人教版 七年级数学上册讲义：4.3 角的概念与大小比较 （含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版 七年级数学上册讲义：4.3 角的概念与大小比较 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-13 07:09:42 | ||
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文档简介
69532585725
第12讲 角的概念与大小比较
0329565
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初一，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习角的概念与大小比较，掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；能借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.
0137160
知识梳理
讲解用时：15分钟
381033020角的定义及其表示方法
角的定义及其表示方法
-57151905(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．
(2)角的表示方法：
有四种表示角的方法：
①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注；
②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；
③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；
④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间．
角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．
(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．
(2)角的表示方法：
有四种表示角的方法：
①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注；
②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；
③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；
④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间．
角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．
3810143510角的度量与换算
角的度量与换算
133351187451.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
2.角度的换算：
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.
角度的换算
(1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；
(2)角的度数的换算有两种方法：
①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，
1′＝60″；
②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝′，1′＝°，用除法．
注意：度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．
1.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
2.角度的换算：
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.
角度的换算
(1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；
(2)角的度数的换算有两种方法：
①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，
1′＝60″；
②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝′，1′＝°，用除法．
注意：度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．
-1104902520951.角的比较：
（1）度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小．
（2）叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．
技巧 角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．
1.角的比较：
（1）度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小．
（2）叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．
技巧 角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．
-34290116205角的比较与运算
角的比较与运算
-1962151225552.角的和差：
角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．
①几何意义：如图所示，∠AOB与∠BOC的和是∠AOC，表示为∠AOB＋∠BOC＝∠AOC；∠AOC与∠BOC的差为∠AOB，表示为∠AOC－∠BOC＝∠AOB.
②代数意义：如已知∠A＝23°17′，∠B＝40°50′，∠A＋∠B就可以像代数加减法一样计算，即∠A＋∠B＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B－∠A＝40°50′－23°17′＝17°33′.
3.角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC是∠AOB的平分线，则有∠1＝∠2＝∠AOB或∠AOB＝2∠1＝2∠2.
角的平分线的理解 角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：
①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；
②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．
2.角的和差：
角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．
①几何意义：如图所示，∠AOB与∠BOC的和是∠AOC，表示为∠AOB＋∠BOC＝∠AOC；∠AOC与∠BOC的差为∠AOB，表示为∠AOC－∠BOC＝∠AOB.
②代数意义：如已知∠A＝23°17′，∠B＝40°50′，∠A＋∠B就可以像代数加减法一样计算，即∠A＋∠B＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B－∠A＝40°50′－23°17′＝17°33′.
3.角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC是∠AOB的平分线，则有∠1＝∠2＝∠AOB或∠AOB＝2∠1＝2∠2.
角的平分线的理解 角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：
①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；
②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．
-8572547625 课堂精讲精练
【例题1】
（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有 个不同的角；
（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有 个不同的角；
（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有 个不同的角；
【答案】（1）3；（2）6；（3）10．
【解析】
解：（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，
故答案为：3．
（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，
故答案为：6．
（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，
故答案为：10．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据角的概念，结合图形，即可数出角的个数．
教学建议：考查了角的有关概念的应用
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习1.1】
如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
【答案】D．
【解析】
解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项错误；
B、∠β表示的是∠BOC，正确，故本选项错误；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选项错误；
D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项正确；
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
教学建议：本题考查了对角的表示方法的应用，主要检查学生能否正确表示角．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题2】
(1)将70.23°用度、分、秒表示；
(2)将26°48′36″用度表示．
【答案】（1）70°13′48″；(2)26.81°.
【解析】
解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.
所以70.23°＝70°13′48″.
(2)把36″化成分，36″＝false×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝false×48.6＝0.81°.
所以26°48′36″＝26.81°.
讲解用时：6分钟
解题思路：：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．
(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用false乘以36.
