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章末整合
专题一 导数的几何意义?
例1已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;
(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-
x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
解:(1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,
∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13.
∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),
即y=13x-32.
(2)法一:设切点为(x0,y0),
∴x0=-2.
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.
k=3×(-2)2+1=13.
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.
k=3×(-2)2+1=13.
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
∴切线的斜率k=4.
设切点坐标为(x0,y0),
即切点为(1,-14)或(-1,-18).
切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.
规律方法1.导数的几何意义的应用:利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的异同点.
2.围绕着切点有三个等量关系:已知切点(x0,y0),则(1)k=f'(x0);(2)y0=f(x0);(3)(x0,y0)满足切线方程.
变式训练1曲线y=esin
x在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为
,求直线l的方程.
m=-1或3.
∴直线l的方程为:x-y-1=0或x-y+3=0.
专题二 利用导数研究函数的单调性问题?
例2(1)f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf'(x)-f(x)≤0,对任意正数a,b,若a
A.af(b)B.bf(a)C.af(a)D.bf(b)答案:A
当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),
所以x∈(0,x1)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
综上,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
规律方法(1)解决问题的过程中,只能在函数的定义域内进行.
(2)在划分函数的单调区间时,除了必须确定使导数等于0的点外,还要注意定义区间内的不连续点或不可导点.此外,求得的根要判断是否在定义域中.
(3)涉及含参数的函数的单调性或单调区间问题,一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响.若有影响,则必须分类讨论.
变式训练2(1)已知函数f(x)=xekx-1,g(x)=ln
x+kx,若f(x)在(1,+∞)上为减函数,g(x)在(0,1)上为增函数,求实数k的值;
(2)已知函数f(x)=-
a(x-1)2+x-ln
x,其中a>0,求函数f(x)的单调区间.
当a=1时,f'(x)≤0在(0,+∞)内恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)内单调递减,无单调递增区间;
专题三 利用导数研究函数的极值、最大(小)值问题?
解:(1)f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a,
因为a>0,所以x1当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以当x=-1时,f(x)有极大值2,即3a+2b=3.
(2)当0所以f(a)为最小值,
规律方法(1)求函数y=f(x)的极值点时一般需确定f'(x)=0的根和函数y=f(x)的单调性,对于常见连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点.
(2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断,只需要直接与端点的函数值比较即可获得结论.
变式训练3设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.
(1)求f(x)的极值;
(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点?
解:(1)f'(x)=3x2-2x-1.令f'(x)=0,
则x=
-
或x=1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1,由此可知,x取足够大的正数时,有f(x)>0,
x取足够小的负数时,有f(x)<0,所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.
变式训练4已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3x+y=0平行.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[0,t](0解:(1)因为f'(x)=3x2+2ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f'(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3.
又函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2.
所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2.
(2)由f(x)=x3-3x2+2,
得f'(x)=3x2-6x.
由f'(x)=0,得x=0或x=2.
①当0②当2f(x)min=f(2)=-2,f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.
f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0,
所以f(x)max=f(0)=2.
专题四 生活中的优化问题?
例4某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱体,左右两端均为半球体,按照设计要求容器的体积为
立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元,半球体部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y千元.
(1)将y表示成r的函数,并求该函数的定义域;
(2)确定r和l为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用.
规律方法解决优化问题的步骤
(1)分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域.
(2)通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最值,提出优化方案,使问题得以解决.在这个过程中,导数是一个有力的工具.
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.
变式训练5某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距a
m,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x
m的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+
)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式;
(2)当a=640时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
当0当640,f(x)在区间(64,640)内为增函数,所以f(x)在x=64处取得最小值.
专题五 导数的综合应用?
角度1 利用导数研究方程的根(函数的零点)
例5设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.
(1)求f(x)的极值;(2)若方程f(x)=0只有一个实数根,求实数a的取值范围.
解:(1)由已知得f'
(x)=3x2-2x-1,令f'
(x)=0,得x=-
或x=1,当x变化时,f'
(x),f(x)变化情况如下表:
规律总结根据方程的根求参数的解题策略
方程f(x)=0的根,就是函数y=f(x)的零点,以及y=f(x)图象与x轴交点的横坐标.因此与方程的根(函数的零点)有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间与极值点,并结合特殊点,得到函数的大致图象,结合图象讨论它与x轴的位置关系,进而确定参数的取值范围.
