人教版 七年级（下）数学讲义 5.2 平行线及其判定 （含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版 七年级（下）数学讲义 5.2 平行线及其判定 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 176.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-13 09:54:15 | ||
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文档简介
69532585725
第16讲 平行线及其判定
0329565
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初一，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习平行线及其判定，理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系；掌握平行公理及其推论；掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.
0137160
知识梳理
讲解用时：15分钟
381033020平行线的定义及画法
平行线的定义及画法
-571519051．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
要点诠释：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
要点诠释：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
3810762002.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
-34290151130平行公理及推论
平行公理及推论
-247651130301．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
-177165112395判定方法1：同位角相等，两直线平行.如图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
32385160020直线平行的判定
直线平行的判定
-8572547625 课堂精讲精练
【例题1】
作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作：
（1）过点A作BC的平行线；
（2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D；
（3）过点B作AB的垂线．
【答案】C．
【解析】
解：（1）A所在的横线就是满足条件的直线，即AE就是所求；
（2）在直线AE上，到A距离是5个格长的点就是D，则CD就是所求与AB平行的直线；
（3）AE上D右边的个点F，过B，F作直线，就是所求．
讲解用时：5分钟
解题思路：（1）A所在的横线就是满足条件的直线；
（2）在直线AD上到A得等于BC的点D，则直线CD即为所求；
（3）AE上D右边的个点F，过B，F的直线即为所求．
教学建议：本题主要考查了尺规作图，根据平行线和垂线的定义即可求解.
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习1.1】
在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（ ）
A．垂直或平行 B．垂直或相交
C．平行或相交 D．平行、垂直或相交
【答案】C．
【解析】
解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系．
故选：C．
讲解用时：3分钟
解题思路：同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交；垂直不属于直线的位置关系，它是特殊的相交．
教学建议：本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题2】
直线a∥b，b∥c，直线d与a相交于点A．
（1）判断a与c的位置关系，并说明理由；
（2）判断c与d的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）平行；（2）相交.
【解析】
解：（1）a与c的位置关系是平行，
理由是：∵直线a∥b，b∥c，
∴a∥c；
（2）c与d的位置关系是相交，
理由是：∵c∥a，直线d与a相交于点A，
∴c与d的位置关系是相交．
讲解用时：6分钟
解题思路：（1）根据平行公理得出即可；
（2）根据c∥a和直线d与a相交推出即可．
教学建议：本题考查了平行公理和推论的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力.
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习2.1】
平面内有三条直线a、b、c，下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，其中正确的是（ ）
A．只有① B．只有② C．①②都正确 D．①②都不正确
【答案】180
解：①若a∥b，b∥c，则a∥c，说法正确；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，说法错误，应为同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c；故选：A．
【解析】
讲解用时：5分钟
解题思路：根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行可得①正确；根据应为同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行可得②错误．
教学建议：此题主要考查了平行公理和垂线，关键是注意同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习2.2】
设a、b、c为平面上三条不同直线，
（1）若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是 ；
（2）若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 ．
【答案】（1）a∥c；（2）a∥c．
【解析】
解：（1）∵a∥b，b∥c，
∴a∥c；
（2）∵a、b、c为平面上三条不同直线，a⊥b，b⊥c，
∴a∥c．
故答案为：a∥c，a∥c．
讲解用时：5分钟
解题思路：（1）根据平行公理，平行于同一直线的两直线互相平行解答；
（2）根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行解答．
教学建议：本题考查了平行公理的推论及平行线的判定，注意：只有在同一平面内，垂直于同一直线的两直线才互相平行．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题3】
已知：如图，CD⊥AB于D，点E为BC边上的任意一点，EF⊥AB于F，且∠1=∠2，那么BC与DG平行吗？请说明理由．
【答案】平行，理由如下：
【解析】
解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF；
∴∠1=∠BCD（两直线平行，同位角相等）；
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠BCD；
∴BC∥DG（内错角相等，两直线平行）．
讲解用时：6分钟
解题思路：要说明BC∥DG，需先确定与两直线都相交的第三线．图中有三条AB、AC、CD，很显然利用DC更为方便，在“三线八角”中，与已知∠1、∠2都相关的角为∠DCB．至此，证题途径已经明朗．
教学建议：本题主要考查了平行线的性质和判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角的关系．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习3.1】
如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（ ）
A．AB∥CD B．AD∥BC C．∠B=∠D D．∠3=∠4
【答案】B．
【解析】
解：∵∠1=∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故选：B．
讲解用时：3分钟
解题思路：因为∠1与∠2是AD、BC被AC所截构成的内错角，所以结合已知，由内错角相等，两直线平行求解．
教学建议：正确识别同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题4】
如图所示，要想判断AB是否与CD平行，我们可以测量哪些角；请你写出三种方案，并说明理由．
【答案】（1）测量∠EAB与∠D；（2）测量∠BAC与∠C；（3）测量∠BAD与∠D．
【解析】
解：（1）可以测量∠EAB与∠D，如果∠EAB=∠D，那么根据同位角相等，两直线平行，得出AB与CD平行．
（2）可以测量∠BAC与∠C，如果∠BAC=∠C，那么根据内错角相等，两直线平行，得出AB与CD平行．
（3）可以测量∠BAD与∠D，如果∠BAD+∠D=180°，那么根据同旁内角互补，两直线平行，得出AB与CD平行．
讲解用时：10分钟
解题思路：判别两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此答题．
教学建议：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，本题考查了平行线的判定方法．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习4.1】
如图，BC平分∠DBA，∠1=∠2，填空：因为BC平分∠DBA，所以∠1= ，所以∠2= ，所以AB∥ ．
【答案】∠CBA；∠CBA；CD．
【解析】
解：∵BC平分∠DBA，
∴∠1=∠CBA，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠CBA，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：130°．
讲解用时：5分钟
解题思路：由角平分线的性质可知∠1=∠CBA，由内错角相等，两直线平行可知AB∥CD．
教学建议：此题主要考查了角平分线的性质及内错角相等，两直线平行的判定定理．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题5】
如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C，求证：∠1=∠2．
【答案】
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴AD∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行），
∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等），
又∵∠3=∠C（已知），
∴AC∥DG（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠2（等量代换）．
【解析】
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴AD∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行），
∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等），
又∵∠3=∠C（已知），
∴AC∥DG（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠2（等量代换）．
讲解用时：6分钟
解题思路：先由已知证明AD∥EF，再证明1∠1=∠4，∠2=∠4，等量代换得出∠1=∠2．
教学建议：此题的关键是理解平行线的性质及判定．①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行．④内错角相等，两直线平行．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习5.1】
如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F，∠1=105°，当∠2= 时，能使AB∥CD．
【答案】75°．
【解析】
解：∵直线AB、CD与直线EF相交于E、F，
∴∠1=∠AEF=105°；
∵∠AEF与∠2互补时可以使AB∥CD，
∴∠2=180°﹣105°=75°．
∴当∠2=75°时，能使AB∥CD．
讲解用时：4分钟
解题思路：因为直线AB、CD与直线EF相交于E、F，所以∠1=∠AEF=105°，则∠AEF与∠2互补时可以使AB∥CD．
教学建议: 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习5.2】
如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°这个零件合格吗？ （填“合格”或“不合格”）．
【答案】合格．
【解析】
解：∵∠ABC=120°，∠BCD=60°，
∴∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
∴这个零件合格．
讲解用时：5分钟
解题思路：要判断AB边与CD边平行，则要满足同旁内角互补的条件，只要∠ABC与∠BCD的和是180°即可知道这个零件是否合格，已知∠ABC=120°，∠BCD=60°，则∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°．
教学建议: 本题考查的是同旁内角互补，两直线平行．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题6】
已知：如图，AB∥CD，∠ABE=∠DCF，请说明∠E=∠F的理由．
【答案】
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行内错角相等），
∵∠ABE=∠DCF（已知），
∴∠EBC=∠FCB，
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠F（两直线平行内错角相等）．
【解析】
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行内错角相等），
∵∠ABE=∠DCF（已知），
∴∠EBC=∠FCB，
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠F（两直线平行内错角相等）．
讲解用时：6分钟
解题思路：根据两直线平行内错角相等可得，∠ABC=∠BCD结合已知又可知∠EBC=∠FCB，所以BE∥CF（内错角相等，两直线平行）从而证两角相等．
教学建议：本题主要利用平行线的性质和判定及图中角的和差关系来证明．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习6.1】