教学建议：要求学生熟练掌握度、分、秒的换算
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习2.1】
若∠A=20°18′，∠B=20°15′30〞，∠C=20.25°，则（ ）
∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C
C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B
【答案】A．
【解析】
解：∵∠A=20°18′，∠B=20°15′30〞，∠C=20.25°=20°15′，
∴∠A＞∠B＞∠C．故选A．
讲解用时：5分钟
解题思路：∠A、∠B已经是度、分、秒的形式，只要将∠C化为度、分、秒的形式，即可比较大小．
教学建议：两个角比较大小．在比较时要注意统一单位后再比较．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习2.2】
3.76°= 度 分 秒；22°32′24″= 度．
【答案】3、45、36、22.54．
【解析】
解：3.76°=3度45分36秒；22°32′24″=22.54度．故填3、45、36、22.54．
讲解用时：5分钟
解题思路：此类题是进行度、分、秒的转化运算，相对比较简单，注意以60为进制．
教学建议：进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题3】
计算：18°13′×5﹣49°28′52″÷4
【答案】78°42′47′′
【解析】
解：原式=90°65′﹣48°88′52′′÷4
=90°65′﹣12°22′13′′
=78°42′47′′
讲解用时：6分钟
解题思路：根据度分秒的除法，从大的单位算起，余数乘以进率化成小的单位再除，可得答案．
教学建议：要求学生熟练掌握度、分、秒的换算
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习3.1】
计算：77°53′26″+33.3°= ．
【答案】111°11′26″．
【解析】
解：77°53′26″+33.3°=77°53′26″+33°18′=110°71′26″=111°11′26″．
故答案为：111°11′26″．
讲解用时：5分钟
解题思路：先将33.3°转化为33°18′，然后度与度、分与分、秒和秒对应相加，秒的结果满60转化为分，分的结果满60转化为度．
教学建议：度分秒的换算，注意以60为进制
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题4】
如图，数一数以O为顶点且小于180°的角一共有多少个？你能得到解这类问题的一般方法吗？
【答案】28个；一般方法为：（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=．
【解析】
解：7+6+5+4+3+2+1==28，
一般地如果MOG小于180，且图中一共有n条射线，
则小于180°的角一共有：（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=．
讲解用时：5分钟
解题思路：先根据题意算出以O为顶点且小于180°的角一共有7+6+5+4+3+2+1=28个，然后根据第一问的解法得出一般方法为：（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=．
教学建议：考查角的大小比较，结合图找出符合条件的角，从而推出解这类问题的一般方法．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习4.1】
如图所示，其中最大的角是 ，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是 ．
【答案】∠AOD，∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．
【解析】
解：由图可知，最大的角是∠AOD；∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．
故答案为：∠AOD，∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据图形，结合角的概念与大小比较的方法：度量法和覆盖法，即可得出结论．
教学建议：熟悉角的大小比较的两种方法：度量法和覆盖法．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题5】
如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD=∠EOC
C．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD
【答案】C．
【解析】
解：A、∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠DOE=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=60°．
故本选项叙述错误；
B、∵OD是∠AOC的角平分线，
∴∠AOD=∠AOC．
又∵OC是∠AOB内部任意一条射线，
∴∠AOC=∠EOC不一定成立．
故本选项叙述错误；
