(共41张PPT)
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
激趣诱思
知识点拨
“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,说的是庐山的高低起伏,错落有致.在群山之中,各个山峰的顶端,虽然不一定是群山的最高处,但它却是其附近的最高点.那么,在数学上,这种现象如何来刻画呢?
激趣诱思
知识点拨
一、函数极值的概念
1.若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,就把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
2.若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,就把b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
3.极大值点和极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
2.函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.
3.极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.
4.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
激趣诱思
知识点拨
5.若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极值点.也就是说,若f'(c)存在,则“f'(c)=0”是“f(x)在x=c处取到极值”的必要条件,但不是充分条件.
6.若f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不是单调函数,即在某区间上单调的函数没有极值.
7.如果函数f(x)在[a,b]上有极值,那么它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在[a,b]上的极大值点、极小值点是交替出现的.
激趣诱思
知识点拨
微练习
如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,下列说法错误的是( )
A.-2是函数y=f(x)的极小值点
B.1是函数y=f(x)的极值点
C.y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于零
D.y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增
解析:f'(1)=0,但在x=1附近的左、右两侧的导函数值同号,则1不是f(x)的极值点,故选B.
答案:B
激趣诱思
知识点拨
二、函数极值的求法
一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是:
1.求函数y=f(x)的导数f'(x).
2.解方程f'(x)=0,得方程的根x0.
3.如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值.
名师点析导数等于0的解不一定是极值点;反之,极值点一定是导数等于0的解,故须对f'(x)=0的解进行检验.
激趣诱思
知识点拨
微练习
函数f(x)=x3-3x的极大值等于 ,极小值等于 .?
解析:由题意知f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,当x∈(-∞,-1)时f'(x)>0,当x∈(-1,1)时f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时f'(x)>0,所以当x=-1时,函数取极大值f(-1)=2;当x=1时,函数取极小值f(1)=-2.
答案:2 -2
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
利用导数求函数的极值
角度1 不含参数的函数求极值
例1求下列函数的极值:
分析:按照求函数极值的步骤,借助表格进行求解.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
解:(1)函数的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3.
令f'(x)=0,得x=3或x=-1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
所以函数在x=-1处取得极大值f(-1)=e,无极小值.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟利用导数求函数极值的方法
利用导数研究函数的极值时,一般应首先明确函数的定义域,然后求出函数的导数,得到导数为零的点.这些点将整个定义域分为若干个区间,最后将x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中.观察导数为零的点的左右两侧导数值是否异号,若异号,则是极值;否则,不是极值.这样通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值,是极大值还是极小值.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
解:函数f(x)的定义域为R,
令f'(x)=0,得x(2-x)·e-x=0,
解得x=0或x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
角度2 含参数的函数求极值
例2已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),当a∈R且a≠
时,求函数的极值.
探究一
探究二
探究三
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解:f'(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.
令f'(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.
∴f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数,
在(-2a,a-2)内是减函数.
∴函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a;
函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
∴f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)内是增函数,在(a-2,-2a)内是减函数.
∴函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2;
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),
且f(-2a)=3ae-2a.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)求函数的定义域.
(2)求函数的导数f'(x).
(3)令f'(x)=0,求出全部的根x0.
(4)列表:方程的根x0将整个定义域分成若干个区间,把x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内.
(5)判断得结论:若导数在x0附近左正右负,则在x0处取得极大值;若左负右正,则取得极小值.
探究一
探究二
探究三
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变式训练2若函数f(x)=x-aln
x(a∈R),求函数f(x)的极值.
(1)当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值.
(2)当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a.
当0
当x>a时,f'(x)>0.
∴f(x)在x=a处取得极小值,且f(a)=a-aln
a,无极大值.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln
a,无极大值.
探究一
探究二
探究三
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由极值求参数的值或取值范围
例3已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得极值
.
(1)求a,b的值;
(2)求函数的另一个极值.
分析:(1)可利用f'(1)=0,f(1)=
建立关于a,b的方程组求解;(2)按照求极值的步骤求解.
探究一
探究二
探究三
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解:(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+4,
所以f'(x)=3x2+2ax+b,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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分析:f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,等价于f'(x)=0在(1,+∞)内有两个不等实根.
解:f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,
所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.
解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞).
探究一
探究二
探究三
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反思感悟根据函数极值求参数的方法
根据函数极值的定义可知,如果一个函数是可导函数,那么在极值点处的导数必然为零,即对于可导函数y=f(x),f'(x0)=0是x0为极值点的必要条件,当已知函数在某一点处取得极值时,该点处的导数值一定为零,据此可建立关于参数的方程进行求解.特别地,利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
探究一
探究二
探究三
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变式训练3若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c为( )
A.2
B.6
C.2或6
D.-2或-6
解析:∵函数f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,它的导数为f'(x)=3x2-4cx+c2,
由题意知,在x=2处的导数值为12-8c+c2=0,
∴c=6,或c=2,
又函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,故导数值在x=2处左侧为正数,右侧为负数.
