22.1.4 第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1．用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )
A．y＝(x－4)2＋7
B．y＝(x－4)2－25
C．y＝(x＋4)2＋7
D．y＝(x＋4)2－25
2．已知函数y＝－x2＋bx＋c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是( )
3．如图，李明同学说：“图①可能是函数y＝－x2＋4x的图象；图②可能是函数y＝(x－2)2－1的图象；图③可能是函数y＝－3x2－4x＋1的图象；图④可能是函数y＝x2－
4x＋1的图象．”你认为其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(－1，1)，(2，－1)两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是( )
A．当x＝0时，y的值大于1
B．当x＝3时，y的值小于0
C．当x＝1时，y的值大于1
D．y的最大值小于0
5．如图所示的三条抛物线形状相同，关于这三条抛物线的叙述错误的是( )
A．三条抛物线的函数解析式中二次项的系数不一定相同
B．三条抛物线顶点的横坐标相同
C．当x＞1时，三条抛物线各自的y值都随x值的增大而增大
D．三条抛物线与直线y＝－2都无交点
6．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图6所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是( )
图6
A．y1
B．y2
C．y3
D．y4
7．若点M(－2，y1)，N(－1，y2)，P(8，y3)都在抛物线y＝－x2＋2x上，则下列结论正确的是( )
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2
D．y1＜y3＜y2
8．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是( )
A．m＝－1
B．m＝3
C．m≤－1
D．m≥－1
9
如图7，二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，且经过第三象限内的点P.若点P的横坐标为－1，则一次函数y＝(a－b)x＋b的图象大致是( )
图7
图8
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c与一次函数y＝ax＋c在同一直角坐标系内的大致图象是( )
图9
11二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.有下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m为任意实数)．其中结论正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b－a＞c；③4a＋2b＋c＞0；④3a＞－c；⑤a＋b＞m(am＋b)(m为不等于1的实数)．
其中正确的结论有( )
A．①②③
B．②③⑤
C．②③④
D．③④⑤
13．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
8
3
0
－1
0
3
…
利用二次函数的性质，可知该二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴是直线________．
14．已知函数y＝x2＋x－.请用配方法求这个函数图象的对称轴和顶点坐标．
15．已知直线y＝ax＋b过抛物线y＝－x2－2x＋3的顶点P，如图所示．
(1)顶点P的坐标是____________；
(2)若直线y＝ax＋b经过另一点A(0，11)，求出该直线的函数解析式；
(3)在(2)的条件下，若有一直线y＝mx＋n与直线y＝ax＋b关于x轴成轴对称，求直线y＝mx＋n与抛物线y＝－x2－2x＋3的交点坐标．
答案
1．B
2．D
3．B
4．B ．
5．A
6．A
7．C
8．D
9．D ．
10．D
11．C
12．B
13．x＝1
14．解：y＝x2＋x－
＝(x2＋2x＋1)－－
＝(x＋1)2－3，
所以函数图象的对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－3)．
15．解：(1)方法一：∵a＝－1，b＝－2，c＝3，
∴－＝－＝－1，＝＝＝4，
∴顶点P的坐标为(－1，4)．
方法二：∵y＝－x2－2x＋3＝－(x2＋2x－3)＝－[(x2＋2x＋1)－3－1]＝－[(x＋1)2－4]＝－(x＋1)2＋4，
∴顶点P的坐标为(－1，4)．
故答案为(－1，4)．
(2)∵直线y＝ax＋b经过点P(－1，4)和A(0，11)，∴解得
∴该直线的函数解析式为y＝7x＋11.
(3)∵直线y＝7x＋11与x轴，y轴的交点坐标分别为(－，0)，(0，11)，
∴与直线y＝ax＋b关于x轴成轴对称的直线y＝mx＋n与x轴，y轴的交点坐标分别为(－，0)，(0，－11)，
∴解得
∴直线y＝mx＋n的函数解析式为y＝－7x－11.
联立
解得
∴直线y＝－7x－11与抛物线y＝－x2－2x＋3的交点坐标为(7，－60)，(－2，3)．22.1.4 第2课时 用待定系数法确定二次函数的解析式
1．若抛物线经过(0，1)，(－1，0)，(1，0)三点，则此抛物线的解析式为( )
A．y＝x2＋1
B．y＝x2－1
C．y＝－x2＋1
D．y＝－x2－1
2．一个二次函数的图象的顶点坐标是(2，4)，且过点(0，－4)，则这个二次函数的解析式为( )
A．y＝－2(x＋2)2＋4
B．y＝－2(x－2)2＋4
C．y＝2(x＋2)2－4
D．y＝2(x－2)2＋4
3．
已知一条抛物线经过E(0，10)，F(2，2)，G(4，2)，H(3，1)四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为( )
A．E，F
B．E，G
C．E，H
D．F，G
4．若抛物线经过点A(2，0)和B(－1，0)，且与y轴交于点C.若OC＝2，则这条抛物线的解析式是( )
A．y＝x2－x－2
B．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2
C．y＝－x2＋x＋2
D．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2
5．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点与抛物线y＝2x2－4x－1的顶点重合，且与y轴的交点坐标为(0，1)，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式是( )
A．y＝4x2－8x－7
B．y＝4x2－8x＋1
C．y＝2x2－4x＋1
D．y＝－2x2－4x＋1
6．设抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为________________．
7．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(3，0)和(0，2)，当x＝2时，y的值为________．
8．将抛物线y＝2x2－12x＋16沿着直线x＝－1对折后所得抛物线的顶点式为________________________________________________________________________．
9．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
－2
－2
0
4
…
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当y≥4时，求自变量x的取值范围．
10．如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(1，0)，C(0，－3)．
(1)求此二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；
(2)设P是该抛物线上的动点，当△ABP的面积等于△ABC面积的时，求出点P的坐标．
11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，5)，且与y轴交于点C(0，1)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若－1≤x≤3，试求y的取值范围；
(3)若M(n2－4n＋6，y1)和N(－n2＋n＋，y2)是抛物线上不重合的两点，试判断y1与y2的大小．
12．已知抛物线的顶点为P(3，－2)，且在x轴上截得的线段AB＝4.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点Q在抛物线上，且△QAB的面积为12，求点Q的坐标．
13．
如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3
，0)和点B(0，3)，且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AB，AC，BC，求△ABC的面积．
14．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(2，0)，C(0，2)三点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)P是第一象限内抛物线上的一个动点，若点P使四边形ABPC的面积最大，求点P的坐标．
方法点拨(14题)
以抛物线为背景求多边形面积的最值问题，通常是建立面积关于多边形中某一特殊点(动点)的横坐标的函数解析式，再根据自变量的取值范围确定函数的最值，即面积的最值.