如图，下列条件①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠3+∠4=180°；④∠1+∠2=180°；⑤∠1+∠2=90°；⑥∠3+∠4=90°；⑦∠1=∠4中，能判断直线l1∥l2的条件有
【答案】③④．
【解析】
解：由图可以看出：∠1的补角（180°﹣∠1）和∠2且∠3的补角（180°﹣∠3）和∠4对于直线l1和l2来说是两对内错角．
若使180°﹣∠1=∠2，即：∠1+∠2=180°；
180°﹣∠3=∠4，即：∠3+∠4=180°；
所以，l1∥l2（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：③④．
讲解用时：5分钟
解题思路：欲判定l1∥l2，需考虑内错角、同旁内角、同位角，从图中可以看出：∠1的补角（180°﹣∠1）和∠2且∠3的补角（180°﹣∠3）和∠4对于直线l1和l2来说是两对同位角，根据同为角相等，两直线平行可以证明l1∥l2．
教学建议：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习6.2】
某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次左拐30°，第二次右拐30°
B．第一次右拐50°，第二次左拐130°
C．第一次右拐50°，第二次右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐120°
【答案】A．
【解析】
解：如图所示（实线为行驶路线）：
A符合“同位角相等，两直线平行”的判定，其余均不符合平行线的判定．
故选：A．
讲解用时：6分钟
解题思路：两次拐弯后，行驶方向与原来相同，说明两次拐弯后的方向是平行的．对题中的四个选项提供的条件，运用平行线的判定进行判断，能判定两直线平行者即为正确答案．
教学建议：本题考查平行线的判定，熟记定理是解决问题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题7】
如图，∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．
（1）AE与FC会平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）BC平分∠DBE吗？为什么？
【答案】
（1）平行；
证明：∵∠2+∠CDB=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠CDB=∠1，
∴AE∥FC．
（2）平行，
证明：∵AE∥FC，
∴∠CDA+∠DAE=180°，
∵∠DAE=∠BCF
∴∠CDA+∠BCF=180°，
∴AD∥BC．
（3）平分，
证明：∵AE∥FC，
∴∠EBC=∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠BCF=∠FDA，∠DBC=∠BDA，
又∵DA平分∠BDF，即∠FDA=∠BDA，
∴∠EBC=∠DBC，
∴BC平分∠DBE．
【解析】
解：（1）平行；
证明：∵∠2+∠CDB=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠CDB=∠1，
∴AE∥FC．
（2）平行，
证明：∵AE∥FC，
∴∠CDA+∠DAE=180°，
∵∠DAE=∠BCF
∴∠CDA+∠BCF=180°，
∴AD∥BC．
（3）平分，
证明：∵AE∥FC，
∴∠EBC=∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠BCF=∠FDA，∠DBC=∠BDA，
又∵DA平分∠BDF，即∠FDA=∠BDA，
∴∠EBC=∠DBC，
∴BC平分∠DBE．
讲解用时：8分钟
解题思路：（1）∠1+∠2=180°而∠2+∠CDB=180°，则∠CDB=∠1，根据同位角相等，两直线平行，求得结论；
（2）要说明AD与BC平行，只要说明∠BCF+∠CDA=180°即可．而根据AE∥FC可得：∠CDA+∠DEA=180°，再据∠DAE=∠BCF就可以证得．
（3）BC平分∠DBE即说明∠EBC=∠DBC是否成立．根据AE∥FC，可得：∠EBC=∠BCF，据AD∥BC得到：∠BCF=∠FAD，∠DBC=∠BAD，进而就可以证出结论．
教学建议：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习7.1】如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（ ）
A．∠EDC=∠EFC B．∠AFE=∠ACD C．∠3=∠4 D．∠1=∠2
【答案】C．
【解析】
解：∠EDC=∠EFC不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行；
∠AFE=∠ACD，∠1=∠2是EF和BC被AC所截得到的同位角和内错角，因而可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC；
∠3=∠4这两个角是AC与DE被EC所截得到的内错角，可以判定DE∥AC．
故选：C．
讲解用时：5分钟
解题思路：可以从直线DE、AC的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断．
教学建议：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习7.2】
学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有
①两直线平行，同位角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③同位角相等，两直线平行；
④内错角相等，两直线平行．
【答案】③④．
【解析】
解：由作图过程可知，∠1=∠2，为内错角相等；∠1=∠4，为同位角相等；
可知小敏画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．
故选：③④．
讲解用时：8分钟
解题思路：解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，故过点P所折折痕与虚线垂直．
教学建议：此题主要考查了平行线的判定，用到的知识点为：平行线的判定定理等知识．理解折叠的过程是解决问题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
0201930
课后作业
【作业1】
下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等
B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．相等的角是对顶角
D．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
【答案】D．
【解析】
解：A、只有在两直线平行这一前提下，同位角才相等，故A选项错误；
B、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故B选项错误；
C、相等的角不一定是对顶角，因为对顶角还有位置限制，故C选项错误；
D、由平行公理的推论知，故D选项正确．
故选：D．
讲解用时：4分钟
难度： 2 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业2】
3638550356235如图，直线AB、CD被直线EF所截，交点为O、P，PQ⊥EF，垂足为P，如果∠1=60°，∠2=30°，那么AB、CD平行吗?为什么?