当c=2时,f'(x)=3x2-8x+4=3(x-
)(x-2),不满足导数值在x=2处左侧为正数,右侧为负数.
当c=6时,f'(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12)=3(x-2)(x-6),
满足导数值在x=2处左侧为正数,右侧为负数.故c=6.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
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由函数图象分析函数的极值
例5已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)
是函数f(x)的导函数),给出以下说法:①函数f(x)在区间(1,+∞)内是增函数;②函数f(x)在x=-1处取得极大值;③函数f(x)在x=-
处取得极大值;④函数f(x)在x=1处取得极小值,其中正确的说法有 .(填所有正确的序号)?
探究一
探究二
探究三
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分析:通过图象考查f'(x)在相关区间上的符号,以及在相关各点的左右两侧的导数值是否异号,结合极值的定义进行判断.
解析:从图象上可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,于是f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)内是增函数,①正确;当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,当x∈(-1,0)时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0,故函数f(x)在x=-1处取得极大值,②正确;当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-1,1)内是减函数,③错;当x∈(0,1)时,xf'(x)<0,于是f'(x)<0,故f(x)在区间(0,1)内是减函数,而在区间(1,+∞)上是增函数,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,④正确.
答案:①②④
探究一
探究二
探究三
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反思感悟由函数图象研究极值的方法
这类函数图象问题是利用导数研究函数极值问题中较为常见的一种题型,解答这类问题的关键是选准出发点.对于导函数的图象,我们重点考查其在哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点处,导函数的值是怎样变化的,若是由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若由负值变为正值,则在该点处取得极小值.
探究一
探究二
探究三
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变式训练4已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,给出以下结论:①函数f(x)在(-2,-1)和(1,2)内是增函数;②函数f(x)在(-2,0)内是增函数,在(0,2)内是减函数;③函数f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值;④函数f(x)在x=0处取得极大值.其中正确命题的序号是 .(填所有正确命题的序号)?
解析:函数f(x)在(-2,-1)内单调递增,在(1,2)内单调递减,故①错;因为f'(x)在(-2,0)内大于0,所以函数f(x)在(-2,0)内是增函数,同理f(x)在(0,2)内是减函数,故②正确;③错误;当-20,当0答案:②④
探究一
探究二
探究三
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极值问题的综合应用
典例已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围.
分析:求出函数的极值,要使f(x)=0有三个不同实根,则应有极大值大于0,极小值小于0,由此可得a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
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解:令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,
解得x1=-1,x2=1.
当x<-1时,f'(x)>0;
当-1当x>1时,f'(x)>0.
所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=2+a;
当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2+a.
因为方程f(x)=0有三个不同实根,
所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点,如图.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基本上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的问题提供了方便.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究1(改变条件)本例中,若方程f(x)=0恰有两个根,则实数a的值如何求解?
解:由例题,知函数的极大值f(-1)=2+a,极小值f(1)=-2+a,
若f(x)=0恰有两个根,则有2+a=0,或-2+a=0,所以a=-2或a=2.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究2(改变条件)本例中,若方程f(x)=0有且只有一个实根,求实数a的取值范围.
解:由例题可知,要使方程f(x)=0有且只有一个实根,只需2+a<0或
-2+a>0,
即a<-2或a>2.
探究一
探究二
探究三
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1.(2020陕西高二期末)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则关于f(x)的结论正确的是( )
A.在区间(-2,2)上为减函数
B.在x=-2处取得极小值
C.在区间(-∞,-2),(2,+∞)上为增函数
D.在x=0处取得极大值
解析:由图象知f(x)在(-∞,-2)递减,在(-2,2)递增,在(2,+∞)递减,
故f(x)在x=-2取极小值,在x=2取极大值,故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
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A.0
B.-1
C.0或1
D.1
解析:∵f'(x)=x3-x2=x2(x-1),
由f'(x)=0,得x=0或x=1.
又当x>1时f'(x)>0,
当0∴1是f(x)的极小值点.
又x<0时f'(x)<0,
故0不是函数的极值点.
答案:D
探究一
探究二
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3.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )
A.(2,3)
B.(3,+∞)
C.(2,+∞)
D.(-∞,3)
解析:∵f'(x)=6x2+2ax+36,且在x=2处有极值,
∴f'(2)=0,即24+4a+36=0,a=-15,
∴f'(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3),
由f'(x)>0得x<2或x>3.
