华东师大版九年级上册第22章 一元二次方程单元培优试卷（Word版 含答案）

一元二次方程单元培优测试卷
姓名____________
时间:
90分钟
满分:120分
总分____________
注意事项:
试卷编号:202008051733
1.
请在试卷规定时间内作答.
2.
请注意答题规范,书写规范.
3.
请用0.5毫米黑色水笔把答案直接答在试卷上.
一、选择题（每小题3分,共30分）
1.
若,则关于的一元二次方程必有一根为
【
】
（A）0
（B）1
（C）
（D）2
2.
若关于的方程中不含常数项,则的值是
【
】
（A）1
（B）
（C）
（D）
3.
用配方法解方程,变形后的结果正确的是
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
4.
方程的两根是
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
5.
方程的根的情况是
【
】
（A）有两个相等的实数根
（B）有两个不相等的实数根
（C）有一个实数根
（D）无实数根
6.
对于任意实数,代数式的值是一个
【
】
（A）非负数
（B）正数
（C）负数
（D）整数
7.
若关于的一元二次方程有两个实数根,则实数的取值范围是
【
】
（A）≤1
（B）≤
（C）≤1且
（D）≥且
8.
一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程的一个根,则此三角形的周长是
【
】
（A）16
（B）12
（C）14
（D）12或16
9.
某商场销售一批运动休闲衫,平均每天可售出20件,每件盈利45元.为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件休闲衫每降价1元,商场平均每天可多售出4件.若商场销售该批休闲衫平均每天盈利2
100元,每件休闲衫应降价多少元?设每件休闲衫降价元,根据题意,可列方程为
【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
10.
定义:如果一元二次方程满足,那么我们称这个方程为“和谐”方程;如果一元二次方程满足,那么我们称这个方程为“美好”方程.如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程,则下列结论正确的是
【
】
（A）方程有两个相等的实数根
（B）方程有一根等于0
（C）方程两根之和等于0
（D）方程两根之积等于0
二、填空题（每小题3分,共15分）
11.
一元二次方程的解为_____________.
12.
若是关于的方程的一个根,则__________.
13.
已知等腰三角形的两边长恰好是关于方程的解,则此等腰三角形的周长是__________.
14.
代数式的最小值是__________.
15.
元旦晚会,全班同学互赠贺卡,若每两个同学都相互赠送一张贺卡,小明统计全班共送了1560张贺卡,那么全班有多少人?设全班有人,则根据题意可列方程为__________________.
三、解答题（共75分）
16.解方程:（每小题5分,共10分）
（1）;
（2）.
17.（9分）小明同学解一元二次方程的过程如下:
解:,①
,②
,③
,④
.⑤
（1）小明解方程的方法是【
】
（A）直接开平方法
（B）因式分解法
（C）配方法
（D）公式法
他的求解过程从第__________步开始出现错误;
（2）解这个方程.
18.（9分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证:对于任意实数,方程总有两个不相等的实数根;
（2）若方程的一个根是2,求的值及方程的另一个根.
19.（9分）有一个人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感.
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人;
（2）如果不及时控制,第三轮将又有多少人被感染?
20.（9分）（1）已知关于的方程.
问题1:
当__________时,此方程是一元二次方程;
问题2:
当时,方程的根的情况是【
】
（A）有两个不相等的实数根
（B）有两个相等的实数根
（C）无实数根
（D）无法确定
问题3:
当__________时,此方程有两个不相等的实数根;
问题4:
当__________时,此方程没有实数根;
（2）证明:对于任意实数,关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根.
21.（9分）某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润为120元,为了扩大销量,尽快减少库存,超市准备适当降价,据测算,若每箱降价2元,则每天可多售出4箱.
（1）如果要使每天销售该饮料获利14
000元,则每箱应降价多少元?
（2）每天销售该饮料获利能达到14
500元吗?若能,则每箱应降价多少?若不能,请说明理由.
22.（9分）已知关于的方程.
（1）试说明无论取何值时,方程总有两个不相等的实数根;
（2）如果方程有一个根为3,试求代数式的值.
23.（11分）材料:解形如的一元四次方程时,可以先求常数和的均值,然后设.再把原方程换元求解,用这种方法可以成功地消去含未知数的奇次项,使方程转化成易于求解的双二次方程,这种方法叫做“均值换元法”.
例:解方程:.
解:因为和的均值为,所以设,原方程可化为.整理得:,即,解之得或（舍去）,所以,即,所以或.
