第五章一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数 5.2.2 导数的四则运算法则
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2020天津南开中学滨海生态城学校高二月考)下列导数运算正确的是( )
A.(x-1)'=
B.(2x)'=x2x-1
C.(cos
x)'=-sin
x
D.(ln
x+x)'=-1
解析A.(x-1)'=-x-2=-.故选项A不正确;B.(2x)'=2x·ln2,故选项B不正确;C.(cosx)'=-sinx,故选项C正确;D.(lnx+x)'=+1,故选项D不正确.故选C.
答案C
2.(2020河南高三月考)已知函数f(x)=aex+x+b,若函数f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=2x+3,则ab的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析∵f'(x)=aex+1,∴f'(0)=a+1=2,解得a=1,f(0)=a+b=1+b=3,∴b=2,∴ab=2.故选B.
答案B
3.若曲线运动的方程为s=+2t2,则当t=2时的速度为( )
A.12
B.10
C.8
D.4
解析由题意知,s'='+(2t2)'=+4t,所以当t=2时的速度为s'|t=2=+8=8.
答案C
4.(2020河南林州林虑中学高二月考)若f(x)=x2-2x-4ln
x,则f'(x)>0的解集为( )
A.(0,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-1,0)
D.(-1,0)∪(2,+∞)
解析∵f(x)=x2-2x-4lnx,∴f'(x)=2x-2-(x>0),
f'(x)=>0等价于x2-x-2>0,
即(x-2)(x+1)>0,解得x>2.
答案B
5.(多选)在曲线f(x)=上切线的倾斜角为π的切点的坐标可能为( )
A.(1,1)
B.(-1,-1)
C.(-1,1)
D.(1,-1)
解析切线的斜率k=tanπ=-1,
设切点为(x0,y0),则f'(x0)=-1,
又f'(x)=-,∴-=-1,
∴x0=1或x0=-1,
∴切点坐标为(1,1)或(-1,-1).故选AB.
答案AB
6.已知f(x)=x2,g(x)=ln
x,若f'(x)-g'(x)=1,则x= .?
解析因为f(x)=x2,g(x)=lnx,
所以f'(x)=2x,g'(x)=且x>0,
f'(x)-g'(x)=2x-=1,即2x2-x-1=0,
解得x=1或x=-(舍去).故x=1.
答案1
7.(2020吉林第五十五中学高二期末)曲线y=ln
x在点M(e,1)处的切线的斜率是 ;切线方程为 .?
解析由题得f'(x)=,
∴k=,所以切线的斜率为,
所以切线的方程为y-1=(x-e),即x-ey=0.
答案 x-ey=0
8.(2020安徽六安一中高二月考)已知f(x)=x2+2xf'(2
019)+2
019ln
x,则f'(1)= .?
解析由题可得f'(x)=x+2f'(2019)+(x>0),令x=2019,则f'(2019)=2019+2f'(2019)+,
解得f'(2019)=-2020,
所以f'(x)=x-4040+(x>0),
则f'(1)=1-4040+=-2020.
答案-2
020
9.求下列函数的导数:
(1)y=x5-3x3-5x2+6;(2)y=(2x2+3)(3x-2);
(3)y=;(4)y=xsin2x.
解(1)y'=(x5-3x3-5x2+6)'=(x5)'-(3x3)'-(5x2)'+6'=5x4-9x2-10x.
(2)(方法一)y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+3(2x2+3)=18x2-8x+9.
(方法二)因为y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,
所以y'=18x2-8x+9.
(3)(方法一)y'='
=
=.
(方法二)因为y==1-,所以y'=1-'=-'=-.
(4)y'=(x)'sin2x+x(sin2x)'=sin2x+x·2sinx·(sinx)'=sin2x+xsin2x.
能力提升练
1.(2019黑龙江高二期中)已知函数f1(x)=sin
x,fn+1(x)=fn'(x),则f2
021=( )
A.-
B.-
C.
D.
解析f1(x)=sinx,fn+1(x)=fn'(x),故f2(x)=cosx,f3(x)=-sinx,f4(x)=-cosx,f5(x)=sinx,周期为4,故f2021(x)=f1(x)=sinx,f2021=sin.故选C.
答案C
2.(2020辽宁辽师大附中高三开学考试)已知函数f(x)=sin
x-cos
x,且f'(x)=f(x),则tan
2x的值是
( )
A.-
B.-
C.