【答案】平行，理由如下：
因为∠1=60°（已知），所以∠BOF=60°（对顶角相等）
又因为PQ⊥EF，所以∠QPF=90°（垂直定义）
所以∠2=30°，所以∠DPF=60°，即∠DPF=∠BOF
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
【解析】
解：平行，理由如下：
因为∠1=60°（已知），所以∠BOF=60°（对顶角相等）
又因为PQ⊥EF，所以∠QPF=90°（垂直定义）
所以∠2=30°，所以∠DPF=60°，即∠DPF=∠BOF
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
讲解用时：5分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业3】
已知AE是∠BAP的平分线，PE是∠APD的角平分线，∠3+∠2=90°，
证明：AB∥CD．
【答案】
证明：因为AE是∠BAP的平分线，PE是∠APD的角平分线（已知）
所以false，false（角平分线的意义）
因为∠3+∠2=90°（已知）
所以∠BAP+∠APD=180°（等式性质）
所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【解析】
证明：因为AE是∠BAP的平分线，PE是∠APD的角平分线（已知）
所以false，false（角平分线的意义）
因为∠3+∠2=90°（已知）
所以∠BAP+∠APD=180°（等式性质）
所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
讲解用时：6分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
第16讲 平行线及其判定
0329565
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初一，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习平行线及其判定，理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系；掌握平行公理及其推论；掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.
0137160
知识梳理
讲解用时：15分钟
381033020平行线的定义及画法
平行线的定义及画法
-571519051．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
要点诠释：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
要点诠释：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
3810762002.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
-34290151130平行公理及推论
平行公理及推论
-247651130301．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
-177165112395判定方法1：同位角相等，两直线平行.如图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
32385160020直线平行的判定
直线平行的判定
-8572547625 课堂精讲精练
【例题1】
作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作：
（1）过点A作BC的平行线；
（2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D；
（3）过点B作AB的垂线．
【答案】C．
【解析】
解：（1）A所在的横线就是满足条件的直线，即AE就是所求；
（2）在直线AE上，到A距离是5个格长的点就是D，则CD就是所求与AB平行的直线；
（3）AE上D右边的个点F，过B，F作直线，就是所求．
讲解用时：5分钟
解题思路：（1）A所在的横线就是满足条件的直线；
（2）在直线AD上到A得等于BC的点D，则直线CD即为所求；
（3）AE上D右边的个点F，过B，F的直线即为所求．
教学建议：本题主要考查了尺规作图，根据平行线和垂线的定义即可求解.
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习1.1】
在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（ ）
A．垂直或平行 B．垂直或相交
C．平行或相交 D．平行、垂直或相交
【答案】C．
【解析】
解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系．
故选：C．
讲解用时：3分钟
解题思路：同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交；垂直不属于直线的位置关系，它是特殊的相交．
教学建议：本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题2】
直线a∥b，b∥c，直线d与a相交于点A．
（1）判断a与c的位置关系，并说明理由；
（2）判断c与d的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）平行；（2）相交.
【解析】
解：（1）a与c的位置关系是平行，
理由是：∵直线a∥b，b∥c，
∴a∥c；
（2）c与d的位置关系是相交，
理由是：∵c∥a，直线d与a相交于点A，
∴c与d的位置关系是相交．
讲解用时：6分钟
解题思路：（1）根据平行公理得出即可；
（2）根据c∥a和直线d与a相交推出即可．
教学建议：本题考查了平行公理和推论的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力.
