人教版 七年级（下）数学讲义 5.3 平行线的性质 （含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版 七年级（下）数学讲义 5.3 平行线的性质 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 145.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-13 09:53:19 | ||
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文档简介
69532585725
第17讲 平行线的性质
0329565
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初一，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习平行线的性质，掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论.
0137160
知识梳理
讲解用时：15分钟
381033020平行线的性质
平行线的性质
-57151905 性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
32385151130两条平行线间的距离
两条平行线间的距离
41910113030同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
要点诠释：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
要点诠释：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
-1771651123951.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
要点诠释：
（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”
（3）真命题与假命题：
真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.
假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.
2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
要点诠释：
（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”
（3）真命题与假命题：
真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.
假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.
2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.
32385160020命题、定理、证明
命题、定理、证明
-7239080010
3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
要点诠释：
（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.
（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．
3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
要点诠释：
（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.
（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．
-8572547625 课堂精讲精练
【例题1】
如图是大众汽车的标志图案，其中蕴含着许多几何知识，根据下面的条件完成证明．
已知：如图，BC∥AD，BE∥AF．
（1）求证：∠A=∠B；
（2）若∠DOB=135°，求∠A的度数．
【答案】C．
【解析】
解：（1）∵BC∥AD，
∴∠B=∠DOE，又BE∥AF，
∴∠DOE=∠A，
∴∠A=∠B．
（2）∵∠DOB=∠EOA，由BE∥AF，得∠EOA+∠A=180°
又∠DOB=135°，
∴∠A=45°．
讲解用时：6分钟
解题思路：（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得∠A=∠B．
（2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得∠A=180°﹣∠DOE．
教学建议：考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习1.1】
如图，∠AOB的边OA为平面反光镜，一束光线从OB上的C点射出，经OA上的D点反射后，反射光线DE恰好与OB平行，若∠AOB=40°，则∠BCD的度数是
（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【答案】B．
【解析】
解：∵DE∥OB，
∴∠ADE=∠AOB=40°，
由反射光线得，∠ADE=∠ODC=40°，
∴∠CDE=180°﹣∠ADE﹣∠ODC=180°﹣40°﹣40°=100°，
∵DE∥OB，
∴∠BCD=180°﹣∠CDE=180°﹣100°=80°．
故选：B．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE=∠AOB，根据反射光线的性质可得∠ADE=∠ODC，然后求出∠CDE，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
教学建议：考查平行线的性质，反射角等于入射角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习1.2】
将对边平行的纸带折叠成如图所示，已知∠1=52°，则∠α= ．
【答案】64°．
【解析】
解：∵对边平行，
∴∠2=∠α，
由折叠可得，∠2=∠3，
∴∠α=∠3，
又∵∠1=∠4=52°，
∴∠α=（180°﹣52°）=64°，
故答案为：64°．
讲解用时：5分钟
解题思路：依据∠α=∠3，以及∠1=∠4=52°，即可得到∠α=（180°﹣52°）=64°．
教学建议：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题2】
如图，A、B、C三点在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠D，试判断BD与CF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）平行；（2）相交.
【解析】
解：BD∥CF，
理由如下：
∵∠1=∠2，∴AD∥BF，∴∠D=∠DBF，
∵∠3=∠D，∴∠3=∠DBF，
∴BD∥CF．
讲解用时：5分钟
解题思路：首先根据∠1=∠2，可得AD∥BF，进而得到∠D=∠DBF，再由∠3=∠D，可以推出∠3=∠DBF，进而根据平行线的判定可得DB∥CF．
教学建议：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是熟练掌握平行线的判定定理与性质定理．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习2.1】
如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ）
A．∵∠1=∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵∠DAM=∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）
【答案】D．
【解析】
解：A．∵∠1=∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），正确；
B．∵AB∥CD，∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），正确；
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），正确；
D．∵∠DAM=∠CBM，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），错误；
故选：D．
讲解用时：5分钟
解题思路：依据内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行进行判断即可．
教学建议：本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习2.2】
如图，∠1=120°，∠2=60°，∠3=100°，则∠4= 时，AB∥EF．
【答案】100°.