答案:B
探究一
探究二
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4.已知a是函数f(x)=x3-12x的极大值点,则a= .?
解析:∵f(x)=x3-12x,∴f'(x)=3x2-12.
令f'(x)=0,则x1=-2,x2=2.
当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,
则f(x)单调递增;
当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,
∴当x=-2时,f(x)取极大值,故f(x)的极大值点是a=-2.
答案:-2
探究一
探究二
探究三
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5.(2019广东石门中学高二月考)已知函数f(x)=
x3+bx2+cx+3在
(-∞,-1)和(3,+∞)上为增函数,在(-1,3)上为减函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在R上的极值.
探究一
探究二
探究三
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第2课时 函数的最大(小)值
激趣诱思
知识点拨
费马(1601—1665)是一位17世纪的法国律师,也是一位业余数学家.之所以称费马为“业余数学家之王”,是由于他具有律师的全职工作.17世纪是杰出数学家活跃的世纪,而费马比他同时代的大多数专业数学家更有成就,是17世纪数学家中最多产的明星.
他将无穷小的思想运用到求积问题上,已具今日微积分的雏形,这也是费马的卓越成就之一.他在牛顿出生前的13年,提出了有关微积分的主体概念.
大约在1637年,他写了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》.让我们沿着这位传奇人物的足迹来用导数研究函数的最大(小)值问题吧.
激趣诱思
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一、函数在闭区间上的最值
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
名师点析1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)=
在区间(0,2)上的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值.
2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最值,例如函数
激趣诱思
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3.函数的最值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值).函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有.
4.极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能是最值,最值只要不在端点处则一定是极值.
激趣诱思
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微思考
在开区间或无穷区间上,最值与极值的联系有哪些?
提示:当连续函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个导数为零的点时,若在这一点处f(x)有极大值(或极小值),则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值),这里(a,b)也可以换成无穷区间.
激趣诱思
知识点拨
微练习
设在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内可导,有以下三个命题:
①若f(x)在[a,b]上有最大值,则这个最大值必是[a,b]上的极大值;
②若f(x)在[a,b]上有最小值,则这个最小值必是[a,b]上的极小值;
③若f(x)在[a,b]上有最值,则最值必在x=a或
x=b处取得.
其中真命题共有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:由于函数的最值可能在区间[a,b]的端点处取得,也可能在区间[a,b]内取得,而当最值在区间端点处取得时,其最值必不是极值,因此命题①②③都不是真命题.
答案:A
激趣诱思
知识点拨
二、函数在闭区间[a,b]上最值的求法
一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
1.求函数y=f(x)在(a,b)上的极值;
2.将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
名师点析如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.
激趣诱思
知识点拨
微练习
函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值的和是 .?
答案:-10
激趣诱思
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三、生活中的优化问题
在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题.
名师点析解决优化问题的一般步骤
(1)认真阅读理解关于实际问题的材料.一般地,实际问题的材料都非常多,信息量较大,涉及的量也比较多,因此需要仔细地阅读题目,发现其中有用的信息,揭示其数学本质.
(2)在理解题意的基础上,建立数学模型,把要解决的实际问题转化为数学问题,建立相应的函数关系式.
(3)针对数学模型,设计解决方案,用导数解决函数问题,同时要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.
(4)根据数学问题的答案去回答实际问题中的优化问题.
激趣诱思
知识点拨
微思考
在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最值吗?你能列举几个关于利润的等量关系吗?
提示:根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例:利润=收入-成本,利润=每件产品的利润×销售件数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-
x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
解析:∵y=-
x3+81x-234,∴y'=-x2+81(x>0).
令y'<0,得x>9;令y'>0得0∴函数在(0,9)上单调递增,在(9,+∞)上单调递减,
∴当x=9时,函数取得最大值.故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
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求函数的最值
角度1 求函数在闭区间上的最值
例1求下列函数在相应区间上的最值:
(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];
分析:求函数的导数,得到函数的极值点,先求出极值,再结合定义域,将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的方法
1.求函数f(x)的导函数f'(x);
2.解方程f'(x)=0,求出使得f'(x)=0的所有点;
3.计算函数f(x)在区间[a,b]内使得f'(x)=0的所有点以及端点的函数值;
4.比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
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角度2 求函数在开区间或无穷区间上的最值
例2求下列函数的最值:
分析:没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域上的单调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象,结合图象求出最值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)函数的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3在x=1处取得极小值,极小值等于f(1)=-2e.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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反思感悟求函数在开区间或无穷区间上最值的方法
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
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与最值有关的参数问题
角度1 求含参数函数的最值
例3a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.
解:f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).
若a≤0,则f'(x)≤0,函数f(x)单调递减,
所以当x=0时,有最大值f(0)=0.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟求解函数在区间上的最值,需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值.注意由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.