变式训练6设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.
(1)求f(x)的极值点;
(2)若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根,求实数a的取值范围;
(3)已知当x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围.
(3)法一:f(x)≥k(x-1),
即(x-1)(x2+x-5)≥k(x-1),
因为x>1,所以k≤x2+x-5在(1,+∞)上恒成立,
令g(x)=x2+x-5,由二次函数的性质得g(x)在
(1,+∞)上是增函数,所以g(x)>g(1)=-3,
所以所求k的取值范围为(-∞,-3].
法二:直线y=k(x-1)过定点(1,0)且f(1)=0,
曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f'(1)=-3,
由(2)中草图知要使x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立需k≤-3.故实数k的取值范围为(-∞,-3].
角度2 利用导数研究不等式问题
例6已知f(x)=xln
x,g(x)=x3+ax2-x+2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若对任意x∈(0,+∞),2f(x)≤g'(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(1)可通过解不等式f'(x)>0和f'(x)<0得到单调区间;(2)先将不等式进行参数分离,把待求范围的参数a移至不等式的一边,再利用导数求另一边函数的最值,从而求得参数的取值范围.
解:(1)∵函数f(x)=xln
x的定义域为(0,+∞),
∴f'(x)=ln
x+1.
当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:
∴当x=1时,h(x)取得最大值,且h(x)max=h(1)=-2,
∴若a≥h(x)在x∈(0,+∞)上恒成立,则a≥h(x)max=-2,即a≥-2,故a的取值范围是[-2,+∞).
规律方法不等式恒成立问题的解法
有关不等式的恒成立问题,一般是转化为求函数的最值问题.求解时,要确定这个函数,看哪一个变量的范围已知,即函数应该是以已知范围的变量为自变量的函数,然后利用导数研究其最值,最后求得参数的取值范围.一般地,λ≥f(x)恒成立?λ≥f(x)max;λ≤f(x)恒成立?λ≤f(x)min.
变式训练7已知函数f(x)=x3-
x2+bx+c.
(1)若f(x)有极值,求b的取值范围;
(2)当f(x)在x=1处取得极值时,试证明对[-1,2]内的任意两个值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤
.第五章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设f(x)是可导函数,且=2,则f'(x0)=( )
A.2
B.-1
C.1
D.-2
解析
==f'(x0)=2.故选A.
答案A
2.(2020湖南高二期末)一质点做直线运动,经过t秒后的位移为s=t3-t2+4t,则速度为零的时刻是( )
A.1秒末
B.4秒末
C.1秒末或4秒末
D.0秒或4秒末
解析因为s=t3-t2+4t,所以s'=t2-5t+4,
令t2-5t+4=0,解得t=1或t=4,所以速度为零的时刻是1秒末或4秒末,故选C.
答案C
3.曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为( )
A.(1,0)
B.(2,8)
C.(1,0)和(-1,-4)
D.(2,8)和(-1,-4)
解析依题意令f'(x)=3x2+1=4,解得x=±1,f(1)=0,f(-1)=-4,故P0点的坐标为(1,0),(-1,-4),故选C.
答案C
4.函数f(x)=3x2+ln
x-2x的极值点的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.无数个
解析函数定义域为(0,+∞),且f'(x)=6x+-2=,∵x>0,g(x)=6x2-2x+1中Δ=-20<0,所以g(x)>0恒成立.故f'(x)>0恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.
答案A
5.函数f(x)=(x2+tx)ex(实数t为常数,且t<0)的图象大致是( )
解析由f(x)=0得x2+tx=0,得x=0或x=-t,即函数f(x)有两个零点,排除A,C;
函数的导数f'(x)=(2x+t)ex+(x2+tx)ex
=[x2+(t+2)x+t]ex,
当x→-∞时,f'(x)>0,即在x轴最左侧函数f(x)为增函数,排除D;故选B.
答案B
6.若函数f(x)=asin
x+cos
x在为增函数,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞)
B.(-∞,-]
C.[-,1]
D.(-∞,-]∪[1,+∞)
解析依题意,f'(x)=acosx-sinx≥0在区间上恒成立,即acosx≥sinx.