D.
解析∵f(x)=sinx-cosx,∴f'(x)=cosx+sinx,
又f'(x)=f(x),所以cosx+sinx=(sinx-cosx),
所以tanx=-3,所以tan2x=.
故选D.
答案D
3.(2020全国高三专题练习)已知函数f(x)=xsin
x+cos
x+2
020,g(x)是函数f(x)的导函数,则函数y=g(x)的部分图象是( )
解析∵f(x)=xsinx+cosx+2020,
∴g(x)=f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx.
∵g(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=-g(x),
∴g(x)为奇函数,图象关于原点对称,
故排除AB.
∵g=0,g=cos>0.
故排除C,故选D.
答案D
4.(多选)已知函数f(x)=ln
x-f'(1)x2+2x-1,则f(x)=0的解所在区间可能是( )
A.-
B.
C.,2
D.(2,3)
解析函数f(x)的导数f'(x)=-2f'(1)x+2,则f'(1)=1-2f'(1)+2,解得f'(1)=1,
所以f(x)=lnx-x2+2x-1,结合图象易知,BC正确.
答案BC
5.(2019全国Ⅰ,理13)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .?
解析由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex
=3(x2+3x+1)ex,
∴k=y'|x=0=3.
∴曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.
答案y=3x
6.(2020天津南开中学滨海生态城学校高二月考)已知函数f(x)=x3-4x,则过点P(-1,4)可以作出 条f(x)图象的切线.?
解析设切点的坐标为(x0,-4x0),
由f(x)=x3-4x,得f'(x)=3x2-4.
∴f'(x0)=3-4,因此切线方程为y-(-4x0)=(3-4)(x-x0),把P(-1,4)的坐标代入切线方程中,化简得2+3=0,解得x0=0或x0=-,所以过点P(-1,4)可以作出两条f(x)图象的切线.
答案2
7.(2020江西高三月考)已知函数f(x)=+x2
019+sin
x(x∈R),则f(2
019)+f(-2
019)+f'(2
019)-f'(-2
019)的值为 .?
解析由题意,f'(x)=+2019x2018+cosx,
f'(-x)=+2019(-x)2018+cos(-x)
=+2019x2018+cosx=f'(x),
∴f'(x)是偶函数,∴f'(x)-f'(-x)=0.
又f(x)+f(-x)=+x2019+sinx++(-x)2019+sin(-x)
==2.
∴f(2019)+f(-2019)+f'(2019)-f'(-2019)=2.
答案2
素养培优练
(2020宁夏回族自治区吴忠中学高二期末)已知函数f(x)=x2b+ax的导函数是f'(x)=2x+3,则数列(n∈N
)的前n项和是( )
A.
B.
C.
D.
解析∵f(x)=x2b+ax,∴f'(x)=2bx2b-1+a=2x+3,则
∴f(x)=x2+3x,∴,
因此,数列(n∈N
)的前n项和Sn=+…+.故选C.
答案C(共36张PPT)
5.2.1 基本初等函数的导数
5.2.2 导数的四则运算法则
激趣诱思
知识点拨
高铁是一种非常受欢迎的交通工具,既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数s=f(t)=2t2,求它的瞬时速度,即求f(t)的导数.根据导数的定义,就是求当Δt→0时,
所趋近的那个定值,运算比较复杂,而且,有的函数如y=sin
x,y=ln
x等很难运用定义求导数.是否有更简便的求导数的方法呢?
激趣诱思
知识点拨
一、几个常用函数的导数
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知f(x)=x2,则f[f'(-2)]的值等于 .?
解析:因为f(x)=x2,所以f'(x)=2x,
于是f'(-2)=-4,故f[f'(-2)]=f(-4)=(-4)2=16.
答案:16
激趣诱思
知识点拨
二、基本初等函数的导数公式
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.函数f(x)=ln
x与f(x)=logax的导数公式之间有内在联系,根据对数的换底公式,可以得到
激趣诱思
知识点拨
微练习
求下列函数的导数:
激趣诱思
知识点拨
微点拨
目前,求解函数导数只适用基本初等函数的求导,若形式不一致,则需先化简后求导.如
可先化为f(x)=cos
x之后再求导.