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习2.1】
平面内有三条直线a、b、c，下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，其中正确的是（ ）
A．只有① B．只有② C．①②都正确 D．①②都不正确
【答案】180
解：①若a∥b，b∥c，则a∥c，说法正确；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，说法错误，应为同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c；故选：A．
【解析】
讲解用时：5分钟
解题思路：根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行可得①正确；根据应为同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行可得②错误．
教学建议：此题主要考查了平行公理和垂线，关键是注意同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习2.2】
设a、b、c为平面上三条不同直线，
（1）若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是 ；
（2）若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 ．
【答案】（1）a∥c；（2）a∥c．
【解析】
解：（1）∵a∥b，b∥c，
∴a∥c；
（2）∵a、b、c为平面上三条不同直线，a⊥b，b⊥c，
∴a∥c．
故答案为：a∥c，a∥c．
讲解用时：5分钟
解题思路：（1）根据平行公理，平行于同一直线的两直线互相平行解答；
（2）根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行解答．
教学建议：本题考查了平行公理的推论及平行线的判定，注意：只有在同一平面内，垂直于同一直线的两直线才互相平行．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题3】
已知：如图，CD⊥AB于D，点E为BC边上的任意一点，EF⊥AB于F，且∠1=∠2，那么BC与DG平行吗？请说明理由．
【答案】平行，理由如下：
【解析】
解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF；
∴∠1=∠BCD（两直线平行，同位角相等）；
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠BCD；
∴BC∥DG（内错角相等，两直线平行）．
讲解用时：6分钟
解题思路：要说明BC∥DG，需先确定与两直线都相交的第三线．图中有三条AB、AC、CD，很显然利用DC更为方便，在“三线八角”中，与已知∠1、∠2都相关的角为∠DCB．至此，证题途径已经明朗．
教学建议：本题主要考查了平行线的性质和判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角的关系．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习3.1】
如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（ ）
A．AB∥CD B．AD∥BC C．∠B=∠D D．∠3=∠4
【答案】B．
【解析】
解：∵∠1=∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故选：B．
讲解用时：3分钟
解题思路：因为∠1与∠2是AD、BC被AC所截构成的内错角，所以结合已知，由内错角相等，两直线平行求解．
教学建议：正确识别同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题4】
如图所示，要想判断AB是否与CD平行，我们可以测量哪些角；请你写出三种方案，并说明理由．
【答案】（1）测量∠EAB与∠D；（2）测量∠BAC与∠C；（3）测量∠BAD与∠D．
【解析】
解：（1）可以测量∠EAB与∠D，如果∠EAB=∠D，那么根据同位角相等，两直线平行，得出AB与CD平行．
（2）可以测量∠BAC与∠C，如果∠BAC=∠C，那么根据内错角相等，两直线平行，得出AB与CD平行．
（3）可以测量∠BAD与∠D，如果∠BAD+∠D=180°，那么根据同旁内角互补，两直线平行，得出AB与CD平行．
讲解用时：10分钟
解题思路：判别两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此答题．
教学建议：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，本题考查了平行线的判定方法．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习4.1】
如图，BC平分∠DBA，∠1=∠2，填空：因为BC平分∠DBA，所以∠1= ，所以∠2= ，所以AB∥ ．
【答案】∠CBA；∠CBA；CD．
【解析】
解：∵BC平分∠DBA，
∴∠1=∠CBA，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠CBA，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：130°．
讲解用时：5分钟
解题思路：由角平分线的性质可知∠1=∠CBA，由内错角相等，两直线平行可知AB∥CD．
教学建议：此题主要考查了角平分线的性质及内错角相等，两直线平行的判定定理．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题5】
如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C，求证：∠1=∠2．
【答案】
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴AD∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行），
∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等），
又∵∠3=∠C（已知），
∴AC∥DG（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠2（等量代换）．
【解析】