【解析】
解：当∠4=100°时，AB∥EF；
理由：∵∠3=100°，∠4=100°，
∴DC∥EF，
∵∠1=120°，
∴∠5=60°，
∵∠2=60°，
∴AB∥CD，
∴AB∥EF．
讲解用时：5分钟
解题思路：当∠4=100°时，AB∥EF，首先证明DC∥EF，再证明AB∥CD，进而得到AB∥EF．
教学建议：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
难度： 4 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题3】
如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，试说明∠E=∠F．
【答案】
证明：∵∠BAP与∠APD互补（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠BAP﹣∠1=∠APC﹣∠2，即∠3=∠4，
∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）．
【解析】
证明：∵∠BAP与∠APD互补（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠BAP﹣∠1=∠APC﹣∠2，即∠3=∠4，
∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）．
讲解用时：6分钟
解题思路：根据已知可得出AB∥CD，进而由∠1=∠2可证得∠3=∠4，故能得出AE∥FP，即能推出要证的结论成立．
教学建议：本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键
难度： 4 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习3.1】
如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3= °．
【答案】110．
【解析】
解：∵∠2=∠MEN，∠1=∠2=40°，
∴∠1=∠MEN，
∴AB∥CD，
∴∠3+∠BMN=180°，
∵MN平分∠EMB，
∴∠BMN=，
∴∠3=180°﹣70°=110°．
故答案为：110．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据对顶角相等得出∠2=∠MEN，利用同位角相等，两直线平行得出AB∥CD，再利用平行线的性质解答即可．
教学建议：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题4】
已知：在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是3；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a到直线b的距离为 ．
【答案】2或8．
【解析】
解：
①，
则直线a到直线b的距离为5﹣3=2；
②，
则直线a到直线b的距离为5+3=8．
故答案为2或8．
讲解用时：5分钟
解题思路：分两种情况：①直线b在直线a和c的上方；②直线b在直线a和直线c的下方．
教学建议：此题考查了两条平行线间的距离，注意思维的严密性，应分情况考虑．
难度： 4 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习4.1】
如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（ ）
A．变大
B．变小
C．不变
D．变大变小要看点P向左还是向右移动
【答案】C．
【解析】
解：设平行线AB、CD间的距离为h，
则S△PCD=CD?h，
∵CD长度不变，h大小不变，
∴三角形的面积不变．
故选：C．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据两平行线间的平行线段相等，可以推出点P在AB上运动时到CD的距离始终相等，再根据三角形PCD的面积等于CD与点P到CD的距离的积的一半，所以三角形的面积不变．
教学建议：本题主要考查两平行线间的平行线段相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题5】
（1）请将命题“等腰三角形的底角相等”改写为“如果…，那么…”的形式 ．
（2）“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是 ．
【答案】（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．
（2）如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【解析】
解：（1）此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．因此条件是“两个角是对顶角”结论是“这两个角相等”
故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．
（2）命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“两腰上的高相等”．将条件和结论互换得逆命题为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
讲解用时：6分钟
解题思路：（1）命题中的条件是一个三角形是等腰三角形，放在“如果”的后面，结论是它的两个底角相等，应放在“那么”的后面；（2）把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
教学建议：考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论；同时考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习5.1】
把命题“相等的角是对顶角”改写成“如果…，那么…”的形式是 ．
【答案】如果两个角是对顶角，那么两个角相等．
【解析】
解：∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，
∴命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么两个角相等”，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么两个角相等．
讲解用时：4分钟
解题思路：对顶角相等的条件是两个角是对顶角，结论是两角相等，据此即可改写成“如果…，那么…”的形式．
教学建议: 本题考查了确定一个命题的条件与结论的方法是首先把这个命题写成：“如果…，那么…”的形式，难度适中．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习5.2】
阅读下列语句：①对顶角相等；②同位角相等；③画∠AOB的平分线OC；④这个角等于30°吗？在这些语句中，属于真命题的是 （填写序号）
【答案】①．
【解析】
解：①对顶角相等是真命题；
②只有两直线平行，才可得到同位角相等，所以，本小题错误；
③画∠AOB的平分线OC，不是命题；
④这个角等于30°吗？不是命题；
所以，属于真命题的是①．
故答案为：①．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据对顶角相等，平行线的性质以及命题的定义对各小题分析判断即可得解．
教学建议: 本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题6】
某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是（ ）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁
【答案】D．
【解析】
解：导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个，；③丙、丁要么都去，要么都不去”，