(3)分类讨论后比较极值与端点函数值的大小,确定最值.
探究一
探究二
探究三
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变式训练3已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
探究一
探究二
探究三
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角度2 与函数最值和参数有关的综合问题
例4设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(1)求f(x)的最小值h(t);
(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)利用配方法,即可求出二次函数f(x)的最小值h(t);
(2)构造函数g(t)=h(t)-(-2t+m),只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围.
探究一
探究二
探究三
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解:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),
∴当x=-t时,f(x)取最小值,
即f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.
(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在(0,2)内有极大值g(1)=1-m.
h(t)<-2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立,即等价于1-m<0.∴m的取值范围为(1,+∞).
探究一
探究二
探究三
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反思感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
探究一
探究二
探究三
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延伸探究1若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成立”,则实数m的取值范围如何求解?
解:令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)=-3-m,
存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成立,
等价于g(t)的最小值g(2)<0.
∴-3-m<0,∴m>-3,
所以实数m的取值范围为(-3,+∞).
探究一
探究二
探究三
素养形成
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延伸探究2若将本例(2)的条件改为“对任意的t1,t2∈[0,2],都有h(t1)<-2t2+m”,求实数m的取值范围.
探究一
探究二
探究三
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生活中常见的几种优化问题
角度1 利润(收益)最大问题
例5(2019河北高二期中)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式
y=
+10(x-6)2,其中3(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
分析:(1)根据x=5时,y=11求a的值.(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数,用导数求最大值.
探究一
探究二
探究三
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=2+10(x-3)(x-6)2(3由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟利润最大问题的求解策略
利用导数解决利润(收益)最大问题,关键是灵活运用题设条件,建立利润(收益)的函数解析式,然后再利用导数方法求出该函数的最大值,即可得到最大利润(收益).常见的基本等量关系如下:
(1)利润(收益)=收入-成本;
(2)利润(收益)=每件产品的利润(收益)×销售量.
解此类问题需注意两点:①价格要大于或等于成本,否则就会亏本;②销量要大于0,否则不会获利.
探究一
探究二
探究三
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(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;
(2)若该商品的销售成本为1元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获利润f(x)最大.
探究一
探究二
探究三
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解:(1)由题意,当x=2时,y=800,∴a+b=800.
又∵x=3时,y=150,∴b=300,可得a=500.
探究一
探究二
探究三
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∴x=5.3时有最大值1
840.
∵1
800<1
840,
∴当x=5.3时,f(x)有最大值1
840,
即当销售价格为5.3元时,商场所获利润最大.
探究一
探究二
探究三
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角度2 用料最省、成本(费用)最低问题
例6(2019普陀区高三期中)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=
(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.
分析:(1)由C(0)=8可求k的值从而求出f(x)的表达式.
(2)用导数方法研究f(x)的最小值.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟费用最省问题的求解策略
(1)用料最省、造价最低问题是日常生活中常见的问题之一,此类问题的求解思路是明确自变量的意义及最值问题所研究的对象,找到变量之间的关系,借助关系建立函数关系式,然后借助导数予以求解.
(2)利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f'(x)=0时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值.
探究一
探究二
探究三
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变式训练4甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式;
(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.
探究一
探究二
探究三
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令Q'=0,则v=0(舍去)或v=80,
当0当800,
∴当v=80千米/时时,全程运输成本取得极小值,即最小值,且
探究一
探究二
探究三
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角度3 面积、体积的最值问题
例7请你设计一个包装盒,如图所示,四边形ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x
cm.
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
探究一
探究二
探究三
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分析:用变量x表示出包装盒的底边长和高,再求侧面积与容积的最大值.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟面积与体积最值问题的求解策略
求面积与体积的最值问题是实际生产生活中的常见问题,解决这类问题的关键是熟练掌握相关的面积、体积公式,能够依据题意确定出自变量的取值范围,建立准确的函数关系式,然后利用导数的方法加以解决,必要时,可选择建立坐标系,通过点的坐标建立函数关系式或曲线方程.
探究一
探究二
探究三
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变式训练5有一块边长为a的正方形铁板,现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形,做成一个长方体形的无盖容器.为使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少?
探究一
探究二
探究三
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解:设截下的小正方形边长为x,容器容积为V(x),则做成的长方体形无盖容器底面边长为a-2x,高为x,
V'(x)=12x2-8ax+a2.
令V'(x)=0,得12x2-8ax+a2=0,
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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分类讨论思想在求函数最值中的应用
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)求函数f(x)在区间[a,2a]上的最小值.