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴AD∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行），
∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等），
又∵∠3=∠C（已知），
∴AC∥DG（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠2（等量代换）．
讲解用时：6分钟
解题思路：先由已知证明AD∥EF，再证明1∠1=∠4，∠2=∠4，等量代换得出∠1=∠2．
教学建议：此题的关键是理解平行线的性质及判定．①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行．④内错角相等，两直线平行．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习5.1】
如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F，∠1=105°，当∠2= 时，能使AB∥CD．
【答案】75°．
【解析】
解：∵直线AB、CD与直线EF相交于E、F，
∴∠1=∠AEF=105°；
∵∠AEF与∠2互补时可以使AB∥CD，
∴∠2=180°﹣105°=75°．
∴当∠2=75°时，能使AB∥CD．
讲解用时：4分钟
解题思路：因为直线AB、CD与直线EF相交于E、F，所以∠1=∠AEF=105°，则∠AEF与∠2互补时可以使AB∥CD．
教学建议: 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习5.2】
如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°这个零件合格吗？ （填“合格”或“不合格”）．
【答案】合格．
【解析】
解：∵∠ABC=120°，∠BCD=60°，
∴∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
∴这个零件合格．
讲解用时：5分钟
解题思路：要判断AB边与CD边平行，则要满足同旁内角互补的条件，只要∠ABC与∠BCD的和是180°即可知道这个零件是否合格，已知∠ABC=120°，∠BCD=60°，则∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°．
教学建议: 本题考查的是同旁内角互补，两直线平行．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题6】
已知：如图，AB∥CD，∠ABE=∠DCF，请说明∠E=∠F的理由．
【答案】
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行内错角相等），
∵∠ABE=∠DCF（已知），
∴∠EBC=∠FCB，
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠F（两直线平行内错角相等）．
【解析】
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行内错角相等），
∵∠ABE=∠DCF（已知），
∴∠EBC=∠FCB，
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠F（两直线平行内错角相等）．
讲解用时：6分钟
解题思路：根据两直线平行内错角相等可得，∠ABC=∠BCD结合已知又可知∠EBC=∠FCB，所以BE∥CF（内错角相等，两直线平行）从而证两角相等．
教学建议：本题主要利用平行线的性质和判定及图中角的和差关系来证明．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习6.1】
如图，下列条件①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠3+∠4=180°；④∠1+∠2=180°；⑤∠1+∠2=90°；⑥∠3+∠4=90°；⑦∠1=∠4中，能判断直线l1∥l2的条件有
【答案】③④．
【解析】
解：由图可以看出：∠1的补角（180°﹣∠1）和∠2且∠3的补角（180°﹣∠3）和∠4对于直线l1和l2来说是两对内错角．
若使180°﹣∠1=∠2，即：∠1+∠2=180°；
180°﹣∠3=∠4，即：∠3+∠4=180°；
所以，l1∥l2（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：③④．
讲解用时：5分钟
解题思路：欲判定l1∥l2，需考虑内错角、同旁内角、同位角，从图中可以看出：∠1的补角（180°﹣∠1）和∠2且∠3的补角（180°﹣∠3）和∠4对于直线l1和l2来说是两对同位角，根据同为角相等，两直线平行可以证明l1∥l2．
教学建议：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习6.2】
某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次左拐30°，第二次右拐30°
B．第一次右拐50°，第二次左拐130°
C．第一次右拐50°，第二次右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐120°
【答案】A．
【解析】
解：如图所示（实线为行驶路线）：
A符合“同位角相等，两直线平行”的判定，其余均不符合平行线的判定．
故选：A．
讲解用时：6分钟
解题思路：两次拐弯后，行驶方向与原来相同，说明两次拐弯后的方向是平行的．对题中的四个选项提供的条件，运用平行线的判定进行判断，能判定两直线平行者即为正确答案．
教学建议：本题考查平行线的判定，熟记定理是解决问题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题7】
如图，∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．
（1）AE与FC会平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）BC平分∠DBE吗？为什么？
【答案】
（1）平行；
证明：∵∠2+∠CDB=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠CDB=∠1，
∴AE∥FC．
（2）平行，
证明：∵AE∥FC，
∴∠CDA+∠DAE=180°，
∵∠DAE=∠BCF
∴∠CDA+∠BCF=180°，
∴AD∥BC．
（3）平分，
证明：∵AE∥FC，