①假设要去甲，就得去乙，就不能去丙，不去丙，就不能去丁，因此可以只去甲和乙；
②假设去丙，就得去丁，就不能去乙，不去乙也不能去甲，因此可以只去丙丁；
故选：D．
讲解用时：6分钟
解题思路：根据导游说的分两种情况进行分析：①假设要去甲；②假设去丙；然后分析可得答案．
教学建议：此题主要考查了推理与论证，关键是正确分情况，进行讨论．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习6.1】
A，B，C，D，E五名同学猜测自己的数学成绩．
A说：“如果我得优，那么B也得优．”
B说：“如果我得优，那么C也得优．”
C说：“如果我得优，那么D也得优．”
D说：“如果我得优，那么E也得优．”
大家都没说错，如果A得优，那么他们之中有 人得优．
【答案】5．
【解析】
解：由如果A得优，那么B也得优．如果B得优，那么C也得优．如果C得优，那么D也得优．如果D得优，那么E也得优．
根据以上条件．可以由A是优，则B就是优，所以C是优，所以D是优，所以E是优，这样以来就5人都是优．
故答案为：5．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据大家都没说错，如果A得优，由此进行推理即可得到结论．
教学建议：此题主要考查了推理与论证，利用已知条件进行推理才能正确得出结论．
难度： 4 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习6.2】
从甲、乙、丙三人中选取2人去参加运动会有甲和乙、甲和丙、乙和丙3种不同的选法．抽象成数学模型，即：从3个元素中选取2个元素的组合，记作；一般地，从m个元素中选取n个元素（n≤m）的组合，记作．根据以上分析从8人中选取5人去参加运动会的不同选法有 种．
【答案】56．
【解析】
解：由题意，得=56种，因此共有56种不同的选法．
讲解用时：4分钟
解题思路：将m=8，n=5代入题目所给出的公式中求解即可．
教学建议：解决问题的关键是读懂题意，能够根据题意中的定义进行计算．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题7】
如图，有三个论断①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
【答案】
已知：∠B=∠D，∠A=∠C．
求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=∠C，
∴AB∥CD．
∴∠B=∠BFC．
∵∠B=∠D，
∴∠BFC=∠D．
∴DE∥BF．
∴∠DMN=∠BNM．
∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，
∴∠1=∠2．
【解析】
已知：∠B=∠D，∠A=∠C．
求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=∠C，
∴AB∥CD．
∴∠B=∠BFC．
∵∠B=∠D，
∴∠BFC=∠D．
∴DE∥BF．
∴∠DMN=∠BNM．
∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，
∴∠1=∠2．
讲解用时：8分钟
解题思路：根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．
教学建议：证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习7.1】
判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．
（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
（2）若ab=0，则a+b=0．
【答案】（1）假命题；（2）假命题．
【解析】
解：（1）假命题．如：两条直线平行，内错角相等．
（2）假命题．如：a=5和b=0．
讲解用时：5分钟
解题思路：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
教学建议：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习7.2】
下列四个命题中，真命题有
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2．
③如果x2＞0，那么x＞0．
【答案】②．
【解析】
解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；
如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，所以②正确；
如果x2＞0，那么x≠0，所以③错误．
故答案为：②．
讲解用时：8分钟
解题思路：根据平行线的性质对①进行判断；根据对顶角的性质对②进行判断；
根据非负数的性质对③进行判断．
教学建议：
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
0201930
课后作业
【作业1】
如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
【答案】D．
2428875396240【解析】
解：如图，∵∠1=70°，
∴∠2=∠1=70°，
∵CD∥BE，
∴∠B=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°．
故选：C．
讲解用时：4分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业2】
如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2= ．
【答案】140°．
1743075169545【解析】
解：如图，
∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=40°，
∵∠α=∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°=140°．
故答案为140°．
讲解用时：5分钟
难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业3】
下列句子中不是命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．直线AB垂直于CD吗？
C．若|a|=|b|，则a2=b2 D．同角的补角相等
【答案】B．
【解析】
解：A、两直线平行，同位角相等，是命题；
B、直线AB垂直于CD吗？不是命题；
C、若|a|=|b|，则a2=b2，是命题；
D、同角的补角相等，是命题；
故选：B．
讲解用时：3分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业4】
4个人进行游泳比赛，赛前A、B、C、D等4名选手进行预测．A说：“我肯定得第一名．”B说：“我绝对不会得最后一名．”C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名．”D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误．预测错误的人是
【答案】A．
【解析】
解：先考虑B和D，如果B错，则B最后，D也错如果D错，则A第一，
B不是最后，C不是最后，D不是最后矛盾，则B和D都对；
再考虑A和C，如果C错，则A第一，B中间，D最后，C就对了，矛盾；
若A错，则C中间D最后，A中间B第一，成立所以A是错的．
故应填A．
讲解用时：5分钟
难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无
第17讲 平行线的性质
0329565
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初一，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习平行线的性质，掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论.
