第五章一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.3 简单复合函数的导数
课后篇巩固提升
基础达标练
1.下列函数不是复合函数的是( )
A.y=-x3-+1
B.y=cosx+
C.y=
D.y=(2x+3)4
解析A不是复合函数,B、C、D均是复合函数,其中B是由y=cosu,u=x+复合而成;C是由y=,u=lnx复合而成;D是由y=u4,u=2x+3复合而成.
答案A
2.(2020安徽高二期末)函数f(x)=sin2x的导数是
( )
A.2sin
x
B.2sin2x
C.2cos
x
D.sin
2x
解析将y=sin2x写成y=u2,u=sinx的形式.对外函数求导为y'=2u,对内函数求导为u'=cosx,故可以得到y=sin2x的导数为y'=2ucosx=2sinxcosx=sin2x,故选D.
答案D
3.(2020福建高二期末)已知函数f(x)=,则f'(x)=( )
A.
B.
C.
D.
解析因为f(x)=,故f'(x)=,故选C.
答案C
4.(2020山东高三期末)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )
A.1
B.2
C.-1
D.-2
解析设切点坐标是(x0,x0+1),依题意有由此得x0+1=0,x0=-1,a=2.
答案B
5.(多选)设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<2π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ的可能取值为( )
A.
B.
C.
D.
解析f'(x)=-sin(x+φ),f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2sinx+φ+.
若f(x)+f'(x)为奇函数,则f(0)+f'(0)=0,
即0=2sinφ+,
因此φ+=kπ(k∈Z).
又因为φ∈(0,2π),所以φ=或φ=.
答案AC
6.(2020海南中学高二期末)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f'(x),且f(ln
x)在x=e处的导数为,则f'(1)= .?
解析设g(x)=f(lnx),由复合函数的求导法则可得g'(x)=f'(lnx).
由题意可得g'(e)=f'(1)=,解得f'(1)=.故答案为.
答案
7.若曲线y=xln
x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 ,切线方程为 .?
解析设P(x0,y0).∵y=xlnx,∴y'=lnx+x·=1+lnx.∴k=1+lnx0.又k=2,∴1+lnx0=2,∴x0=e.∴y0=elne=e.∴点P的坐标是(e,e).故切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0.
答案(e,e) 2x-y-e=0
8.(2020江苏高三开学考试)已知函数f(x)=mln
x图象与函数g(x)=2图象在交点处切线方程相同,则m的值为 .?
解析设函数f(x)和g(x)的交点为(x0,y0),
则由f(x)=mlnx,得f'(x)=,
∴f(x)在(x0,y0)处的切线方程的斜率k1=,
同理,函数g(x)在(x0,y0)处的切线方程的斜率k2=,
∵f(x)和g(x)在交点处切线方程相同,
∴k1=k2,即,①
又y0=f(x0)=mlnx0,②
y0=g(x0)=2,③
由①②③解得,m=e.
答案e
9.求下列函数的导数.
(1)y=e2x+1;(2)y=;(3)y=5log2(1-x);
(4)y=sin3x+sin
3x.
解(1)函数y=e2x+1可看作函数y=eu和u=2x+1的复合函数,∴yx'=yu'·ux'=(eu)'(2x+1)'=2eu=2e2x+1.
(2)函数y=可看作函数y=u-3和u=2x-1的复合函数,∴yx'=yu'·ux'=(u-3)'(2x-1)'=-6u-4=-6(2x-1)-4=-.
(3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数,∴yx'=yu'·ux'=(5log2u)'·(1-x)'=.
(4)函数y=sin3x可看作函数y=u3和u=sinx的复合函数,函数y=sin3x可看作函数y=sinv和v=3x的复合函数.
∴yx'=(u3)'·(sinx)'+(sinv)'·(3x)'=3u2·cosx+3cosv=3sin2xcosx+3cos3x.
能力提升练
1.
曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )
A.
B.
C.