分析:(1)可利用导数通过解不等式求得单调区间;(2)中因为函数的最值只能在极值点和端点处取得,因此需比较极值点和端点处的函数值的大小,最后再将讨论的情况进行合并整理.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
素养形成
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探究一
探究二
探究三
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方法点睛1.解答含参数的问题,往往需要对参数进行分类讨论进行求解.
2.本题因极值点e与所给闭区间的两个端点的大小不确定,从而展开讨论,要做到不重不漏.
3.分类讨论时,若在所讨论的范围内,问题无法解决,还需要针对参数展开第二层讨论.
4.针对参数的所有情况讨论完成后,应将结论进行整合.
探究一
探究二
探究三
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变式训练已知函数f(x)=ax-ln
x,是否存在实数a,使得函数在(0,e]上的最小值等于2?若存在,求出实数a的值;若不存在,说明理由.
当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在(0,e]上单调递减.
所以f(x)在(0,e]上的最小值为f(e)=ae-1,
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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1.若函数f(x)=-x4+2x2+3,则f(x)( )
A.最大值为4,最小值为-4
B.最大值为4,无最小值
C.最小值为-4,无最大值
D.既无最大值,也无最小值
解析:f'(x)=-4x3+4x.
由f'(x)=0得x=±1或x=0,
易知f(-1)=f(1)=4为极大值也是最大值,故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
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答案:B
探究一
探究二
探究三
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3.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x
h,原油温度(单位:℃)为f(x)=
x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是
℃/h.?
解析:原油温度的瞬时变化率为f'(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.
答案:-1
探究一
探究二
探究三
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4.设函数f(x)=x3-
-2x+5,若对任意x∈[-1,2],有f(x)>m恒成立,则实数m的取值范围是 .?
探究一
探究二
探究三
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当x>1时,f'(x)<0,
∴函数f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,
∴当x=1时,函数f(x)有最大值,且最大值f(1)=-1,函数无最小值.第五章一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2019湖南高三期末)函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值、最小值分别是( )
A.12,-15
B.1,-8
C.5,-16
D.12,-8
解析由函数y=2x3-3x2-12x+5,
得y'=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令y'=0,
解方程可得x1=-1,x2=2,列表如下.
x
-2
(-2,-1)
-1
(-1,1)
1
y'
+
0
-
y
1
单调递增
极大值12
单调递减
-8
由表格可知,函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值为12,最小值为-8,故选D.
答案D
2.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6
h到9
h,车辆通过该市某一路段的用时y(min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:y=-t3-t2+36t-.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是( )
A.6
h
B.7
h
C.8
h
D.9
h
解析由题意,得
y'=-t2-t+36=-(t+12)(t-8).
令y'=0得t=-12(舍去)或t=8.
当6≤t<8时,y'>0;当8答案C
3.(2020合肥第二中学高三月考)已知函数f(x)=x3+x2-2x+1,若函数f(x)在(2a,a2-3)上存在最小值,则a的取值范围是( )
A.,2
B.,2
C.(-1,3)
D.-,-2
解析由f(x)=x3+x2-2x+1,
可得f'(x)=x2+x-2,
令f'(x)>0,解得x∈(-∞,-2)∪(1,+∞),令f'(x)<0,解得x∈(-2,1),
故f(x)在x=1时取得极小值.极小值f(1)=-,由f(x)=-,得(x-1)(2x2+5x-7)=0,解得x1=1,x2=-,又因为函数f(x)在(2a,a2-3)上存在最小值,
故可得-≤2a<1答案D
4.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q与零售价p有如下关系:Q=8
300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )
A.30元
B.60元
C.28
000元
D.23
000元
解析设毛利润为L(p),由题意知L(p)=Q(p-20)
=(8300-170p-p2)(p-20)
=-p3-150p2+11700p-166000,
所以L'(p)=-3p2-300p+11700.
令L'(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).
此时,L(30)=23000.
因为在p=30附近的左侧L'(p)>0,右侧L'(p)<0,
所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元.
答案D
5.(多选)(2019山东高三月考)若函数f(x)=2x3-ax2(a<0)在上有最大值,则a的取值可能为
( )
A.-6
B.-5
C.-4
D.-3
解析令f'(x)=2x(3x-a),得x1=0,x2=(a<0),当0时,f'(x)>0,则f(x)的增区间为-∞,,(0,+∞),减区间为,0,
从而f(x)在x=处取得极大值f=-,
由f(x)=-,得2x+=0,解得x=或x=-,又f(x)在上有最大值,
所以≤-,即a≤-4,故选ABC.
答案ABC
6.函数y=x+(x>0)的最小值为 .?
解析y'=1+×(-2)×=1-,
所以当x>1时,y'>0,当0所以函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数在x=1处取得最小值,最小值为1+,故答案是.
