔx,则Δy=f(x0+mΔx)-f(x0),只有这样,才有
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答案:C
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导数几何意义的应用
例4已知曲线C:y=x3.
(1)求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程;
(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程.
分析:(1)求y'|x=1→求切点→点斜式方程求切线
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解:(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,
∴切点P(1,1).
∴k=y'|x=1=3.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
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反思感悟导数与斜率的关系及应用
2.利用导数的几何意义求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程的步骤:
(1)求函数f(x)在x0处的导数,即切线的斜率;
(2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
3.运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上.若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率.
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延伸探究第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?
从而求得公共点为P(1,1)或M(-2,-8),
即切线与曲线C的公共点除了切点外,还有另一个公共点(-2,-8).
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根据切线斜率求切点坐标
典例过曲线y=x2上某点P的切线满足下列条件,分别求出P点.
(1)平行于直线y=4x-5;
(2)垂直于直线2x-6y+5=0;
(3)与x轴成135°的倾斜角.
(1)∵切线与直线y=4x-5平行,∴2x0=4,x0=2,y0=4,此时切线方程是y-4=4(x-2),即y=4x-4,与直线y=4x-5平行,∴P(2,4)是满足条件的点.
(2)∵切线与直线2x-6y+5=0垂直,
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反思感悟根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0,y0);
(2)求导函数f'(x);
(3)求切线的斜率f'(x0);
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;
(5)将x0代入f(x)求y0,得切点坐标.
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变式训练已知曲线y=2x2-7在点P处的切线方程为8x-y-15=0,求切点P的坐标.
得k=4m.
由题意可知4m=8,
∴m=2,代入y=2x2-7,得n=1.
故所求切点P为(2,1).
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1.(2020陕西高二期末)已知函数f(x)在x=x0处的导数为2,则
答案:C
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答案:C
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3.函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 .?
答案:2
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当堂检测第五章一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( )
A.0.40
B.0.41
C.0.43
D.0.44
解析Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2+0.1)-f(2)=(2.1)2+1-(22+1)=0.41.
答案B
2.(2020江苏高二期末)函数f(x)=x2-sin
x在[0,π]上的平均变化率为( )
A.1
B.2
C.π
D.π2
解析平均变化率为=π.故选C.
答案C
3.已知f(x)=-x2,若f'(a)=,则a的值等于( )
A.-
B.
C.-
D.
解析由导数的定义得
f'(x)=
=
==-x,
因此f'(a)=-a=,则a=-.
答案A
4.(2020宁夏育才中学高二期末)设函数y=f(x)的导函数为f'(x),若y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f'(1)=( )
A.4
B.3
C.2
D.1
解析∵点P(1,f(1))在切线x-y+2=0上,
∴1-f(1)+2=0,解得f(1)=3;
又k=f'(1)=1,∴f(1)+f'(1)=4.故选A.
答案A
5.(多选)曲线y=在点P处的切线的倾斜角为,则点P的坐标可能为( )
A.(3,3)
B.(-3,-3)
C.(9,1)
D.(1,9)
解析由导数定义得y'=-=-,若设P(x0,y0),则由导数的几何意义可得-=tan=-1,解得x0=±3,从而y0=±3,即点P的坐标为(3,3)或(-3,-3).
答案AB
6.(2020安徽高二期末)已知f'(1)=-2,则= .?
解析∵f'(1)=-2,
∴
=-2=-2f'(1)=-2×(-2)=4.
答案4
7.曲线y=x2-2x+3在点A(-1,6)处的切线方程是 .?
解析因为y=x2-2x+3,切点为A(-1,6),
所以斜率k=y'x=-1
=
=(Δx-4)=-4,
所以切线方程为y-6=-4(x+1),
即4x+y-2=0.
答案4x+y-2=0
8.利用导数的定义求函数f(x)=在x=2处的导数.
解∵Δy=-2,
=.
∴f'(2)=.
能力提升练
1.已知函数y=f(x)=2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1+Δx,2+Δy),则的值为( )
A.4
B.4x
C.4+2(Δx)2
D.4+2Δx
解析=4+2Δx.故选D.
答案D
2.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)等于( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析易得切点P(5,3),∴f(5)=3,k=-1,即f'(5)=-1.∴f(5)+f'(5)=3-1=2.
答案A
3.(多选)(2020广西高三期末)近两年为抑制房价过快上涨,政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价,提出多种方案,其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示,则在以下四种房产供应方案中,在时间[0,T]内供应效率(单位时间的供应量)不逐步提高的是( )
解析单位时间的供应量逐步提高时,供应量的增长速度越来越快,图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大,则曲线是上升的,且越来越陡,故选ACD.
答案ACD
4.若函数f(x)在x=0处的导数等于-2,则= .?
解析由已知得f'(0)=-2,则f'(0)=-1.
答案-1
5.曲线f(x)=在x=2处的导数为 ,在点(-2,-1)处的切线方程为 .?
解析f'(-2)=
==-,
∴切线方程为y+1=-(x+2),
即x+2y+4=0.
答案- x+2y+4=0
6.(2019四川仁寿一中高二期中)如图,函数f(x)的图象在点P处的切线为y=-2x+5,则f(2)+f'(2)= .?
解析∵函数y=f(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-2x+5,∴f'(2)=-2,又P(2,f(2))为切点,
∴f(2)=-4+5=1,
∴f(2)+f'(2)=-2+1=-1.故答案为-1.
答案-1
7.已知曲线y=x2,
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.
解(1)设切点为(x0,y0),
∵y'
==2x0,
∴y'x=1=2.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
(2)点P(3,5)不在曲线y=x2上,设切点为A(x0,y0),由(1)知,y'=2x0,
∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0),①
再由A(x0,y0)在曲线y=x2上,得y0=,②
联立①,②得x0=1或x0=5.
从而切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2,
此时切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,
当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,
此时切线方程为y-25=10(x-5),
即y=10x-25.
综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为y=2x-1或y=10x-25.
素养培优练
已知直线y=4x+a和曲线y=x3-2x2+3相切,求切点坐标及a的值.
解设直线l与曲线相切于点P(x0,y0),则f'(x)=
=3x2-4x.
由导数的几何意义,得k=f'(x0)=3-4x0=4,
解得x0=-或x0=2,
∴切点坐标为-或(2,3).
当切点为-时,有=4×-+a,
∴a=.
当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,
∴a=-5,
因此切点坐标为-或(2,3),
a的值为或-5.