C、∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠BOE+∠AOD=∠EOC+∠DOC=∠DOE=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=60°．
故本选项叙述正确；
D、∵OC是∠AOB内部任意一条射线，
∴∠BOE=∠AOC不一定成立，
∴∠BOE=2∠COD不一定成立．
故本选项叙述错误；
故选：C．
讲解用时：5分钟
解题思路：本题是对角的平分线的性质的考查，角平分线将角分成相等的两部分．结合选项得出正确结论．
教学建议：根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习5.1】
如图，下列条件中不能确定的是OC是∠AOB的平分线的是
①．∠AOC=∠BOC ②．∠AOB=2∠AOC
③．∠AOC+∠BOC=∠AOB ④．
【答案】①②④．
【解析】
解：①、∠AOC=∠BOC能确定OC平分∠AOB，正确；
②、∠AOB=2∠AOC能确定OC平分∠AOB，正确；
③、∠AOC+∠COB=∠AOB不能确定OC平分∠AOB，错误；
④、∠BOC=∠AOB，能确定OC平分∠AOB，错误．
故正确答案为：①②④．
讲解用时：8分钟
解题思路：直接利用角平分线的性质分别分析得出答案．
教学建议: 正确把握角平分线的定义是解题关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题6】
已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，求∠MON的大小
【答案】20°或40°．
37522152599690【解析】
解：∠BOC在∠AOB内部
∵∠AOB=60°，其角平分线为OM
∴∠MOB=30°
∵∠BOC=20°，其角平分线为ON
∴∠BON=10°
∴∠MON=∠MOB﹣∠BON=30°﹣10°=20°；
∠BOC在∠AOB外部
∵∠AOB=60°，其角平分线为OM
∴∠MOB=30°
∵∠BOC=20°，其角平分线为ON
∴∠BON=10°
∴∠MON=∠MOB+∠BON=30°+10°=40°．
讲解用时：10分钟
解题思路：根据题意，画出图形，分两种情况讨论：∠BOC在∠AOB内部和外部．
教学建议：考查平分线的性质，注意引导学生分类讨论
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习6.1】
已知∠AOB=70°，∠BOC=20°，OE为∠AOB的平分线，OF为∠BOC的平分线，则∠EOF= ．
【答案】25°或45°．
【解析】
解：（1）当点C在∠AOB的内部时，∠EOF=∠AOB﹣∠BOC=35°﹣10°=25°；
（2）当点C在∠AOB的外部时，∠EOF=∠AOB+∠BOC=35°+10°=45°．
故答案为25°或45°．
讲解用时：5分钟
解题思路：此题分点C在∠AOB的内部和外部两种情况讨论．
教学建议：查角平分线的定义，重点是分类讨论．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题7】
如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数．
【答案】28°．
【解析】
解：设∠AOB=x，∠BOC=2x．则∠AOC=3x．
又OD平分∠AOC，
∴∠AOD=x．
∴∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=x﹣x=14°
∴x=28°
即∠AOB=28°．
讲解用时：5分钟
解题思路：此题可以设∠AOB=x，∠BOC=2x，再进一步表示∠AOC=3x，根据角平分线的概念表示∠AOD，最后根据已知角的度数列方程即可计算．
教学建议：考查角平分线的定义．此类题设恰当的未知数，根据已知条件进一步表示出相关的角，列方程计算．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习7.1】
如图，已知O是直线AB上一点，∠1=20°，OD平分∠BOC，则∠2的度数
是 度．
【答案】80
【解析】
解：如图，∵∠1=20°，∠1+∠BOC=180°，
∴∠BOC=160°．
又∵OD平分∠BOC，
∴∠2=∠BOC=80°；
故填：80．
讲解用时：6分钟
解题思路：首先根据平角角的定义得到∠BOC=160°；然后由角平分线的定义求得∠2=∠BOC．
教学建议：注意此题中隐含着已知条件：∠1+∠BOC=180°．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题8】
如图所示，∠AOB：∠BOC：∠COD=4：5：3，OM平分∠AOD，∠BOM=20°，求∠AOD和∠MOC．
【答案】∠AOD=120°，∠MOC=30°．
【解析】
解：设∠AOB=4x，∠BOC=5x，∠COD=3x，
∴∠AOD=12x，
∵OM平分∠AOD，
∴∠AOM=∠AOD=6x，
由题意得，6x﹣4x=20°，
解得，x=10°，
∴∠AOD=12x=120°，∠BOC=5x=50°，
∴∠MOC=∠BOC﹣∠BOM=30°．
讲解用时：8分钟
解题思路：设∠AOB=4x，∠BOC=5x，∠COD=3x，得到∠AOD=12x，根据角平分线的定义得到∠AOM=∠AOD=6x，根据题意列出方程，解方程即可．
教学建议：掌握设未知数求解角度的方法，可类比应用题的求解方式.