D.1
解析依题意得y'=e-2x·(-2)=-2e-2x,y'x=0=-2e-2×0=-2.
曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2、y=0与y=x的图象,因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×.
答案A
2.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )
A.0,
B.
C.
D.,π
解析因为y=,所以y'=.因为ex>0,所以ex+≥2,所以y'∈[-1,0),所以tanα∈[-1,0).又因为α∈[0,π),所以α∈,π.
答案D
3.(多选)(2020江苏镇江中学高二期末改编)直线y=x+b能作为下列( )函数的图象的切线.
A.f(x)=
B.f(x)=x4
C.f(x)=sin
D.f(x)=ex
解析由f(x)=,得f'(x)=-,无解,故A排除;
由f(x)=x4,得f'(x)=4x3=,故x=,即曲线在点的切线为y=x-,B正确;
由f(x)=sin,得f'(x)=cos,取x=2kπ,k∈Z,当k=0时,x=0,故曲线在点(0,0)的切线为y=x,C正确;由f(x)=ex,得f'(x)=ex=,故x=-ln2,曲线在点-ln2,的切线为y=x+ln2+,D正确,故选BCD.
答案BCD
4.曲线y=sin
2x在点(0,0)处的切线方程为 .?
解析∵y=f(x)=sin2x,∴f'(x)=2cos2x.
当x=0时,f'(0)=2,得切线的斜率为2,
所以k=2.
所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.故答案为2x-y=0.
答案2x-y=0
5.函数y=ln在x=0处的导数为 .?
解析y=ln=lnex-ln(1+ex)=x-ln(1+ex),则y'=1-.当x=0时,y'=1-.
答案
6.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则x>0时,f(x)的解析式为 ,曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 .?
解析设x>0,则-x<0,f(-x)=lnx-3x,又f(x)为偶函数,所以f(x)=lnx-3x(x>0).当x>0时,f'(x)=-3,f'(1)=-2,切线方程为y=-2x-1.
答案f(x)=ln
x-3x y=-2x-1
7.(1)已知f(x)=eπxsin
πx,求f'(x)及f';
(2)在曲线y=上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.
解(1)∵f(x)=eπxsinπx,
∴f'(x)=πeπxsinπx+πeπxcosπx=πeπx(sinπx+cosπx).
∴f'=πsin+cos=π.
(2)设切点的坐标为P(x0,y0),
由题意可知y'=0.又y'=,
∴y'=0.
解得x0=0,此时y0=1.即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
素养培优练
用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+…+2
021x2
020(x≠0,且x≠1).
解设f(x)=1+2x+3x2+4x3+…+2021x2020,g(x)=x+x2+x3+x4+…+x2021,则有f(x)=g'(x).
而由等比数列求和公式可得g(x)=,于是f(x)=g'(x)='
=
=,
即1+2x+3x2+4x3+…+2021x2020
=.(共27张PPT)
5.2.3 简单复合函数的导数
激趣诱思
知识点拨
我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算得到新的函数,还有一种构造新函数的方法,那就是把两个或几个函数“复合”起来,怎样“复合”呢,复合后的函数怎样求导呢?本节课就让我们来解决这些问题.
激趣诱思
知识点拨
1.复合函数的概念
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).
2.复合函数的求导法则
一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
激趣诱思
知识点拨
名师点析求复合函数的导数需处理好以下环节:
(1)中间变量的选择应是基本函数结构;
(2)关键是正确分析函数的复合层次;
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;
(4)善于把一部分表达式作为一个整体;
(5)最后要把中间变量换成关于自变量的函数.
激趣诱思
知识点拨
微思考
函数y=log2(x+1)是复合函数吗?是由哪些函数复合而成的?
提示:是,函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1这两个函数复合而成的.
微练习
(1)函数y=sin
4x的导数为 ;?
(2)函数y=
的导数为 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求复合函数的导数
例1求下列函数的导数:
(1)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x-
);
(3)y=ln(4x-1);(4)y=.