当x∈时,cosx>0,
故a≥=tanx,y=tanx在x∈-时为递增函数,
其最大值为tan=1,故a≥1.所以选A.
答案A
7.已知定义在R上的函数f(x)的导数为f'(x),若满足f(x)+xf'(x)>1,则下列结论:①f(-1)>0;②f(1)<0;③2f(-2)>f(-1);④2f(1)>f中,正确的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
解析令h(x)=xf(x)-x,
所以h'(x)=xf'(x)+f(x)-1,
因为函数f(x)满足f(x)+xf'(x)>1,
所以h'(x)>0,所以h(x)在R上是增函数,
因为h(-1)=-f(-1)+1所以f(-1)>1>0,故①正确.
因为h(1)=f(1)-1>h(0)=0,
所以f(1)>1,故②错误.
因为h(-2)=-2f(-2)+2f(-1)+1>f(-1),故③正确.
因为h(1)=f(1)-1>h=f-,
所以2f(1)>f+1>f,故④正确.故选B.
答案B
8.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)=1+x,且f(1)=2,不等式f(x)≥(a+1)x+1有解,则正实数a的取值范围是( )
A.(0,]
B.(0,)
C.
D.
解析因为f'(x)=1+,故f(x)=x+lnx+C,其中C为常数.
因f(1)=2,所以C=1,即f(x)=x+lnx+1.
不等式f(x)≥(a+1)x+1有解可化为
x+lnx+1≥(a+1)x+1,即≥a在(0,+∞)有解.
令g(x)=,则g'(x)=,
当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)在(0,e)上为增函数;
当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)在(e,+∞)上为减函数;
故g(x)max=g(e)=,所以0答案C
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.(2019山东高三月考)下列结论中不正确的是( )
A.若y=cos,则y'=-sin
B.若y=sin
x2,则y'=2xcos
x2
C.若y=cos
5x,则y'=-sin
5x
D.若y=xsin
2x,则y'=xsin
2x
解析对于A,y=cos,则y'=-sin,故错误;
对于B,y=sinx2,则y'=2xcosx2,故正确;
对于C,y=cos5x,则y'=-5sin5x,故错误;
对于D,y=xsin2x,则y'=sin2x+xcos2x,故错误.故选ACD.
答案ACD
10.(2020山东高三月考)设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则实数b可取的值可能是( )
A.0
B.
C.1
D.2
解析由题意,函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则g(x)=f(x)-b=0,
即f(x)=b有三个根,
当x≤0时,f(x)=ex(x+1),则f'(x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2),
由f'(x)<0得x+2<0,即x<-2,此时f(x)为减函数,
由f'(x)>0得x+2>0,即-2即当x=-2时,f(x)取得极小值f(-2)=-,作出f(x)的图象如图:
要使f(x)=b有三个根,则0故选BC.
答案BC
11.(2020海南高三月考)已知ln
x1-x1-y1+2=0,x2+2y2-4-2ln
2=0,记M=,则下列说法正确的是( )
A.M的最小值为
B.当M最小时,x2=
C.M的最小值为
D.当M最小时,x2=
解析由lnx1-x1-y1+2=0得y1=lnx1-x1+2,
的最小值可转化为函数y=lnx-x+2图象上的点到直线x+2y-4-2ln2=0上的点的距离的最小值的平方,
由y=lnx-x+2得y'=-1,
与直线x+2y-4-2ln2=0平行且与曲线y=lnx-x+2相切的直线的斜率为-,
则令-1=-,解得x=2.
∴切点坐标为(2,ln2).
∴(2,ln2)到直线x+2y-4-2ln2=0的距离d=,
即函数y=lnx-x+2上的点到直线x+2y-4-2ln2=0上的点的距离的最小值为,
∴的最小值为d2=.
过(2,ln2)与x+2y-4-2ln2=0垂直的直线为y-ln2=2(x-2),
即2x-y-4+ln2=0,
由解得x=,即当M最小时,x2=,故选BC.
答案BC
12.(2020湖南师大附中高二期末)若直线l与曲线C满足下列两个条件:①直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;②曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是( )
A.直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3
B.直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln
x
C.直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin
x
D.直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan
x
解析A项,因为y'=3x2,当x=0时,y'=0,
所以l:y=0是曲线C:y=x3在点P(0,0)处的切线.