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习8.1】
如图，已知OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOE=140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，那么∠AOB是多少度？
【答案】50度
【解析】
解：设∠COD的度数为x，
∵OD是∠COE的平分线，
∴∠EOC=2∠COD=2x，
∵∠BOC比∠COD的2倍还多10°，
∴∠BOC=2x+10°，
∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOB=∠BOC，∠AOC=2∠BOC=4x+20°，
∵∠AOE=140°，
∴2x+4x+20°=140°，解得x=20°，
∴∠BOC=2x+10°=50°
∴∠AOB是50度．
讲解用时：8分钟
解题思路：设∠COD的度数为x，则∠BOC=2x+10°，利用角平分线定义得到∠EOC=2∠COD=2x，∠BOC=2x+10°，再利用OB是∠AOC的平分线得到∠AOB=∠BOC，∠AOC=2∠BOC=4x+20°，所以2x+4x+20°=140°，解得x=20°，然后计算2x+10°即可．
教学建议:理解角平分线的定义：灵活应用角平分线的定义进行角度的计算．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
0201930
课后作业
【作业1】
如图，点D在∠AOB的内部，点E在∠AOB的外部，点F在射线OA上，试比较下列各角的大小．
（1）∠AOB ∠BOD；
（2）∠AOE ∠AOB；
（3）∠BOD ∠FOB；
（4）∠AOB ∠FOB；
（5）∠DOE ∠BOD．
【答案】（1）＞；（2）＞；（3）＜；（4）=；（5）＞．
【解析】
解：（1）∠AOB＞∠BOD；
（2）∠AOE＞∠AOB；
（3）∠BOD＜∠FOB；
（4）∠AOB=∠FOB；
（5）∠DOE＞∠BOD．
讲解用时：2分钟
难度： 2 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业2】
如图，已知false，false，false______．
59563028575A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
【答案】56°．
【解析】
解：由题可知：false．
讲解用时：3分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业3】
如图所示，已知点O在直线AB上，∠AOE：∠EOD=1：3，OC是∠BOD的平分线，∠EOC=115°，求∠AOE和∠BOC．
【答案】∠AOE=25°，∠BOC=40°．
【解析】
解：∵∠AOE：∠EOD=1：3，
∴设∠AOE=x，则∠EOD=3x，
又∵∠EOC=115°，
∴∠COD=115°﹣3x，
∵OC是∠BOD的平分线，
∴∠COB=∠COD=115°﹣3x，
又∵点O在直线AB上，
∴∠AOE+∠EOD+∠COD+∠COB=180°，
∴x+3x+2（115﹣3x）=180°，
解得，x=25°，
∴∠AOE=25°，
∴∠BOC=115°﹣3×25°=40°．
讲解用时：8分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
第12讲 角的概念与大小比较
0329565
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初一，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习角的概念与大小比较，掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；能借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.
0137160
知识梳理
讲解用时：15分钟
381033020角的定义及其表示方法
角的定义及其表示方法
-57151905(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．
(2)角的表示方法：
有四种表示角的方法：
①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注；
②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；
③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；
④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间．
角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．
(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．
(2)角的表示方法：
有四种表示角的方法：
①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注；
②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；
③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；
④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间．
角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．
3810143510角的度量与换算
角的度量与换算
133351187451.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
2.角度的换算：
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.
角度的换算
(1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；
(2)角的度数的换算有两种方法：
①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，
1′＝60″；
②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝′，1′＝°，用除法．
注意：度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．
1.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
2.角度的换算：
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.
角度的换算
(1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；
(2)角的度数的换算有两种方法：
①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，
1′＝60″；
②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝′，1′＝°，用除法．
注意：度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．
-1104902520951.角的比较：
（1）度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小．
（2）叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．
技巧 角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．
1.角的比较：
（1）度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小．
（2）叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．
技巧 角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．
-34290116205角的比较与运算
角的比较与运算
-1962151225552.角的和差：
角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．
①几何意义：如图所示，∠AOB与∠BOC的和是∠AOC，表示为∠AOB＋∠BOC＝∠AOC；∠AOC与∠BOC的差为∠AOB，表示为∠AOC－∠BOC＝∠AOB.
②代数意义：如已知∠A＝23°17′，∠B＝40°50′，∠A＋∠B就可以像代数加减法一样计算，即∠A＋∠B＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B－∠A＝40°50′－23°17′＝17°33′.
3.角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC是∠AOB的平分线，则有∠1＝∠2＝∠AOB或∠AOB＝2∠1＝2∠2.
角的平分线的理解 角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：
①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；
②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．
2.角的和差：
角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．
①几何意义：如图所示，∠AOB与∠BOC的和是∠AOC，表示为∠AOB＋∠BOC＝∠AOC；∠AOC与∠BOC的差为∠AOB，表示为∠AOC－∠BOC＝∠AOB.