答案
7.函数f(x)=ax4-4ax3+b(a>0),x∈[1,4],f(x)的最大值为3,最小值为-6,则a+b= .?
解析f'(x)=4ax3-12ax2.令f'(x)=0,得x=0(舍去)或x=3.当10,故x=3为极小值点.因为f(3)=b-27a,f(1)=b-3a,f(4)=b,所以f(x)的最小值为f(3)=b-27a,最大值为f(4)=b.
所以解得故a+b=.
答案
8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的体积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为 ,最小表面积为 .?
解析设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r(r>0),则水桶的高为,所以S=πr2+2πr×=πr2+(r>0),S'=2πr-,令S'=0,解得r=3.
当03时,S'>0,所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.
∴Smin=π×32+=9π+18π=27π.
答案3 27π
9.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求f(x)在区间-上的最大值和最小值.
解(1)易知f(x)的定义域为-,+∞.
f'(x)=+2x=
=.
当-0;
当-1当x>-时,f'(x)>0,
从而f(x)在区间-,-1和-,+∞上单调递增,在区间-1,-上单调递减.
(2)由(1)知f(x)在区间-上的最小值为f-=ln2+.
又因为f--f=ln-ln
=ln1-ln<0,
所以f(x)在区间-上的最大值为f=ln.
能力提升练
1.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n均属于[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是( )
A.-13
B.-15
C.10
D.15
解析对函数f(x)求导得f'(x)=-3x2+2ax,
由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,
即-3×4+2a×2=0,∴a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,
易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
又∵f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,
且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,
f'(n)min=f'(-1)=-9,
故f(m)+f'(n)的最小值为-13.
答案A
2.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln
x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为( )
A.1
B.
C.
D.
解析由题意,设|MN|=F(t)=t2-lnt(t>0),
令F'(t)=2t-=0,得t=或t=-(舍去).
F(t)在内单调递减,在内单调递增,故当t=时,F(t)=t2-lnt(t>0)有极小值,也是最小值,即|MN|达到最小值,故选D.
答案D
3.在四面体ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体ABCD体积的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
解析如图,取AB中点E,连接CE,DE,设AB=2x(0平面ABC⊥平面ABD是四面体体积最大的必要条件,此时四面体的体积V(x)=×2x×x-x3.
V'(x)=-x2,令V'(x)=0,得x=,
当x∈时,V(x)为增函数,
当x∈时,V(x)为减函数,
则当x=时,V(x)有最大值V(x)max=.故选A.
答案A
4.(多选)(2020山东高三期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=ex(x+1),则下列命题正确的是( )
A.当x>0时,f(x)=-e-x(x-1)
B.函数f(x)有3个零点
C.f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1)
D.?x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2
解析当x>0时,-x<0,
则由题意得f(-x)=e-x(-x+1),
∵函数f(x)是奇函数,
∴f(0)=0,且x>0时,
f(x)=-f(-x)=-e-x(-x+1)=e-x(x-1),A错;∴f(x)=
当x<0时,由f(x)=ex(x+1)=0,得x=-1,
当x>0时,由f(x)=e-x(x-1)=0,得x=1,
∴函数f(x)有3个零点-1,0,1,B正确;
当x<0时,由f(x)=ex(x+1)<0,得x<-1,
当x>0时,由f(x)=e-x(x-1)<0,得0∴f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1),C正确;
当x<0时,由f(x)=ex(x+1),得f'(x)=ex(x+2),
由f'(x)=ex(x+2)<0,得x<-2,
由f'(x)=ex(x+2)>0得-2∴函数f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,0)上单调递增,
∴函数在(-∞,0)上有最小值f(-2)=-e-2,且f(x)=ex(x+1)又∵当x<0时,f(x)=ex(x+1)=0时x=-1,函数在(-∞,0)上只有一个零点,
∴当x<0时,函数f(x)的值域为[-e-2,1),
由奇函数的图象关于原点对称得函数f(x)在R的值域为(-1,e-2]∪[-e-2,1)=(-1,1),
∴对?x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2,D正确.故选BCD.
答案BCD
5.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是 .?
解析函数f(x)=ex-2x+a有零点,即方程ex-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,而g'(x)=2-ex,易知函数g(x)=2x-ex在(-∞,ln2)上单调递增,在(ln2,+∞)上单调递减,因而g(x)=2x-ex的值域为(-∞,2ln2-2],所以要使函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,只需a≤2ln2-2即可.
答案(-∞,2ln
2-2]
6.已知函数f(x)=xln
x.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若对所有的x∈[1,+∞)都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.
解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+lnx.
令f'(x)>0,解得x>;
令f'(x)<0,解得0从而f(x)在单调递减,在单调递增.
所以,当x=时,f(x)取得最小值-.