当x<0时,y<0;当x>0时,y>0,
所以曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确;
B项,y'=,当x=1时,y'=1,在P(1,0)处的切线为l:y=x-1.
令h(x)=x-1-lnx,
则h'(x)=1-(x>0),
当x>1时,h'(x)>0;当0所以h(x)min=h(1)=0.故x-1≥lnx,
即当x>0时,曲线C全部位于直线l的下侧(除切点外),结论错误;
C项,y'=cosx,当x=0时,y'=1,在P(0,0)处的切线为l:y=x,
由正弦函数图象可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确;
D项,y'=,当x=0时,y'=1,在P(0,0)处的切线为l:y=x,
由正切函数图象可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.
故选ACD.
答案ACD
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.某产品的销售收入y1(万元)与产量x(千台)的函数关系是y1=17x2,生产成本y2(万元)与产量x(千台)的函数关系是y2=2x3-x2,已知x>0,为使利润最大,应生产 (千台).?
解析由题意,利润y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3(x>0).
y'=36x-6x2,
由y'=36x-6x2=6x(6-x)=0,得x=6(x>0),
当x∈(0,6)时,y'>0,当x∈(6,+∞)时,y'<0.
∴函数在(0,6)上为增函数,在(6,+∞)上为减函数.则当x=6(千台)时,y有最大值为144(万元).
故答案为6.
答案6
14.已知函数f(x)=x2+2ax-ln
x,若f(x)在区间上是增函数,则实数a的取值范围是 .?
解析∵f(x)在区间上是增函数,
∴f'(x)=x+2a-≥0在恒成立,
即2a≥-x+恒成立.
∵-x+上是减函数,
∴,
∴2a≥,∴a≥.
答案
15.已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1,当x∈[2,+∞),f(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是 .?
解析x∈[2,+∞),f(x)≥0,即x3+3ax2+3x+1≥0,即x+≥-3a.
令g(x)=x+,
则g'(x)=.
下面我们证g'(x)≥0在x∈[2,+∞)恒成立,
也即x3-3x-2≥0在x∈[2,+∞)上恒成立.
令h(x)=x3-3x-2,则h'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
易知h'(x)≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,
∴h(x)在x∈[2,+∞)内为增函数,
∴h(x)≥h(2)=0,也就是x3-3x-2≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,
∴g'(x)≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,g(x)在x∈[2,+∞)为增函数,
∴g(x)的最小值为g(2)=,
-3a≤g(2)=,解得a≥-.
答案
16.若函数f(x)=aln
x+bx2+3x的极值点为x1=1,x2=2,则a= ,b= .(本题第一空2分,第二空3分)?
解析f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x)=+2bx+3=.
因为函数f(x)的极值点为x1=1,x2=2,
所以x1=1,x2=2是方程f'(x)==0的两个根,即为方程2bx2+3x+a=0的两根.
所以由根与系数的关系知
解得
答案-2 -
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(2020陕西高二期末)求下列函数的导数.
(1)y=sin
x+x;(2)y=.
解(1)y'=(sinx)'+x'=cosx+1;
(2)y'=.
18.(本小题满分12分)(2020南昌新建一中高二期末)设函数f(x)=aln
x+x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
解(1)因为f(x)=alnx+x+1,故f'(x)=.由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-=0,解得a=-1.
(2)由(1)知f(x)=-lnx+x+1(x>0),f'(x)=-,令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-(因x2=-不在定义域内,舍去),当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函数;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上为增函数,故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3.
19.(本小题满分12分)已知k为实常数,函数f(x)=x3-3x2+k在[0,2]上的最大值等于1.
(1)求k的值;
(2)若函数g(x)在定义域R上连续且单调递增,g(0)=k,g(x)≥x+1,写出一个满足以上条件的函数g(x),并证明你的结论.
解(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),
因为0≤x≤2,f'(x)≤0,所以f(x)在[0,2]上单调递减;
所以当x∈[0,2]时,f(x)max=f(0)=k=1,
所以k=1.
(2)函数g(x)=ex满足条件,证明如下:
首先函数g(x)=ex满足在定义域R上连续且单调递增,且g(0)=1=k.