②代数意义：如已知∠A＝23°17′，∠B＝40°50′，∠A＋∠B就可以像代数加减法一样计算，即∠A＋∠B＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B－∠A＝40°50′－23°17′＝17°33′.
3.角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC是∠AOB的平分线，则有∠1＝∠2＝∠AOB或∠AOB＝2∠1＝2∠2.
角的平分线的理解 角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：
①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；
②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．
-8572547625 课堂精讲精练
【例题1】
（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有 个不同的角；
（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有 个不同的角；
（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有 个不同的角；
【答案】（1）3；（2）6；（3）10．
【解析】
解：（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，
故答案为：3．
（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，
故答案为：6．
（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，
故答案为：10．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据角的概念，结合图形，即可数出角的个数．
教学建议：考查了角的有关概念的应用
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习1.1】
如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
【答案】D．
【解析】
解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项错误；
B、∠β表示的是∠BOC，正确，故本选项错误；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选项错误；
D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项正确；
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
教学建议：本题考查了对角的表示方法的应用，主要检查学生能否正确表示角．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题2】
(1)将70.23°用度、分、秒表示；
(2)将26°48′36″用度表示．
【答案】（1）70°13′48″；(2)26.81°.
【解析】
解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.
所以70.23°＝70°13′48″.
(2)把36″化成分，36″＝false×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝false×48.6＝0.81°.
所以26°48′36″＝26.81°.
讲解用时：6分钟
解题思路：：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．
(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用false乘以36.
教学建议：要求学生熟练掌握度、分、秒的换算
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习2.1】
若∠A=20°18′，∠B=20°15′30〞，∠C=20.25°，则（ ）
∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C
C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B
【答案】A．
【解析】
解：∵∠A=20°18′，∠B=20°15′30〞，∠C=20.25°=20°15′，
∴∠A＞∠B＞∠C．故选A．
讲解用时：5分钟
解题思路：∠A、∠B已经是度、分、秒的形式，只要将∠C化为度、分、秒的形式，即可比较大小．
教学建议：两个角比较大小．在比较时要注意统一单位后再比较．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习2.2】
3.76°= 度 分 秒；22°32′24″= 度．
【答案】3、45、36、22.54．
【解析】
解：3.76°=3度45分36秒；22°32′24″=22.54度．故填3、45、36、22.54．
讲解用时：5分钟
解题思路：此类题是进行度、分、秒的转化运算，相对比较简单，注意以60为进制．
教学建议：进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题3】
计算：18°13′×5﹣49°28′52″÷4
【答案】78°42′47′′
【解析】
解：原式=90°65′﹣48°88′52′′÷4
=90°65′﹣12°22′13′′
=78°42′47′′
讲解用时：6分钟
解题思路：根据度分秒的除法，从大的单位算起，余数乘以进率化成小的单位再除，可得答案．
教学建议：要求学生熟练掌握度、分、秒的换算
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习3.1】