(2)依题意,得f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,
即不等式a≤lnx+对于x∈[1,+∞)恒成立.
令g(x)=lnx+,
则g'(x)=.
当x>1时,因为g'(x)=>0,
故g(x)是[1,+∞)上的增函数,所以g(x)的最小值是g(1)=1,所以a的取值范围是(-∞,1].
素养培优练
(2020安徽六安一中高三月考)已知函数f(x)=若函数F(x)=f(x)-kx在R上有3个零点,则实数k的取值范围为( )
A.0,
B.0,
C.-∞,
D.
解析当x<0时,由F(x)=0,得k=,令g(x)=,g'(x)=->0,g(x)在x∈(-∞,0)是增函数,当k>0时,k=有一个零点,
当x>0时,k=,
令h(x)=,h'(x)=,
当x∈(0,)时,h'(x)>0,
∴h(x)在(0,)上单调递增,
当x∈(,+∞)时,h'(x)<0,
∴h(x)在(,+∞)上单调递减,
所以当x=时,h(x)取得最大值,
因为F(x)=f(x)-kx在R上有3个零点,
所以当x>0时,k=有2个零点,
所以实数k的取值范围为0,,
综上可得实数k的取值范围为0,.故选B.
答案B第五章一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2020福建高二期末)定义在区间-,4上的函数f(x)的导函数f'(x)图象如图所示,则下列结论不正确的是( )
A.函数f(x)在区间(0,4)单调递增
B.函数f(x)在区间-,0单调递减
C.函数f(x)在x=1处取得极大值
D.函数f(x)在x=0处取得极小值
解析根据导函数图象可知,f(x)在区间(-∞,0)上,f'(x)<0,f(x)单调递减,在区间(0,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=0处取得极小值,没有极大值.所以选项A,B,D正确,选项C错误.
答案C
2.函数y=2x2-ln
x的极值点为( )
A.0,,-
B.,-
C.
D.-
解析y'=4x-,令y'=4x-=0,可得x=x=-舍去,所以极值点为.
答案C
3.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10,则实数a,b的值为( )
A.a=3,b=-3或a=-4,b=11
B.a=-4,b=2或a=-4,b=11
C.a=-4,b=11
D.以上都不对
解析f'(x)=3x2-2ax-b,f'(1)=0,即2a+b=3①,f(1)=a2-a-b+1=10,即a2-a-b=9②,解由①②组成的方程组,得a=-4,b=11(有极值)或a=3,b=-3(无极值,舍去).
答案C
4.(2019广东高二期末)已知x=是函数f(x)=xln(ax)+1的极值点,则a=( )
A.
B.1
C.
D.2
解析f'(x)=ln(ax)+1,由f'=0,得a=1.
又f'(x)=lnx+1,当x>时,f'(x)>0;
当0答案B
5.(多选)(2020江苏镇江中学高二期末)如图是函数y=f(x)的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的是
( )
A.f(x)在[-2,-1]上是增函数
B.当x=-1时,f(x)取得极小值
C.f(x)在(-1,2)上是增函数,在(2,4)上是减函数
D.当x=3时,f(x)取得极小值
解析根据图象知当x∈(-2,-1)或x∈(2,4)时,f'(x)<0,函数单调递减;
当x∈(-1,2)或x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,函数单调递增.
故A错误;故当x=-1时,f(x)取得极小值,B正确;C正确;
当x=3时,f(x)不取得极值,D错误.故选BC.
答案BC
6.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a+b= .?
解析∵f'(x)=3x2+2ax+b,
∴即
解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2.
答案-2
7.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为 .?
解析∵y=ex+ax,∴y'=ex+a.
当a≥0时,y'>0,函数y=ex+ax在R上单调递增,没有极值点.当a<0时,令y'=ex+a=0,则ex=-a,
即x=ln(-a).当x∈(-∞,ln(-a))时,y'<0,当x∈(ln(-a),+∞)时,y'>0,故x=ln(-a)是函数的极值点,又ln(-a)>0,∴-a>1,即a<-1.
答案(-∞,-1)
8.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1.
(1)试求常数a,b,c的值;
(2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由.
解f'(x)=3ax2+2bx+c,
(1)方法一:∵x=±1是函数的极值点,
∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.
由根与系数的关系知
又f(1)=-1,即a+b+c=-1,③
由①②③解得a=,b=0,c=-.
方法二:由f'(1)=f'(-1)=0,得3a+2b+c=0,①
3a-2b+c=0,②
又f(1)=-1,即a+b+c=-1,③
由①②③解得a=,b=0,c=-.
(2)f(x)=x3-x,
∴f'(x)=x2-(x-1)(x+1).
当x<-1或x>1时,f'(x)>0,
当-1∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,
在(-1,1)上是减函数.