激趣诱思
知识点拨
三、导数的运算法则
1.[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).
2.[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),特别地,[cf(x)]'=cf'(x).
名师点析两个函数和与差的导数运算法则可以推广到若干个函数和与差的情形:[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)函数y=x2-ln
x的导数为 ;?
(2)函数y=xcos
x的导数为 ;?
(3)函数y=
的导数为 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
导数公式与运算法则的简单应用
例1求下列函数的导数:
(4)y=(x+1)(x-1)(x2+1);(5)y=tan
x.
分析:分析每个函数的解析式的构成特点,紧扣求导公式和运算法则进行求解,必要时应先对解析式进行恒等变形.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟求导数的解题策略
1.理解并掌握求导法则和公式的结构规律,熟记常见基本初等函数的导数公式是进行求导运算的前提.
2.进行求导运算时,要善于分析函数解析式的结构特点,必要时应先对解析式进行恒等变形,化简解析式,再求导.
3.要特别注意“
与ln
x”“ax与logax”“sin
x与cos
x”的导数区别.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1求下列函数的导数:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用导数公式与运算法则求复杂函数的导数
例2求下列函数的导数:
(2)y=3xex-2x+e;
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟求复杂函数的导数的方法
求函数的导数时,一般要遵循“先化简再求导”的原则,这样一方面可以简化求导的过程,另一方面可以解决有些函数根本没法直接运用公式和法则求导的问题.尤其是当函数解析式中含有三角函数时,更需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理,最后再套用公式求导.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究1(变条件)把例2(4)的函数换成“y=xtan
x”,求其导数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
导数几何意义的综合问题
例3已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点的坐标.
分析:利用导数的几何意义求解,但要注意(2)中切线经过原点,而原点不在曲线上,故应另设切点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,
∴在点(2,-6)处的切线的斜率k=f'(2)=3×22+1=13,
故切线的方程为y+6=13(x-2),
即13x-y-32=0.
因此y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13.
故直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13.
故直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟曲线切线方程的求解方法
求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异:过点P的切线中,点P不一定是切点,点P不一定在已知曲线上;而在点P处的切线,必以点P为切点.遇到类似问题时,必须分清所给的点是否是在曲线上,即是不是切点.如果是切点,那么该点处的导数即为切线的斜率;如果不是切点,那么应先设出切点坐标,再利用两点连线的斜率公式与导数建立联系,进行求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2(1)(2020河南高三月考)已知函数f(x)=3x2+aex,曲线y=f(x)在点x=0处的切线与直线y=
x+1垂直,则a= .?
(2)(2019河北石家庄二中高二月考)已知曲线f(x)=ex,则过原点的切线方程为( )
A.y=x
B.y=x+1
C.y=ex-1
D.y=ex
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)f'(x)=6x+aex,f'(0)=a,
所以切点为(1,e),切线的斜率k=f'(1)=e,
所以过原点的切线方程为y-e=e(x-1),即y=ex.故选D.
答案:(1)-2 (2)D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复杂函数的求导
典例求下列函数的导数:
分析:若所给函数解析式较为复杂,不能直接套用导数公式和导数运算法则时,则可先对函数解析式进行适当的变形与化简,再用相关公式和法则求导.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟对于较为复杂函数的求导:首先观察其形式是否为基本初等函数形式或满足四则运算形式;其次,若满足,直接利用求导公式或法则,若不满足,则转化为上述两形式后再求导.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练求下列函数的导数:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.(2020陕西高二期末)下列函数求导:①(2x)'=2xlog2e;
数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.(2020四川双流中学高二月考)下列结论不正确的是( )
A.若f(x)=0,则f'(x)=0
B.若f(x)=cos
x,则f'(x)=sin
x
解析:对A,f(x)为常数函数,显然成立;对B,f'(x)=-sin
x,故B错误;对C,D,显然都成立.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.设y=-2exsin
x,则y'等于( )
A.-2excos
x
B.-2exsin
x
C.2exsin
x
D.-2ex(sin
x+cos
x)
解析:∵y=-2exsin
x,
∴y'=-2exsin
x-2excos
x=-2ex(sin
x+cos
x).
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.(2020山东高二期末)已知直线y=x+b是曲线y=ax2+1的切线,也是曲线y=ln
x的切线,则a= ,b= .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.求下列函数的导数:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