0137160
知识梳理
讲解用时：15分钟
381033020平行线的性质
平行线的性质
-57151905 性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
32385151130两条平行线间的距离
两条平行线间的距离
41910113030同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
要点诠释：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
要点诠释：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
-1771651123951.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
要点诠释：
（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”
（3）真命题与假命题：
真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.
假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.
2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
要点诠释：
（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”
（3）真命题与假命题：
真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.
假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.
2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.
32385160020命题、定理、证明
命题、定理、证明
-7239080010
3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
要点诠释：
（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.
（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．
3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
要点诠释：
（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.
（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．
-8572547625 课堂精讲精练
【例题1】
如图是大众汽车的标志图案，其中蕴含着许多几何知识，根据下面的条件完成证明．
已知：如图，BC∥AD，BE∥AF．
（1）求证：∠A=∠B；
（2）若∠DOB=135°，求∠A的度数．
【答案】C．
【解析】
解：（1）∵BC∥AD，
∴∠B=∠DOE，又BE∥AF，
∴∠DOE=∠A，
∴∠A=∠B．
（2）∵∠DOB=∠EOA，由BE∥AF，得∠EOA+∠A=180°
又∠DOB=135°，
∴∠A=45°．
讲解用时：6分钟
解题思路：（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得∠A=∠B．
（2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得∠A=180°﹣∠DOE．
教学建议：考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习1.1】
如图，∠AOB的边OA为平面反光镜，一束光线从OB上的C点射出，经OA上的D点反射后，反射光线DE恰好与OB平行，若∠AOB=40°，则∠BCD的度数是
（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【答案】B．
【解析】
解：∵DE∥OB，
∴∠ADE=∠AOB=40°，
由反射光线得，∠ADE=∠ODC=40°，
∴∠CDE=180°﹣∠ADE﹣∠ODC=180°﹣40°﹣40°=100°，
∵DE∥OB，
∴∠BCD=180°﹣∠CDE=180°﹣100°=80°．
故选：B．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE=∠AOB，根据反射光线的性质可得∠ADE=∠ODC，然后求出∠CDE，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
教学建议：考查平行线的性质，反射角等于入射角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习1.2】
将对边平行的纸带折叠成如图所示，已知∠1=52°，则∠α= ．
【答案】64°．
【解析】
解：∵对边平行，
∴∠2=∠α，
由折叠可得，∠2=∠3，
∴∠α=∠3，
又∵∠1=∠4=52°，
∴∠α=（180°﹣52°）=64°，
故答案为：64°．
讲解用时：5分钟
解题思路：依据∠α=∠3，以及∠1=∠4=52°，即可得到∠α=（180°﹣52°）=64°．
教学建议：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题2】
如图，A、B、C三点在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠D，试判断BD与CF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）平行；（2）相交.
【解析】
解：BD∥CF，
理由如下：
∵∠1=∠2，∴AD∥BF，∴∠D=∠DBF，
∵∠3=∠D，∴∠3=∠DBF，
∴BD∥CF．
讲解用时：5分钟
解题思路：首先根据∠1=∠2，可得AD∥BF，进而得到∠D=∠DBF，再由∠3=∠D，可以推出∠3=∠DBF，进而根据平行线的判定可得DB∥CF．
教学建议：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是熟练掌握平行线的判定定理与性质定理．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习2.1】
如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ）
A．∵∠1=∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵∠DAM=∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）
【答案】D．
【解析】
解：A．∵∠1=∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），正确；
B．∵AB∥CD，∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），正确；
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），正确；
D．∵∠DAM=∠CBM，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），错误；
故选：D．
讲解用时：5分钟
解题思路：依据内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行进行判断即可．
教学建议：本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习2.2】
如图，∠1=120°，∠2=60°，∠3=100°，则∠4= 时，AB∥EF．
【答案】100°.