分析:先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)设y=u2,u=4-3x,则yu'=2u,ux'=-3,于是yx'=yu'·ux'=-6(4-3x)
=18x-24,即y'=18x-24.
(4)设y=eu,u=x2,则yu'=eu,ux'=2x,
于是yx'=yu'·ux'=·2x,即y'=2x.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟1.解答此类问题常犯两个错误:
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数;
(2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.
2.复合函数求导的步骤:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1求下列函数的导数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复合函数求导与导数的运算法则的综合应用
例2求下列函数的导数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟此类问题出错的主要因素一般有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆有误;二是求导法则掌握不到位,尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆,导致运算结果出现错误.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等价性.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2求下列函数的导数:
(1)y=(2x-1)3;(2)y=sin
2x+cos
2x;(3)y=ln2x.
解:(1)设y=u3,u=2x-1,则yu'=3u2,ux'=2,于是yx'=yu'·ux'=6(2x-1)2,即y'=6(2x-1)2;
(2)y'=(sin
2x)'+(cos
2x)'=2cos
2x-2sin
2x;
探究一
探究二
探究三
素养形成
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导数运算法则的综合应用
例3(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( )
(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= .?
求P(x0,y0)→由点到直线的距离求最小值
(2)求y'→由y'|x=0=2求a的值
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
解析:(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.
(2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
答案:(1)A (2)2
探究一
探究二
探究三
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反思感悟导数综合应用的解题策略
本题正确地求出复合函数的导数是前提,审题时注意所给点是否是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究1本例(1)的条件变为“曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+m=0的最小距离为2
”,求m的值.
即实数m的值为8或-12.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究2求本例(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积.
解:由题意可知,切线方程为y-1=2x,
即2x-y+1=0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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等价转化思想在导数几何意义中的应用
典例已知点P是曲线y=f(x)=x2-ln
x上任意一点,求点P到直线y=x-2的距离的最小值.
审题视角所求点P应为与直线y=x-2平行的曲线y=x2-ln
x的切线的切点,此时最小距离应为该切线与已知直线之间的距离,即切点到已知直线的距离,从而转化为求曲线y=x2-ln
x的斜率等于1的切线的切点坐标问题,故可借助导数的几何意义进行求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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解:由已知,可得当点P是曲线y=f(x)的平行于直线y=x-2的切线的切点时,点P到直线y=x-2的距离最小.
探究一
探究二
探究三
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方法点睛这类“求某曲线上任意一点到某已知直线的最小距离”问题,可结合图形,利用等价转化思想,将问题转化为求曲线的平行于已知直线的切线的切点问题,从而借助导数的几何意义进行求解.其基本步骤与方法如下:
(1)根据切线与已知直线平行,它们的斜率相等,得到切线的斜率.
(2)根据导数的几何意义,由切线的斜率得到切点的横坐标.
(3)由切点在曲线上,求得切点的纵坐标,得到切点的坐标.
(4)利用点到直线的距离公式求得最小距离.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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变式训练点P是曲线y=-x2上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离为( )
解析:依题意知,点P就是曲线y=-x2上与直线y=x+2平行的切线的切点.设点P坐标为(x0,y0),因为y'=-2x,所以曲线在点P处的切线的斜率为k=-2x0.因为该切线与直线y=x+2平行,所以有-2x0=1,得
答案:B
探究一
探究二
探究三
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1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是( )
A.y=un,u=x2-1
B.y=(u-1)n,u=x2
C.y=tn,t=(x2-1)n
D.y=(t-1)n,t=x2-1
答案:A
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2.(2020黑龙江大庆实验中学高二期末)已知f(x)=sin
2x+e2x,则f'(x)=( )
A.2cos
2x+2e2x
B.cos
2x+e2x
C.2sin
2x+2e2x
D.sin
2x+e2x
解析:因为f(x)=sin
2x+e2x,所以f'(x)=2cos
2x+2e2x.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(2020福建高二期末)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f'(2)=-1,则a=( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
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