计算：77°53′26″+33.3°= ．
【答案】111°11′26″．
【解析】
解：77°53′26″+33.3°=77°53′26″+33°18′=110°71′26″=111°11′26″．
故答案为：111°11′26″．
讲解用时：5分钟
解题思路：先将33.3°转化为33°18′，然后度与度、分与分、秒和秒对应相加，秒的结果满60转化为分，分的结果满60转化为度．
教学建议：度分秒的换算，注意以60为进制
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题4】
如图，数一数以O为顶点且小于180°的角一共有多少个？你能得到解这类问题的一般方法吗？
【答案】28个；一般方法为：（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=．
【解析】
解：7+6+5+4+3+2+1==28，
一般地如果MOG小于180，且图中一共有n条射线，
则小于180°的角一共有：（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=．
讲解用时：5分钟
解题思路：先根据题意算出以O为顶点且小于180°的角一共有7+6+5+4+3+2+1=28个，然后根据第一问的解法得出一般方法为：（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=．
教学建议：考查角的大小比较，结合图找出符合条件的角，从而推出解这类问题的一般方法．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习4.1】
如图所示，其中最大的角是 ，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是 ．
【答案】∠AOD，∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．
【解析】
解：由图可知，最大的角是∠AOD；∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．
故答案为：∠AOD，∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据图形，结合角的概念与大小比较的方法：度量法和覆盖法，即可得出结论．
教学建议：熟悉角的大小比较的两种方法：度量法和覆盖法．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题5】
如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD=∠EOC
C．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD
【答案】C．
【解析】
解：A、∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠DOE=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=60°．
故本选项叙述错误；
B、∵OD是∠AOC的角平分线，
∴∠AOD=∠AOC．
又∵OC是∠AOB内部任意一条射线，
∴∠AOC=∠EOC不一定成立．
故本选项叙述错误；
C、∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠BOE+∠AOD=∠EOC+∠DOC=∠DOE=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=60°．
故本选项叙述正确；
D、∵OC是∠AOB内部任意一条射线，
∴∠BOE=∠AOC不一定成立，
∴∠BOE=2∠COD不一定成立．
故本选项叙述错误；
故选：C．
讲解用时：5分钟
解题思路：本题是对角的平分线的性质的考查，角平分线将角分成相等的两部分．结合选项得出正确结论．
教学建议：根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习5.1】
如图，下列条件中不能确定的是OC是∠AOB的平分线的是
①．∠AOC=∠BOC ②．∠AOB=2∠AOC
③．∠AOC+∠BOC=∠AOB ④．
【答案】①②④．
【解析】
解：①、∠AOC=∠BOC能确定OC平分∠AOB，正确；
②、∠AOB=2∠AOC能确定OC平分∠AOB，正确；
③、∠AOC+∠COB=∠AOB不能确定OC平分∠AOB，错误；
④、∠BOC=∠AOB，能确定OC平分∠AOB，错误．
故正确答案为：①②④．
讲解用时：8分钟
解题思路：直接利用角平分线的性质分别分析得出答案．
教学建议: 正确把握角平分线的定义是解题关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题6】
已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，求∠MON的大小
【答案】20°或40°．
37522152599690【解析】
解：∠BOC在∠AOB内部
∵∠AOB=60°，其角平分线为OM
∴∠MOB=30°
∵∠BOC=20°，其角平分线为ON
∴∠BON=10°
∴∠MON=∠MOB﹣∠BON=30°﹣10°=20°；
∠BOC在∠AOB外部
∵∠AOB=60°，其角平分线为OM
∴∠MOB=30°
∵∠BOC=20°，其角平分线为ON
∴∠BON=10°
∴∠MON=∠MOB+∠BON=30°+10°=40°．
讲解用时：10分钟
解题思路：根据题意，画出图形，分两种情况讨论：∠BOC在∠AOB内部和外部．
教学建议：考查平分线的性质，注意引导学生分类讨论
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习6.1】
已知∠AOB=70°，∠BOC=20°，OE为∠AOB的平分线，OF为∠BOC的平分线，则∠EOF= ．
【答案】25°或45°．
【解析】
解：（1）当点C在∠AOB的内部时，∠EOF=∠AOB﹣∠BOC=35°﹣10°=25°；