【解析】
解：当∠4=100°时，AB∥EF；
理由：∵∠3=100°，∠4=100°，
∴DC∥EF，
∵∠1=120°，
∴∠5=60°，
∵∠2=60°，
∴AB∥CD，
∴AB∥EF．
讲解用时：5分钟
解题思路：当∠4=100°时，AB∥EF，首先证明DC∥EF，再证明AB∥CD，进而得到AB∥EF．
教学建议：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
难度： 4 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题3】
如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，试说明∠E=∠F．
【答案】
证明：∵∠BAP与∠APD互补（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠BAP﹣∠1=∠APC﹣∠2，即∠3=∠4，
∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）．
【解析】
证明：∵∠BAP与∠APD互补（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠BAP﹣∠1=∠APC﹣∠2，即∠3=∠4，
∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）．
讲解用时：6分钟
解题思路：根据已知可得出AB∥CD，进而由∠1=∠2可证得∠3=∠4，故能得出AE∥FP，即能推出要证的结论成立．
教学建议：本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键
难度： 4 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习3.1】
如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3= °．
【答案】110．
【解析】
解：∵∠2=∠MEN，∠1=∠2=40°，
∴∠1=∠MEN，
∴AB∥CD，
∴∠3+∠BMN=180°，
∵MN平分∠EMB，
∴∠BMN=，
∴∠3=180°﹣70°=110°．
故答案为：110．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据对顶角相等得出∠2=∠MEN，利用同位角相等，两直线平行得出AB∥CD，再利用平行线的性质解答即可．
教学建议：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题4】
已知：在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是3；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a到直线b的距离为 ．
【答案】2或8．
【解析】
解：
①，
则直线a到直线b的距离为5﹣3=2；
②，
则直线a到直线b的距离为5+3=8．
故答案为2或8．
讲解用时：5分钟
解题思路：分两种情况：①直线b在直线a和c的上方；②直线b在直线a和直线c的下方．
教学建议：此题考查了两条平行线间的距离，注意思维的严密性，应分情况考虑．
难度： 4 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习4.1】
如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（ ）
A．变大
B．变小
C．不变
D．变大变小要看点P向左还是向右移动
【答案】C．
【解析】
解：设平行线AB、CD间的距离为h，
则S△PCD=CD?h，
∵CD长度不变，h大小不变，
∴三角形的面积不变．
故选：C．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据两平行线间的平行线段相等，可以推出点P在AB上运动时到CD的距离始终相等，再根据三角形PCD的面积等于CD与点P到CD的距离的积的一半，所以三角形的面积不变．
教学建议：本题主要考查两平行线间的平行线段相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题5】
（1）请将命题“等腰三角形的底角相等”改写为“如果…，那么…”的形式 ．
（2）“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是 ．
【答案】（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．
（2）如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【解析】
解：（1）此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．因此条件是“两个角是对顶角”结论是“这两个角相等”
故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．
（2）命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“两腰上的高相等”．将条件和结论互换得逆命题为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
讲解用时：6分钟
解题思路：（1）命题中的条件是一个三角形是等腰三角形，放在“如果”的后面，结论是它的两个底角相等，应放在“那么”的后面；（2）把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
教学建议：考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论；同时考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习5.1】
把命题“相等的角是对顶角”改写成“如果…，那么…”的形式是 ．
【答案】如果两个角是对顶角，那么两个角相等．
【解析】
解：∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，
∴命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么两个角相等”，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么两个角相等．
讲解用时：4分钟
解题思路：对顶角相等的条件是两个角是对顶角，结论是两角相等，据此即可改写成“如果…，那么…”的形式．
教学建议: 本题考查了确定一个命题的条件与结论的方法是首先把这个命题写成：“如果…，那么…”的形式，难度适中．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习5.2】
阅读下列语句：①对顶角相等；②同位角相等；③画∠AOB的平分线OC；④这个角等于30°吗？在这些语句中，属于真命题的是 （填写序号）
【答案】①．
【解析】
解：①对顶角相等是真命题；
②只有两直线平行，才可得到同位角相等，所以，本小题错误；
③画∠AOB的平分线OC，不是命题；
④这个角等于30°吗？不是命题；
所以，属于真命题的是①．
故答案为：①．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据对顶角相等，平行线的性质以及命题的定义对各小题分析判断即可得解．
教学建议: 本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题6】
某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是（ ）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁
【答案】D．