答案
1．C 2．B 3．C
4．D
5．B
6．y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2
7．2
8．y＝2(x＋5)2－2
9．解：(1)根据表格可知，点(－1，－2)，(0，－2)，(1，0)在二次函数图象上，所以
解得
所以该二次函数的解析式是y＝x2＋x－2.
(2)当y＝4时，x2＋x－2＝4，
解得x1＝－3，x2＝2，
所以当y≥4时，自变量x的取值范围是x≤－3或x≥2.
10．解：(1)根据题意，得
解得
∴此二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3.
∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴二次函数图象的顶点坐标为(－1，－4)．
(2)当y＝0时，x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，则B(－3，0)，A(1，0)，∴AB＝4.
当x＝0时，y＝－3，∴C(0，－3)，∴OC＝3，∴△ABC的面积＝×4×3＝6.
∵△ABP的面积等于△ABC面积的，
∴△ABP的面积＝×6＝10，
∴×4×|yP|＝10，
∴|yP|＝5，
∴yP＝±5.
当yP＝5时，解方程x2＋2x－3＝5，得x1＝－4，x2＝2，此时点P的坐标为(－4，5)或(2，5)；
当yP＝－5时，方程x2＋2x－3＝－5没有实数根．
综上，点P的坐标为(－4，5)或(2，5)．
11．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，5)，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋5.
把(0，1)代入，得a(0－2)2＋5＝1，解得a＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋5＝－x2＋4x＋1.
(2)画抛物线y＝－x2＋4x＋1如图①，
当x＝－1时，y＝－4；当x＝3时，y＝4.
由图象，得若－1≤x≤3，y的取值范围是－4≤y≤5.
(3)当x＝n2－4n＋6时，y1＝－(n2－4n＋6－2)2＋5，即y1＝－(n－2)4＋5，
当x＝－n2＋n＋时，y2＝－(－n2＋n＋－2)2＋5，即y2＝－(n－)4＋5，
∴要比较y1与y2的大小，只需要知道(n－2)4与(n－)4的大小，进而只需比较(n－2)2与(n－)2的大小，建立函数模型．设y1′＝(n－2)2，y2′＝(n－)2，当y1′＝y2′时，(n－2)2＝(n－)2，解得n＝，画函数图象如图②所示，由图象，得当n＞时，(n－2)2＜(n－)2，即y1′＜y2′，∴y1＞y2；同理得当n＜时，(n－2)2＞(n－)2，即y1′>y2′，
∴y1＜y2；当n＝时，n2－4n＋6≠－n2＋n＋，(n－2)2＝(n－)2，即y1′＝y2′，∴y1＝y2.
12．解：(1)∵抛物线的顶点为P(3，－2)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
而抛物线在x轴上截得的线段AB＝4，
∴抛物线与x轴两交点的坐标为(1，0)，(5，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)．
把P(3，－2)代入，得a·(3－1)(3－5)＝－2，
解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝(x－1)(x－5)＝x2－3x＋.
(2)设Q(x，y)．
∵△QAB的面积为12，
∴·4·|y|＝12，解得y＝6或y＝－6.
当y＝6时，x2－3x＋＝6，解得x1＝－1，x2＝7；
当y＝－6时，x2－3x＋＝－6，无实数解．
∴点Q的坐标为(－1，6)或(7，6)．
13．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3
，0)和点B(0，3)，
∴
解得∴y＝－x2＋x＋3.
(2)连接OC.∵y＝－x2＋x＋3＝－(x－)2＋4，∴C(，4)．
∵A(3
，0)，B(0，3)，
∴OA＝3
，OB＝3，
∴S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC＝×3
×4＋×3×＝
.
又∵S四边形OACB＝S△ABC＋S△AOB＝S△ABC＋×3
×3，
∴S△ABC＝3
.
14．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(2，0)，C(0，2)三点，
∴解得
∴这条抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.
(2)如图，连接PO，过点P分别作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N.
设点P的坐标为(m，n)，
则n＝－m2＋m＋2.
∵P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜2，n＞0.
由题意得PM＝m，PN＝n.
∵S△AOC＝OA·OC＝×1×2＝1，S△POC＝OC·PM＝×2×m＝m，S△POB＝OB·PN＝×2×n＝n，
∴S四边形ABPC＝1＋m＋n＝1＋m－m2＋m＋2＝－m2＋2m＋3.∵二次项系数－1＜0，
∴当m＝－＝1时，四边形ABPC的面积取得最大值，
此时，n＝－1＋1＋2＝2，
∴当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为(1，2)．