（1）用阅读材料中的方法解关于的方程时,先求两个常数的均值为__________,设__________,原方程转化为;
（2）用这种方法解方程:.
一元二次方程单元培优测试卷参考答案
一、选择题（每小题3分,共30分）
题号
1
2
3
4
5
答案
C
B
A
B
D
题号
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
C
二、填空题（每小题3分,共15分）
11.
12.
10
13.
15
14.
15.
三、解答题（共75分）
16.解方程:（每小题5分,共10分）
（1）;
解:
∴或
∴;
（2）.
解:
∴
∴.
17.（9分）小明同学解一元二次方程的过程如下:
解:,①
,②
,③
,④
.⑤
（1）小明解方程的方法是【
】
（A）直接开平方法
（B）因式分解法
（C）配方法
（D）公式法
他的求解过程从第__________步开始出现错误;
（2）解这个方程.
解:（1）C,②;
……………………………………………4分
（2）
∴或
∴.
……………………………………………9分
18.（9分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证:对于任意实数,方程总有两个不相等的实数根;
（2）若方程的一个根是2,求的值及方程的另一个根.
（1）证明:
整理得:
∴
∵≥0
∴,即
∴对于任意实数,方程总有两个不相等的实数根;
……………………………………………4分
（2）解:把代入原方程得:
解之得:.
……………………………………………6分
∴
整理得:
解之得:
∴方程的另一个根为5.
……………………………………………9分
19.（9分）有一个人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感.
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人;
（2）如果不及时控制,第三轮将又有多少人被感染?
解:（1）设每轮传染中平均一个人传染了人,由题意可列方程得:
整理得:
解之得:（舍去）
答:每轮传染中平均一个人传染了5个人;
……………………………………………6分
（2）（人）
答:第三轮将又有180人被感染.
……………………………………………9分
20.（9分）（1）已知关于的方程.
问题1:
当__________时,此方程是一元二次方程;
问题2:
当时,方程的根的情况是
【
】
（A）有两个不相等的实数根
（B）有两个相等的实数根
（C）无实数根
（D）无法确定
问题3:
当__________时,此方程有两个不相等的实数根;
问题4:
当__________时,此方程没有实数根;
（2）证明:对于任意实数,关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根.
解:（1）问题1:
;
……………………………………………1分
问题2:
【
B
】;
……………………………………………2分
提示:当时,原方程为:
∴方程有两个相等的实数根.
∴选择答案【
B
】.
问题3:
且;
……………………………………………4分
提示:∵此方程有两个不相等的实数根
∴
∴
解之得:
∵该方程为一元二次方程
∴,解之得:
∴且.
问题4:
;
……………………………………………6分
提示:显然,当,即时,方程有一个实数根为,不符合题意;
当时,原方程为一元二次方程
∵此方程没有实数根
∴
∴
解之得:
综上所述,当时,此方程没有实数根.
（2）证明:
∵≥0
∴,即
∴对于任意实数,方程总有两个不相等的实数根.
……………………………………………9分
21.（9分）某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润为120元,为了扩大销量,尽快减少库存,超市准备适当降价,据测算,若每箱降价2元,则每天可多售出4箱.
（1）如果要使每天销售该饮料获利14
000元,则每箱应降价多少元?
（2）每天销售该饮料获利能达到14
500元吗?若能,则每箱应降价多少?若不能,请说明理由.
解:（1）设每箱应降价元,由题意可列方程得:
整理得:
解之得:
……………………………………………3分
∵为了扩大销量,尽快减少库存
∴
答:每箱应降价50元;
……………………………………………5分
（2）由题意可得:
整理得:
∵
∴方程没有实数根.
答:该超市每天销售该饮料获利不能达到14500元.
……………………………………………9分
22.（9分）已知关于的方程.
（1）试说明无论取何值时,方程总有两个不相等的实数根;
（2）如果方程有一个根为3,试求代数式的值.
（1）证明:
∴无论取何值时,方程总有两个不相等的实数根;
……………………………………………4分
（2）解:把代入原方程得:
∴
……………………………………………6分
∴
.
……………………………………………9分
23.（11分）
解:（1）4
,
4
,
1
,
1
;
……………………………………………4分
（2）设
……………………………………………7分
则原方程化为:
……………………………………………8分
∴
展开并整理得:
解之得:或（舍去）
∴
∴或
解之得:
即原方程的解为.
…………………………………………11分
九年级上册数学
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