（2）当点C在∠AOB的外部时，∠EOF=∠AOB+∠BOC=35°+10°=45°．
故答案为25°或45°．
讲解用时：5分钟
解题思路：此题分点C在∠AOB的内部和外部两种情况讨论．
教学建议：查角平分线的定义，重点是分类讨论．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题7】
如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数．
【答案】28°．
【解析】
解：设∠AOB=x，∠BOC=2x．则∠AOC=3x．
又OD平分∠AOC，
∴∠AOD=x．
∴∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=x﹣x=14°
∴x=28°
即∠AOB=28°．
讲解用时：5分钟
解题思路：此题可以设∠AOB=x，∠BOC=2x，再进一步表示∠AOC=3x，根据角平分线的概念表示∠AOD，最后根据已知角的度数列方程即可计算．
教学建议：考查角平分线的定义．此类题设恰当的未知数，根据已知条件进一步表示出相关的角，列方程计算．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习7.1】
如图，已知O是直线AB上一点，∠1=20°，OD平分∠BOC，则∠2的度数
是 度．
【答案】80
【解析】
解：如图，∵∠1=20°，∠1+∠BOC=180°，
∴∠BOC=160°．
又∵OD平分∠BOC，
∴∠2=∠BOC=80°；
故填：80．
讲解用时：6分钟
解题思路：首先根据平角角的定义得到∠BOC=160°；然后由角平分线的定义求得∠2=∠BOC．
教学建议：注意此题中隐含着已知条件：∠1+∠BOC=180°．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题8】
如图所示，∠AOB：∠BOC：∠COD=4：5：3，OM平分∠AOD，∠BOM=20°，求∠AOD和∠MOC．
【答案】∠AOD=120°，∠MOC=30°．
【解析】
解：设∠AOB=4x，∠BOC=5x，∠COD=3x，
∴∠AOD=12x，
∵OM平分∠AOD，
∴∠AOM=∠AOD=6x，
由题意得，6x﹣4x=20°，
解得，x=10°，
∴∠AOD=12x=120°，∠BOC=5x=50°，
∴∠MOC=∠BOC﹣∠BOM=30°．
讲解用时：8分钟
解题思路：设∠AOB=4x，∠BOC=5x，∠COD=3x，得到∠AOD=12x，根据角平分线的定义得到∠AOM=∠AOD=6x，根据题意列出方程，解方程即可．
教学建议：掌握设未知数求解角度的方法，可类比应用题的求解方式.
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习8.1】
如图，已知OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOE=140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，那么∠AOB是多少度？
【答案】50度
【解析】
解：设∠COD的度数为x，
∵OD是∠COE的平分线，
∴∠EOC=2∠COD=2x，
∵∠BOC比∠COD的2倍还多10°，
∴∠BOC=2x+10°，
∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOB=∠BOC，∠AOC=2∠BOC=4x+20°，
∵∠AOE=140°，
∴2x+4x+20°=140°，解得x=20°，
∴∠BOC=2x+10°=50°
∴∠AOB是50度．
讲解用时：8分钟
解题思路：设∠COD的度数为x，则∠BOC=2x+10°，利用角平分线定义得到∠EOC=2∠COD=2x，∠BOC=2x+10°，再利用OB是∠AOC的平分线得到∠AOB=∠BOC，∠AOC=2∠BOC=4x+20°，所以2x+4x+20°=140°，解得x=20°，然后计算2x+10°即可．
教学建议:理解角平分线的定义：灵活应用角平分线的定义进行角度的计算．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
0201930
课后作业
【作业1】
如图，点D在∠AOB的内部，点E在∠AOB的外部，点F在射线OA上，试比较下列各角的大小．
（1）∠AOB ∠BOD；
（2）∠AOE ∠AOB；
（3）∠BOD ∠FOB；
（4）∠AOB ∠FOB；
（5）∠DOE ∠BOD．
【答案】（1）＞；（2）＞；（3）＜；（4）=；（5）＞．
【解析】
解：（1）∠AOB＞∠BOD；
（2）∠AOE＞∠AOB；
（3）∠BOD＜∠FOB；
（4）∠AOB=∠FOB；
（5）∠DOE＞∠BOD．
讲解用时：2分钟
难度： 2 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业2】
如图，已知false，false，false______．
59563028575A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
【答案】56°．
【解析】
解：由题可知：false．
讲解用时：3分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业3】
如图所示，已知点O在直线AB上，∠AOE：∠EOD=1：3，OC是∠BOD的平分线，∠EOC=115°，求∠AOE和∠BOC．
【答案】∠AOE=25°，∠BOC=40°．
【解析】
解：∵∠AOE：∠EOD=1：3，
∴设∠AOE=x，则∠EOD=3x，
又∵∠EOC=115°，
∴∠COD=115°﹣3x，
∵OC是∠BOD的平分线，
∴∠COB=∠COD=115°﹣3x，
又∵点O在直线AB上，
∴∠AOE+∠EOD+∠COD+∠COB=180°，
∴x+3x+2（115﹣3x）=180°，
解得，x=25°，
∴∠AOE=25°，
∴∠BOC=115°﹣3×25°=40°．
讲解用时：8分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无