∴当x=-1时,函数取得极大值,-1为极大值点;当x=1时,函数取得极小值,1为极小值点.
能力提升练
1.(2019天津高三)已知a>0且a≠1,则函数f(x)=(x-a)2ln
x( )
A.有极大值,无极小值
B.有极小值,无极大值
C.既有极大值,又有极小值
D.既无极大值,又无极小值
解析∵f'(x)=2(x-a)lnx+(x-a)2·=(x-a)2lnx+,又g(x)=2lnx+在(0,+∞)上单调递增,x→0,g(x)→-∞;x→+∞,g(x)→+∞,所以g(x)=2lnx+在(0,+∞)上有且仅有一个零点,设为x0,因为a≠1,则x0≠a,所以导函数f'(x)有两个不同零点,因此函数既有极大值,又有极小值.故选C.
答案C
2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)·f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
解析由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当-22时,f'(x)>0.由此可以得到函数在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
答案D
3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则的值为( )
A.-
B.-2
C.-2或-
D.不存在
解析∵f'(x)=3x2+2ax+b且f(x)在x=1处取得极大值10,
∴f'(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b-a2-7a=10,∴a2+8a+12=0,∴a=-2,b=1或a=-6,b=9.
当a=-2,b=1时,f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1).
当1时,f'(x)>0,
∴f(x)在x=1处取得极小值,与题意不符.
当a=-6,b=9时,f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3);
当x<1时,f'(x)>0,当1∴f(x)在x=1处取得极大值,符合题意;
∴=-=-.
答案A
4.(多选)(2020山东高三期末)已知函数f(x)=x+sin
x-xcos
x的定义域为[-2π,2π),则( )
A.f(x)为奇函数
B.f(x)在[0,π)上单调递增
C.f(x)恰有4个极大值点
D.f(x)有且仅有4个极值点
解析∵f(x)的定义域为[-2π,2π),
∴f(x)是非奇非偶函数,
∵f(x)=x+sinx-xcosx,
∴f'(x)=1+cosx-(cosx-xsinx)=1+xsinx,
当x∈[0,π)时,f'(x)>0,
则f(x)在[0,π)上单调递增.
显然f'(0)≠0,令f'(x)=0,得sinx=-,
分别作出y=sinx,y=-在区间[-2π,2π)上的图象,
由图可知,这两个函数的图象在区间[-2π,2π)上共有4个公共点,且两图象在这些公共点上都不相切,故f(x)在区间[-2π,2π)上的极值点的个数为4,且f(x)只有2个极大值点.故选BD.
答案BD
5.若直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是 .?
解析令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,则极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2.如图,观察图象可知当-2答案(-2,2)
6.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为 ,若恰有两个极值点,则实数a的取值范围是 .?
解析∵f'(x)=3x2+2x-a,
函数f(x)在区间(-1,1)上恰有一个极值点,
即f'(x)=0在(-1,1)内恰有一个根.
又函数f'(x)=3x2+2x-a的对称轴为x=-,
∴应满足∴1≤a<5.
若在(-1,1)内恰有两个极值点,
则应满足
∴∴-答案[1,5) -,1
7.设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f'(x),若函数y=f'(x)的图象关于直线x=-对称,且f'(1)=0.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)的极值.
解(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1,
所以f'(x)=6x2+2ax+b.
从而f'(x)=6+b-,
即y=f'(x)的图象关于直线x=-对称,从而由题设条件知-=-,解得a=3.
又因为f'(1)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12.
所以,实数a,b的值分别为3,-12.
(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f'(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2).
令f'(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0.
解得x1=-2,x2=1.
当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)内为增函数;
当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(-2,1)内为减函数;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数;
从而函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f(1)=-6.
素养培优练
(2020湖南高二期末)对于函数f(x)=2sin
x-x,x∈[0,π],下列说法正确的有( )
①f(x)在x=处取得极大值;
②f(x)有两个不同的零点;
③f(π)④f(x)在[0,π]上是单调函数.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析∵f'(x)=2cosx-1,
∴当x∈0,时,f'(x)>0;当x∈,π时,f'(x)<0,∴f(x)在0,上单调递增,在,π上单调递减,④错误;
∴f(x)在x=处取得极大值,f=2sin,①正确;
∵f(π)=-π,∴f·f(π)<0,
∴f(x)在,π必有一个零点,
又f(0)=0,即x=0为f(x)的一个零点,f(x)在0,无零点,∴f(x)恰有两个不同的零点,②正确;
∵f=2sin=2-,
f=2sin=1-,
∴f-f=2--1+=1-<0,
∴f又f(x)在,π上单调递减,∴f(π)∴f(π)则正确的命题为①②③,故选C.
答案C