下面证明:g(x)≥x+1,令h(x)=g(x)-(x+1)=ex-x-1,则h'(x)=ex-1,
由h'(x)=0,得x=0,
当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0,h(x)在(-∞,0)上单调递减;
当x∈(0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)在(0,+∞)上单调递增;
所以h(x)≥h(0)=0,即g(x)-(x+1)≥0,所以g(x)≥x+1.
20.(本小题满分12分)(2020安徽高二期末)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12
000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
解(1)∵蓄水池的侧面的建造成本为200·πrh元,底面的建造成本为160πr2元,
∴蓄水池的总建造成本为200·πrh+160πr2元,
即200·πrh+160πr2=12000π,
∴h=(300-4r2),
∴V(r)=πr2h=πr2×(300-4r2)=(300r-4r3),
又由r>0,h>0可得0故函数V(r)的定义域为0,5.
(2)由(1)中V(r)=(300r-4r3),0可得V'(r)=(300-12r2)(0令V'(r)=(300-12r2)=0,则r=5,
∴当r∈(0,5)时,V'(r)>0,函数V(r)为增函数,
当r∈(5,5)时,V'(r)<0,函数V(r)为减函数,
所以当r=5,h=8时该蓄水池的体积最大.
21.(本小题满分12分)设函数f(x)=ln
x-.
(1)证明:当x>1时,f(x)>0;
(2)若关于x的不等式(1)证明∵f(x)=lnx-,
∴f'(x)=.
当x>1时,f'(x)>0.
∴f(x)在(1,+∞)内为增函数,
∴f(x)>f(1)=0,得证.
(2)解设h(x)=-a(x-1),x∈(1,+∞),
则h'(x)=-a=,
当a≥1时,1-ax2<0,lnx>0,
∴h'(x)<0,
∴h(x)在x∈(1,+∞)为减函数,
∴h(x)当a≤0时,在(1,+∞)内有h(e)=-a(e-1)>0,故不合题意;
当0∵lnx>1-对任意x∈(1,+∞)恒成立;
∴h(x)=-a(x-1)>-a(x-1)=-a(x-1)=(1-ax2),
∴当x∈时,h(x)≥0,故不合题意.
综上,a≥1.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-x2-kx-1,k∈R.
(1)若f(x)在R上是增函数,求实数k的取值范围;
(2)讨论函数f(x)的极值,并说明理由;
(3)若f(x)有两个极值点x1,x2,求证:函数f(x)有三个零点.
解(1)由f(x)=ex-x2-kx-1,得f'(x)=ex-x-k,
∵f(x)在R上是增函数,
∴f'(x)≥0在R上恒成立,
即k≤ex-x在R上恒成立,
设g(x)=ex-x,则g'(x)=ex-1,
当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,
即g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
∴g(x)min=g(0)=1,∴k≤1,
即k的取值范围为(-∞,1].
(2)由(1)知当k∈(-∞,1]时,f(x)在R上是增函数,此时f(x)无极值;
当k∈(1,+∞)时,令f'(x)=0,即g(x)=k,
∵x→-∞时,g(x)→+∞;g(0)=1;x→+∞时,g(x)→+∞,
∴g(x)=k有两个根,设两根为x1,x2且x1<0可知x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时,f'(x)>0;x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,
即f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增;在(x1,x2)上单调递减,
∴f(x)在x=x1处取得极大值f(x1);在x=x2处取得极小值f(x2).
综上所述:当k∈(-∞,1]时,f(x)无极值;当k∈(1,+∞)时,f(x)存在一个极大值和一个极小值.
(3)由(2)知,f(x)有两个极值点x1,x2,则k∈(1,+∞),且x1<0∴f'(x1)=-x1-k=0;f'(x2)=-x2-k=0,
又f(x1)=-kx1-1
=-(-x1)x1-1
=(1-x1)-1,
f(x2)=(1-x2)-1,
令h(x)=(1-x)ex+x2-1,
则h'(x)=x(1-ex),
则h'(x)≤0在R上恒成立,
即h(x)在R上单调递减,
又h(0)=0,∴x∈(-∞,0)时,h(x)>0;x∈(0,+∞)时,h(x)<0,
∵x1<0∴f(x1)=h(x1)>0,f(x2)=h(x2)<0,
当x→-∞时,f(x)→-∞;当x→+∞时,f(x)→+∞,
可得f(x)大致图象如下:
∴f(x)有三个零点.