∴∠EBC=∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠BCF=∠FDA，∠DBC=∠BDA，
又∵DA平分∠BDF，即∠FDA=∠BDA，
∴∠EBC=∠DBC，
∴BC平分∠DBE．
【解析】
解：（1）平行；
证明：∵∠2+∠CDB=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠CDB=∠1，
∴AE∥FC．
（2）平行，
证明：∵AE∥FC，
∴∠CDA+∠DAE=180°，
∵∠DAE=∠BCF
∴∠CDA+∠BCF=180°，
∴AD∥BC．
（3）平分，
证明：∵AE∥FC，
∴∠EBC=∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠BCF=∠FDA，∠DBC=∠BDA，
又∵DA平分∠BDF，即∠FDA=∠BDA，
∴∠EBC=∠DBC，
∴BC平分∠DBE．
讲解用时：8分钟
解题思路：（1）∠1+∠2=180°而∠2+∠CDB=180°，则∠CDB=∠1，根据同位角相等，两直线平行，求得结论；
（2）要说明AD与BC平行，只要说明∠BCF+∠CDA=180°即可．而根据AE∥FC可得：∠CDA+∠DEA=180°，再据∠DAE=∠BCF就可以证得．
（3）BC平分∠DBE即说明∠EBC=∠DBC是否成立．根据AE∥FC，可得：∠EBC=∠BCF，据AD∥BC得到：∠BCF=∠FAD，∠DBC=∠BAD，进而就可以证出结论．
教学建议：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习7.1】如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（ ）
A．∠EDC=∠EFC B．∠AFE=∠ACD C．∠3=∠4 D．∠1=∠2
【答案】C．
【解析】
解：∠EDC=∠EFC不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行；
∠AFE=∠ACD，∠1=∠2是EF和BC被AC所截得到的同位角和内错角，因而可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC；
∠3=∠4这两个角是AC与DE被EC所截得到的内错角，可以判定DE∥AC．
故选：C．
讲解用时：5分钟
解题思路：可以从直线DE、AC的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断．
教学建议：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习7.2】
学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有
①两直线平行，同位角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③同位角相等，两直线平行；
④内错角相等，两直线平行．
【答案】③④．
【解析】
解：由作图过程可知，∠1=∠2，为内错角相等；∠1=∠4，为同位角相等；
可知小敏画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．
故选：③④．
讲解用时：8分钟
解题思路：解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，故过点P所折折痕与虚线垂直．
教学建议：此题主要考查了平行线的判定，用到的知识点为：平行线的判定定理等知识．理解折叠的过程是解决问题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
0201930
课后作业
【作业1】
下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等
B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．相等的角是对顶角
D．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
【答案】D．
【解析】
解：A、只有在两直线平行这一前提下，同位角才相等，故A选项错误；
B、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故B选项错误；
C、相等的角不一定是对顶角，因为对顶角还有位置限制，故C选项错误；
D、由平行公理的推论知，故D选项正确．
故选：D．
讲解用时：4分钟
难度： 2 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业2】
3638550356235如图，直线AB、CD被直线EF所截，交点为O、P，PQ⊥EF，垂足为P，如果∠1=60°，∠2=30°，那么AB、CD平行吗?为什么?
【答案】平行，理由如下：
因为∠1=60°（已知），所以∠BOF=60°（对顶角相等）
又因为PQ⊥EF，所以∠QPF=90°（垂直定义）
所以∠2=30°，所以∠DPF=60°，即∠DPF=∠BOF
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
【解析】
解：平行，理由如下：
因为∠1=60°（已知），所以∠BOF=60°（对顶角相等）
又因为PQ⊥EF，所以∠QPF=90°（垂直定义）
所以∠2=30°，所以∠DPF=60°，即∠DPF=∠BOF
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
讲解用时：5分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业3】
已知AE是∠BAP的平分线，PE是∠APD的角平分线，∠3+∠2=90°，
证明：AB∥CD．
【答案】
证明：因为AE是∠BAP的平分线，PE是∠APD的角平分线（已知）
所以false，false（角平分线的意义）
因为∠3+∠2=90°（已知）
所以∠BAP+∠APD=180°（等式性质）
所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【解析】
证明：因为AE是∠BAP的平分线，PE是∠APD的角平分线（已知）
所以false，false（角平分线的意义）
因为∠3+∠2=90°（已知）
所以∠BAP+∠APD=180°（等式性质）
所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
讲解用时：6分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无