【解析】
解：导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个，；③丙、丁要么都去，要么都不去”，
①假设要去甲，就得去乙，就不能去丙，不去丙，就不能去丁，因此可以只去甲和乙；
②假设去丙，就得去丁，就不能去乙，不去乙也不能去甲，因此可以只去丙丁；
故选：D．
讲解用时：6分钟
解题思路：根据导游说的分两种情况进行分析：①假设要去甲；②假设去丙；然后分析可得答案．
教学建议：此题主要考查了推理与论证，关键是正确分情况，进行讨论．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习6.1】
A，B，C，D，E五名同学猜测自己的数学成绩．
A说：“如果我得优，那么B也得优．”
B说：“如果我得优，那么C也得优．”
C说：“如果我得优，那么D也得优．”
D说：“如果我得优，那么E也得优．”
大家都没说错，如果A得优，那么他们之中有 人得优．
【答案】5．
【解析】
解：由如果A得优，那么B也得优．如果B得优，那么C也得优．如果C得优，那么D也得优．如果D得优，那么E也得优．
根据以上条件．可以由A是优，则B就是优，所以C是优，所以D是优，所以E是优，这样以来就5人都是优．
故答案为：5．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据大家都没说错，如果A得优，由此进行推理即可得到结论．
教学建议：此题主要考查了推理与论证，利用已知条件进行推理才能正确得出结论．
难度： 4 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习6.2】
从甲、乙、丙三人中选取2人去参加运动会有甲和乙、甲和丙、乙和丙3种不同的选法．抽象成数学模型，即：从3个元素中选取2个元素的组合，记作；一般地，从m个元素中选取n个元素（n≤m）的组合，记作．根据以上分析从8人中选取5人去参加运动会的不同选法有 种．
【答案】56．
【解析】
解：由题意，得=56种，因此共有56种不同的选法．
讲解用时：4分钟
解题思路：将m=8，n=5代入题目所给出的公式中求解即可．
教学建议：解决问题的关键是读懂题意，能够根据题意中的定义进行计算．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题7】
如图，有三个论断①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
【答案】
已知：∠B=∠D，∠A=∠C．
求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=∠C，
∴AB∥CD．
∴∠B=∠BFC．
∵∠B=∠D，
∴∠BFC=∠D．
∴DE∥BF．
∴∠DMN=∠BNM．
∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，
∴∠1=∠2．
【解析】
已知：∠B=∠D，∠A=∠C．
求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=∠C，
∴AB∥CD．
∴∠B=∠BFC．
∵∠B=∠D，
∴∠BFC=∠D．
∴DE∥BF．
∴∠DMN=∠BNM．
∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，
∴∠1=∠2．
讲解用时：8分钟
解题思路：根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．
教学建议：证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习7.1】
判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．
（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
（2）若ab=0，则a+b=0．
【答案】（1）假命题；（2）假命题．
【解析】
解：（1）假命题．如：两条直线平行，内错角相等．
（2）假命题．如：a=5和b=0．
讲解用时：5分钟
解题思路：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
教学建议：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习7.2】
下列四个命题中，真命题有
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2．
③如果x2＞0，那么x＞0．
【答案】②．
【解析】
解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；
如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，所以②正确；
如果x2＞0，那么x≠0，所以③错误．
故答案为：②．
讲解用时：8分钟
解题思路：根据平行线的性质对①进行判断；根据对顶角的性质对②进行判断；
根据非负数的性质对③进行判断．
教学建议：
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
0201930
课后作业
【作业1】
如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
【答案】D．
2428875396240【解析】
解：如图，∵∠1=70°，
∴∠2=∠1=70°，
∵CD∥BE，
∴∠B=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°．
故选：C．
讲解用时：4分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业2】
如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2= ．
【答案】140°．
1743075169545【解析】
解：如图，
∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=40°，
∵∠α=∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°=140°．
故答案为140°．
讲解用时：5分钟
难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业3】
下列句子中不是命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．直线AB垂直于CD吗？
C．若|a|=|b|，则a2=b2 D．同角的补角相等
【答案】B．
【解析】
解：A、两直线平行，同位角相等，是命题；
B、直线AB垂直于CD吗？不是命题；
C、若|a|=|b|，则a2=b2，是命题；
D、同角的补角相等，是命题；
故选：B．
讲解用时：3分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业4】
4个人进行游泳比赛，赛前A、B、C、D等4名选手进行预测．A说：“我肯定得第一名．”B说：“我绝对不会得最后一名．”C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名．”D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误．预测错误的人是
【答案】A．
【解析】
解：先考虑B和D，如果B错，则B最后，D也错如果D错，则A第一，
B不是最后，C不是最后，D不是最后矛盾，则B和D都对；
再考虑A和C，如果C错，则A第一，B中间，D最后，C就对了，矛盾；
若A错，则C中间D最后，A中间B第一，成立所以A是错的．
故应填A．
讲解用时：5分钟
难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无